15.3.1 等腰三角形 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级上册数学

15.3.1等腰三角形 学习目标和重难点 1、了解等腰三角形的概念，知道等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。 2、探索并证明等腰三角形的性质：两底角相等，底边上的高、中线与顶角平分线重合。 3、会用等腰三角形的性质进行简单的角度计算和线段关系推理，体会轴对称在几何研究中的作用。 重点: 等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质；能用全等三角形证明等腰三角形的性质。 难点: 理解“三线合一”的前提是等腰三角形，并能正确用于推理；在计算和证明中分清顶角与底角，必要时进行分类讨论。 知识梳理 针对训练 题型1 等腰三角形的定义 题型2 等边对等角 题型3 三线合一 题型4 等角对等边 题型5 找出图中的等腰三角形 题型6 格点中画等腰三角形 题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 3. 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 【针对训练】 1．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，，，点E是的中点，交边于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质．根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【拓展延伸】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【针对训练】 1．如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一可得，再证明即可得出结论． 【详解】解：，是中线， ． 又点和点分别为边，的中点， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．如图，在等腰中，，于点，于点，若，则点到边的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三线合一，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为的角平分线， 又∵，， ∴点到边的距离等于点到边的距离，即为5． 故答案为：5． 3．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型1 等腰三角形的定义 【例题】已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 【变式训练】若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 题型2 等边对等角 【例题】如图，点在上，． (1)求证： ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识． （1）利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ，，，， ， ． （2）解：， ， 又， 又， ， ． 【变式训练】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ， 故答案为：． 题型3 三线合一 【例题】如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）． 【详解】解：∵平分， ∴，，， 故（1）（2）（3）正确， ∵平分， ∴， ∴ 故（4）正确， 综上，一共有4个正确， 故选：D 【变式训练】如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点． 先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】解：∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 题型4 等角对等边 【例题】如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 【变式训练】如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移的性质证明，等角对等边，根据平移性质得到，根据等角对等边得到，进而得到结论． 【详解】解：将沿直线平移到， ， ， ， ． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又 中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型5 找出图中的等腰三角形 【例题】如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【变式训练】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 题型6 格点中画等腰三角形 【例题】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 【变式训练】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 【例题】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个． 【答案】4 【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案． 【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点； 同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点； 作AB的垂直平分线与BC有一个交点， 即有1+2+1＝4个， 故答案为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 【变式训练】如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 【例题】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【变式训练】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 2．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 3．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 4．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】由角平分线，高和中线的定义得到，，，然后分别根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①作顶角平分线， ∴， 又∵，， ∴； ②作底边上的高， ∴，即， 又∵，， ∴； ③作底边上的中线， ∴， 结合，，构成，不能证明． 综上所述，能够判定的是①②． 5．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【知识点】格点图中画等腰三角形 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 8．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 【答案】6 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴点的纵坐标为1， 过点作，交轴于点，交于点， 则：，    ∵ ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明： 在中，三角形内角和为，，， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等 【分析】根据三角形内角和可得出，再根据等角对等边即可得解． 【详解】略． 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 11．如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】利用证明，，进一步求解可得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误． 12．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 13．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形. 14．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】连接，由等腰三角形可得，，根据线段垂直平分线可得，则的周长，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：    连接 等腰的底边长为6，点为边的中点， ，， 是腰的垂直平分线， ， 此时的周长， ， ， ， ， ∴的周长最小值为． 15．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、三线合一 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短得出的最小值为的长度，则，再根据等腰三角形的三线合一性质得到,然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图过程知垂直平分， ∴， ∴，当点A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵长度的最小值为10， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴, ∵面积为40， ∴，解 得． 16．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长 【分析】延长，交延长线于点，先证出，得出，，进而可得，再得出，据此得出即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 【答案】 10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长 【分析】延长交的延长线于点E，通过证明得出及，结合互补条件推导出，从而得到． 【详解】解：延长交的延长线于点E， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．当时，点的坐标为________． 【答案】 或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、三线合一、利用平移的性质求解 【分析】作，根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当时， 当与不平行时. 【详解】解：如图：    ∵点，点，点， ∴， 如图，当时， 由平移性质可得：即，， 当与不平行时，作， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 根据等腰三角形性质得，； ∴， 故的坐标是或. 19．如图，，若，则的度数是______． 【答案】/25度 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】利用“等边对等角”和三角形外角的性质可以得到，，从而解得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 20．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 21．图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定 【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则这5个长方形的面积为，，． 设，根据题意，得 ， 解得， 所以的长为． 22．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 23．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】设运动时间为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为， ∵D是中点，， ∴，， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 24．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25．如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【答案】3 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长，使，连接，证明，根据全等三角形的性质，等边对等角，结合等角对等边，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，延长，使，连接， 是的中线， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， . 26．如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 27 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】作于点，交于点，作于点，分别证明，，求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】解：作于点，交于点，作于点，如图， 则，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积. 27．阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； (2)如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 【答案】(1)4，如图所示，线段与直线的交点 (2)先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P， 如图所示； 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：∵在中，，，，， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． 画图略 （2）解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1等腰三角形 学习目标和重难点 1、了解等腰三角形的概念，知道等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。 2、探索并证明等腰三角形的性质：两底角相等，底边上的高、中线与顶角平分线重合。 3、会用等腰三角形的性质进行简单的角度计算和线段关系推理，体会轴对称在几何研究中的作用。 重点: 等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质；能用全等三角形证明等腰三角形的性质。 难点: 理解“三线合一”的前提是等腰三角形，并能正确用于推理；在计算和证明中分清顶角与底角，必要时进行分类讨论。 知识梳理 针对训练 题型1 等腰三角形的定义 题型2 等边对等角 题型3 三线合一 题型4 等角对等边 题型5 找出图中的等腰三角形 题型6 格点中画等腰三角形 题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 3. 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 【针对训练】 1．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，在中，，，点E是的中点，交边于点D，连接，则 ． 3．如图，在中，，点，在边上，．求证：． 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【拓展延伸】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【针对训练】 1．如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 2．如图，在等腰中，，于点，于点，若，则点到边的距离是 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型1 等腰三角形的定义 【例题】已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【变式训练】若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 题型2 等边对等角 【例题】如图，点在上，． (1)求证： ； (2)若，求的度数． 【变式训练】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ． 题型3 三线合一 【例题】如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 题型4 等角对等边 【例题】如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：． 题型5 找出图中的等腰三角形 【例题】如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式训练】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 题型6 格点中画等腰三角形 【例题】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 【例题】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个． 【变式训练】如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 【例题】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 2．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 3．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 8．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 10．如图，在中，已知．求证：． 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 11．如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 13．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 14．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．15 15．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为16，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 18．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 19．平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．当时，点的坐标为________． 20．如图，，若，则的度数是______． 21．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 21．图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 22．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 23．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 24．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 25．如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 26．如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 27．阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； (2)如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $