精品解析：江苏苏州市苏州中学伟长班2026-2027学年第一学期八年级数学十月素养调研试卷

2026-2027学年苏州中学伟长班初二数学10月月考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分） 1. 下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 2. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，再根据余角的定义可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， 故选：B 3. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知给出了其中一边长为3cm，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm， 底边为13-2×3=7cm， ∵3+3＜7， ∴边长分别为3，3，7不能构成三角形； （2）当底边长为3cm时，腰的长=（13-3）÷2=5cm， ∵0＜3＜5+5=10， ∴边长为3，5，5，能构成三角形， 则该等腰三角形的一腰长是5cm． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，的面积为2，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用点为的重心得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：和为的两条中线， 的面积为4，的面积为2， ， 点为的重心， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了三角形的面积． 6. 如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 7. 如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是  和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 8. 如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个 A. 7 B. 8 C. 9 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 9. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 10. 如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（ ） A. α B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角度的等量代换．连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，进而推出，证明，得到，，，从而得出的度数，再证明，得出，最终得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分） 11. 如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意容易判断，已有一组直角边对应相等，因此添加一组斜边相等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 12. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，，  是等腰直角三角形．  ． 在和中， ， ．  ． 在中，， ． ． 13. 如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，证明，求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时． 【详解】在中，，，则． （Ⅰ）当点在线段上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ． （Ⅱ）当点在延长线上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 综上所述，或． 故答案为：或 15. 如图，在中，，在的内部取一点O，连接，恰有，，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等边三角形．其中说法正确的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 首先利用等腰三角形的性质并结合已知可求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理即可求出，据此判断①②；结合角之间的关系可得，利用等量代换可得，接下来结合等腰三角形的性质判断③；利用等边三角形的判定并结合角之间的关系可判断④． 【详解】解：，， ． ， ． ， ，，故①②正确； ，，， ． ，， ， ，故③正确， ， 不是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 16. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 17. 如图，在四边形中，E，F是边的三等分点，G，H是边的三等分点．若，则 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据得，进而得，设，根据得，进而得，设，由此得，再根据得，进而得，由此得，则，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是边的三等分点， ， ， ， ∴设， ∵是边的三等分点， ， ， ， ∴设， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ． 18. 如图，是等边三角形，以为一腰作等腰三角形，使且为边上的高，直线与直线交于点F，已知，则___________． 【答案】6或10 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键，分点在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为一腰作等腰三角形，使且为边上的高， ∴， ∴； 当点在下方时，如图，作交的延长线于点，连接， 设，则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在上方时，如图， 同法可得：，， ∴， ∴； 综上：或10； 故答案为：6或10． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）倍长中线至，构造全等三角形，将转化到中，再利用三角形三边关系求范围． （2）倍长中线至，构造全等得角相等，结合和对顶角推出等角，从而得到等腰三角形，求出长． 【小问1详解】 解：是边上的中线 在和中， ， ， 已知，， ， 在中，由三角形三边关系： 即，化简得， ， 【小问2详解】 解：延长至，使，连接． 是边上的中线， 在和中， ， ，， ，，， ，， ， ， ， ． 21. 如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）15 （2） 证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【小问1详解】 解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，是边上的中线， ． 23. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； 【小问3详解】 解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 24. 探究解题 （1）如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② （2）花坛内区域的面积为． 【解析】 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 25. 【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2），理由如下： 在上取点，使得，连接， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 为的中点，点为的中点， ， 设，则， ， ， ． （3）当的值最小时，边长的最小值为 【解析】 【分析】（1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，得，则可得出结论； （3）作，使，连接，证明，得，当点在线段上时，的值最小，此时的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：作，使，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏州中学伟长班初二数学10月月考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分） 1. 下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，的面积为2，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 7. 如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个 A. 7 B. 8 C. 9 D. 1 9. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 10. 如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（ ） A. α B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分） 11. 如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 12. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 13. 如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 14. 在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 15. 如图，在中，，在的内部取一点O，连接，恰有，，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等边三角形．其中说法正确的是______．（填序号） 16. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 17. 如图，在四边形中，E，F是边的三等分点，G，H是边的三等分点．若，则 __________________ ． 18. 如图，是等边三角形，以为一腰作等腰三角形，使且为边上的高，直线与直线交于点F，已知，则___________． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 21. 如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 22. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 24. 探究解题 （1）如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 25. 【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $