精品解析：山东临沂市蒙阴县蒙阴镇中心中学2026-2027学年度上学期八年级数学阶段测（9月）

2026-2027学年度八年级数学阶段测 本卷满分120分，考试时间120分钟 第I卷（选择题12×3=36分） 一、单选题 1. 如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（ ） A. 11米 B. 15.8米 C. 26米 D. 米 2. 用三角尺作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 6. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边上一点，连接，取的中点，连接，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 10. 如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 12. 如图，在和中，点F在上，，，，交于点D，下列结论：①；②；③平分；④中，正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（6×3=18分） 13. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为_____． 14. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________ 15. 如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是____________． 16. 中，边上的高与边所构成的，则________ 17. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有________（填序号）． 18. 如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 三、解答题（7道题共66分） 19. 如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 20. 某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． （1）设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ （2）设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 21. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 22. 如图，已知，，求证． 23. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 24. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 25. 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级数学阶段测 本卷满分120分，考试时间120分钟 第I卷（选择题12×3=36分） 一、单选题 1. 如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（ ） A. 11米 B. 15.8米 C. 26米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 2. 用三角尺作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的高，结合图形以及三角尺的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察四个选项，唯有符合用三角尺作的边上的高， 故选：B． 3. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：平衡点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵平衡点应是三角形的重心， ∴平衡点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和定理分别求出三个内角的度数，进而问题可求解． 【详解】解：A、由可知：，所以，是直角三角形，故不符合题意； B、由及可知：，所以是直角三角形，故不符合题意； C、由可知，因为，即，解得：，所以不是直角三角形，故符合题意； D、由可设，因为，所以，解得：，则，所以是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 5. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 6. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质， 根据题意可知，再根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】根据题意可知． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的性质．根据两直线平行同旁内角互补可以求出，根据对顶角相等可以求出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出结果． 【详解】解：如下图所示， ， ， 又， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，点为边上一点，连接，取的中点，连接，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，由点P为的中点，可得， ，于是得到结论． 【详解】解：∵点P是的中点， ，， ∵， , 故选：C． 9. 已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键． 根据三角形判定方法判断即可解答． 【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等， ∴甲和已知三角形不全等； 乙与符合两边对应相等，且夹角相等， ∴根据可判定乙和与全等； 丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等， ∴根据可判定丙和与全等． 故选：B． 10. 如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 先由角平分线定义及三角形内角和定理得到，从而确定，最后，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 11. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 12. 如图，在和中，点F在上，，，，交于点D，下列结论：①；②；③平分；④中，正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据证明，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，，， 故②正确， ∴，， 故①正确， ∴， 即平分． 如果平分，则 ∵， ∴ ∴不平分， 故③错误， 又∵， ∴． 故④正确． 故①②④正确． 故选：C． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（6×3=18分） 13. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；根据4为腰和底边两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①当是腰长时，底边为， 此时，不能组成三角形； ②当是底边时，腰长为， 此时，，三边能够组成三角形． 所以腰长为． 故答案为：． 14. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化．解题的关键在于理解全等三角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形的面积都可以通过全等三角形面积与面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系．因为三角形全等，所以这两个三角形的面积相等．观察图形可知，的面积减去的面积就是四边形的面积，的面积减去的面积就是四边形（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积． 【详解】∵ ∴ ∴ 即 故答案为：9． 15. 如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是____________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：， ， 即， ， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可． 故答案为：（或或） 16. 中，边上的高与边所构成的，则________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的高线定义，分类讨论是解题的关键．要分在的内部和在的外部两种情况进行讨论．中，与互余． 【详解】解：分为两种情况： ①如图①，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以． ②如图②，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以， 所以． 综上所述，或． 故答案为：或． 17. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 18. 如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，可得，由三角形内角和定理得，可得，结合，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（7道题共66分） 19. 如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 根据已知条件得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，于是得到答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20. 某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． （1）设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ （2）设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【答案】（1）可以设计2种不同规格的三角形框架， 理由：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4； （2）最少费用为53元 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少， ∵铁条长度可以切割，但不能拼接 ∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少， 由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个， ∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少， 最少费用为：（元）． 答：购买铁条共需53元． 21. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 【答案】 解：依题意，在和中， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先理解题意，运用方式证明，故，又因为，则，即可作答． 【详解】略 22. 如图，已知，，求证． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质可得，，再由，，即可得出． 【详解】略 23. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 【答案】（1）DCO，OD，理由如下： ∵AO⊥OD ∴∠AOB＝∠DOC＝90° 在△AOB与△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD， 故答案为：DCO，OD； （2）同意 理由：∵△AOB≌△DOC （已证） ∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA－OC＝OD－OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【解析】 【分析】（1）只需要根据AAC证明△AOB≌△DOC即可得到答案； （2）由△AOB≌△DOC得到OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，则AC＝DB，然后证明△ACE≌△DBE即可得到AE＝DE． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件 24. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）爸爸是在距离地面的地方接住小明的 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵、分别为和， ∴， ∵， ∴， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 25. 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】 （1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）； （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $