精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2026-2027学年高三上学期第一次调研考试数学试题

勤建学校高三年级上学期第一次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对A，直接求出命题的否定，即可判断A的正误；对B，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解；对C和D，根据条件，直接求出和的取值范围，再结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，命题：，的否定为，，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，即， 所以推不出，故“”是“”的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，若方程的两根都大于1，则，解得，所以C错误， 对于D，若关于的不等式对一切实数恒成立，则或， 解得，所以是关于的不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件，故D错误. 3. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】方法一 由，从而，利用基本不等式求解；方法二 对原条件式转化得，得到 ，利用基本不等式求解； 【详解】解：方法一 由条件得， 由，知， 从而， 当且仅当，即，时取等号． 故的最小值为5． 方法二 对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 4. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意题干给的数的特征，猜测的大小介于中间，进一步结合对数单调性即可判断. 【详解】由题意. 故选：C. 5. 函数的单调递减区间为（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 6. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以.  当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数，当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析给定函数的性质并求出，再由函数在与的图象关系，求出即可 【详解】当时，，当时，， 在上的最大值为，，； 当时，，，当时，， ，在上的最大值为，； 函数的图象如图： 函数在上的图象每点横坐标、纵坐标分别是函数在 上的图象每点横坐标的2倍、纵坐标的， 而函数在上的图象与轴围成的图形是三角形，相邻两个三角形， 后一个三角形的底边长及高分别为相邻前一个三角形底边长的2倍及高的，则，， 所以. 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 已知集合，，且，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】依次根据对数函数过定点的性质、幂函数的定义与奇偶性、对勾函数的最值规律、分段函数单调递增的条件判断各选项正误. 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 11. 已知是R上的奇函数，是R上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 8为的一个周期 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理确定周期判断A；再利用赋值法及周期性求出函数值判断BCD. 【详解】对于A，由是R上的奇函数，是R上的偶函数，得， 即，因此，8为的一个周期，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数的定义域为______. 【答案】且， 【解析】 【分析】根据根式以及分式，结合对数的性质即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为且， 故答案为：且， 13. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时等号成立. 14. 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有个不同的实数根，则实数的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有个不同的实数根，即函数与的图象有个交点，数形结合求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于轴对称， 因为对任意的，都有成立， 所以， 所以函数的周期为， 画出函数在区间上的图象，如图所示： 若在区间内方程有个不同的实数根， 即函数与的图象有个交点， 当时，，函数与的图象没有交点，不满足要求， 当时，，函数与的图象有两个交点，不满足要求， 所以，且函数的图象与线段相切时满足条件， 设函数的图象与线段相切于点， 又函数在时的导数值为，所以， 结合，，，可得，， 所以的值为 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． 【小问2详解】 ． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 16. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 【答案】（1）设O为的中点，连接， 由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，先证明平面，再得到. （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量法求出直线和平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 记直线和平面所成角为. 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，根据，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆过点，且长轴长为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知：椭圆的方程为， 如图所示，设， 由题意知，直线的斜率不等于，可设直线的方程为， 令，可得，即， 联立方程组，整理得，解得， 又由，则，可得， 因为，可得，可得， 又由同号，可得，即，解得，即， 所以直线的方程为或. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 【答案】（1）当时，，. 令，得. 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数. 则，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数得到具体函数,求导判断单调性，根据单调性得到函数最小值，证明最小值非负即可. （2）代入的取值得到含参函数，先求一阶导数，再分析一阶导数的单调性，根据的取值范围分类讨论的单调性，保证时最小值非负，求解对应的范围. （3）函数单调递增等价于导数在上恒成立，先计算导数的导数，然后讨论的正负，再将转化到用表示，构造函数，利用单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1： 当时，，易得， ，， 当时，结合（1）易得， 所以在上是单调递增函数， 所以，符合题意． 当时，令，． 因为，所以递增． 又，由(1)得，将换作可得，即， 所以， 所以存在唯一的，使得． 当时，，单调递减，则，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 方法2：当时，，易得， 设，当，，所以， 所以在单调递增； 又因为， 当时，，所以在上递增， 所以，符合题意. 当时，，又时，， 存在唯一的，使得. 当时，，递减，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法1：若在上单调递增，则恒成立． 令，则． 当时，，故在上单调递增． ，则，不合题意． 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由，得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以， 得，此处不等号可以取等． 所以. 求最值法①：令，，则． 令，得． 当时，，递增； 当时，，递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 求最值法②： 令，则． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递增；时，单调递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法2：若递增，则恒成立． 当时，令，因为，所以递增. 取，则，不合题意. 当时，恒成立，所以，此时的最大值为. 当时，由恒成立，得对恒成立. 令，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则. 则，当时等号可以取到， 再令，，然后求解最大值的过程同方法1中的法①、法②. 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为. 方法3：若单调递增，则恒成立. 当时，可得，解得. 下面证明：当时，存在和，可使恒成立. 当时，，令，则. 当时，，故单调递增. 因为，所以不合题意. 当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则， 令，则. 令，，则.令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 则. 则不等式的解为， 则的解为. 则时，存在，可使恒成立， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高三年级上学期第一次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 3. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（　 ） A. B. C. D. 6. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 已知集合，，且，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 11. 已知是R上的奇函数，是R上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 8为的一个周期 B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数的定义域为______. 13. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是________. 14. 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有个不同的实数根，则实数的值为________. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $