精品解析：甘肃省张掖市第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题A卷

张掖市第二中学2026-2027学年度高二10月月考试卷 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 2. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质计算即得. 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 3. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由数列的递推关系得到数列是周期为3的周期数列，即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列， 对做除法得：，即除以3余1， 因此. 4. 若直线与直线：之间的距离是，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线与直线之间的距离为， ，，或（负值舍去）． ． 5. 在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 则即为光线经过路程的最小值， 且， 此即光线从A到B所经过的距离为. 故选：B． 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 7. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”可得，结合递推关系式，分类讨论可得. 【详解】由“冰雹猜想”可知：若，则，， 若为偶数，则；若为奇数，则； 综上所述：或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，下列说法错误的是（ ） A. 直线经过点P，且一个法向量为，直线的方程为． B. 直线经过点P，且一个方向向量为，直线的方程为． C. 直线经过点P，且在轴，轴上的截距相等的直线方程为． D. 直线经过点P，且点，到它的距离相等，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方向向量、法向量的定义，可判断A的正误；根据直线截距的定义，可判断C的正误；根据方向向量求出直线的方程后判断B的正误；根据两点到直线距离相等的两类情况，结合点斜式方程，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：直线的一个法向量，可取法向量， 由点法式方程得，整理得，故A正确； 对于B：直线的一个方向向量为，直线斜率， 由点斜式得，化简得，故B正确； 对于C：直线在轴，轴上截距相等，分两类讨论， ①截距不为，设直线方程为，将代入， ，解得，方程为； ②截距都为，直线过原点，方程为，该直线过点，也满足截距相等， 满足条件的直线共有两条，并非只有，故C错误； 对于D：点，到直线距离相等，分两类讨论， ①直线过线段的中点，中点坐标为，直线过与，方程为； ②直线与直线平行，，由点斜式得，整理得， 满足条件的直线为和，选项只给一条，故D错误. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ） A. B. C. 时，的最小值为13 D. 最大时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项与前项和的公式的基本量运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，，可得，故A正确； 对于B，因，解得， 又因，解得，即，故B正确； 对于C，因，，又因，故时，的最小值为13，即C正确； 对于D，由上分析，，，故最大时，，故D错误. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】构造等差数列计算即可得. 【详解】由，则， 又，故数列为以为首项，为公差的等差数列， 故，则，即. 13. 已知直线：，：，则下列说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若不经过第三象限，则． 正确的有________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】② 【解析】 【详解】已知直线：，：， ①若，由两直线平行条件得，，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去， 当时，：，：，两直线平行， 故，①错误； ②若，由两直线垂直的系数关系，解得或，②正确； ③若不经过第三象限， 当时，：，即，直线不经过第三象限，满足条件， 当时，将化为斜截式， 需满足，解得， 综合得，并非，③错误； 综上，正确的是②. 14. 已知正项数列的前项和为且满足：，则________．若，记表示不超过的最大整数，则________． 【答案】 ①. ②. 18 【解析】 【分析】根据，可以求出的表达式，利用放缩法结合的意义进行求解即可. 【详解】(1)当时，，因为各项为正数，解得， 当时，由，及得，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此， 所以. (2)因为时，， ； 因为时，， ； 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前 项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【小问1详解】 设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列，并求； （2）记的前n项和为，求满足的n的最小值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【小问1详解】 当时，，即，所以， 因为，所以，即， 所以数列为首项，公比的等比数列， 所以数列的通项公式， 所以数列得通项公式. 【小问2详解】 数列的前n项和， ， 因为，所以，故数列为递增数列， 因为，所以当时，， 且当时，， 所以满足的最小值为10. 17. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 【答案】（1） ，两边同除以，，， 又，是以为首项，公差为的等差数列， ，， 数列的通项公式为：. （2） 【解析】 【分析】（1）、利用递推关系求通项公式. （2）、将原不等式转化为，设求出，即可求出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ，， ，设，， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，取最大值，,,的范围为：. 18. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 【答案】（1）; （2）; （3）4,. 【解析】 【分析】第一问将方程进行变形,使参数所乘的部分为零,即可求解;第二问当线段时,距离最大,根据斜率乘积为即可求得;第三问分别求出、两点坐标，转化为的直角边长,再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题, 因为当变化时,直线过定点,则有, 解得，即定点 【小问2详解】 由题知当线段时,距离最大,此时最大距离为,又可得, 则,解得,则直线 【小问3详解】 由题可知,则,则, 所以 ,当且仅当时,等号成立,此时,最小值为4, 此时的直线. 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. （1）求的值，并求出的和公比； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； 【小问3详解】 ， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖市第二中学2026-2027学年度高二10月月考试卷 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 2. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 4. 若直线与直线：之间的距离是，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 5 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，下列说法错误的是（ ） A. 直线经过点P，且一个法向量为，直线的方程为． B. 直线经过点P，且一个方向向量为，直线的方程为． C. 直线经过点P，且在轴，轴上的截距相等的直线方程为． D. 直线经过点P，且点，到它的距离相等，直线的方程为 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ） A. B. C. 时，的最小值为13 D. 最大时， 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，，则________． 13. 已知直线：，：，则下列说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若不经过第三象限，则． 正确的有________．（把正确结论的序号填在横线上） 14. 已知正项数列的前项和为且满足：，则________．若，记表示不超过的最大整数，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前 项和为，求证：． 16. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列，并求； （2）记的前n项和为，求满足的n的最小值． 17. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 18. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. （1）求的值，并求出的和公比； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $