17.2 用公式法分解因式 自习检测2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 自习检测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．小红是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、邓、州、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．邓州美 B．爱邓州 C．我爱美 D．我爱邓州 4．观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（    ） A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形 C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形 5．学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 6．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 8．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 二、填空题 9．因式分解：____________． 10．当_______时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 11．设，，则数a，b，c的大小关系是__________． 12．如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________． 13．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是______．（填一种即可） 三、解答题 14．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 16．小莉做了4道因式分解题，题目如下： ① ② ③ ④ (1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ； (2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果． 17．长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 18．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A B D C C 1．【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 2．【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，代入已知条件即可计算出的值． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．先提取公因式并利用平方差公式，得到，再根据，，分别对应下列三个字：爱、邓、州，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵，，分别对应下列三个字：爱、邓、州、 ∴结果呈现的密码信息可能是爱邓州， 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】分组分解法、三角形三边关系的应用 【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出． 【详解】解：， ， ， ∴或， 当时，围成一个等腰三角形； 当时，不能围成三角形； 故选：A． 【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键． 5．【答案】B 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】∵周长为， ∴， ∴， ∵面积为， ∴， ∴． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 9．【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】解： ． 10．【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 11．【答案】/ 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形、因式分解的应用 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，即可解答． 【详解】解：图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为， 则． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 当括号内的单项式为时， ∴． 故答案为：． 14．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）用提取公因式法即可； （2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可； （4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 15．【答案】（1） （2） （3） 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 16．【答案】(1)②③ (2)②；③ 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）根据提取公因式和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：小莉做错的或过程不完整的题目是②③， 故答案为：②③； （2）解：② ； ③ ． 17．【答案】(1)， (2) ， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意及整式的乘法求解即可； （2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ， （2） 略 18．【答案】(1) (2)7，，2， 【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $