精品解析：江苏省如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、宿迁市洋河高级中学、宿迁市项里高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段测试联考数学试卷

2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段测试联考试卷 数学 2026.10 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 4.如需左图，必须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知椭圆方程为，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 将椭圆的方程化为标准方程,即可求得,进而得长轴长. 【详解】椭圆方程为 化为标准方程可得 所以椭圆交点在轴上,且 所以长轴为 故选:D 【点睛】本题考查了将一般方程化为椭圆的标准方程,椭圆几何性质的简单应用,属于基础题. 2. 已知直线过，两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式直接列方程求解即可. 【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为， 所以，解得， 故选：C. 3. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率. 【详解】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 4. 若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由曲线，可得，其中，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，是倾斜角为的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况： （1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图象，可得：； （2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知.综上可知：. 故选：C. 5. 设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即集合对应的圆面完全包含于集合对应的圆面内. 集合：圆心、半径的圆及其内部；集合：圆心、半径的圆及其内部. 两圆圆心距：. 根据两圆内含或内切的位置关系条件，圆心距大圆半径小圆半径，即，代入得，解得. 结合的前提，得的取值范围为. 6. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解. 【详解】显然离心率，解得，即， 分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，， 于是，而， 即，又，因此联立解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B 7. 若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过定点，再根据对称性求得直线所过定点. 【详解】因为直线过定点， 点关于直线对称的点为， 故直线恒过定点. 故选：C 8. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线 始终过定点 B. 原点到直线的距离最大值为 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线化为：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点， 所以原点到直线的距离最大值为（为坐标原点）， ， 所以原点到直线的距离最大值为，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 10. 已知、，则下列命题中正确的是（ ） A. 平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B. 平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C. 平面内满足的动点P的轨迹为圆 D. 直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合线段垂直平分线、椭圆、圆的定义及轨迹方程求解方法逐一验证选项即可. 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 11. 卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线过原点 B. 曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C. 曲线上点的横坐标的取值范围是 D. 曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】把原点坐标代入曲线方程不成立可得选项A错误；把、、代入曲线方程成立可得曲线既是中心对称图形又是轴对称图形，选项B正确；通过不等关系可得，计算结果可判断选项C正确；对曲线方程进行变形得，利用点到原点的距离公式可得选项D正确. 【详解】对于A，不满足方程，A错误； 对于B，将，代入， 均为，В正确； 对于C，因为， 所以，即， 所以，所以，C正确； 对于D，设点在曲线上，有， 即， 所以， 因为，所以， 即，所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，直线，当时，两直线间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【详解】两条直线，，平行的充要条件为且. 代入本题直线系数得：，即，解得或. 排除重合情况： 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，化简为，，两直线平行，符合要求. 计算两直线距离：平行直线距离公式为，代入参数得：. 13. 设分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上一点，且，则的面积为（　　） A. 24 B. 25 C. 30 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义求得，进而利用勾股定理得是直角三角形，代入直角三角形面积公式求解即可. 【详解】∵，∴可设， 由题意可知，∴，∴， ∵，∴是直角三角形， 故的面积为． 14. 已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆外一点引圆的切线对应切点弦直线方程的二级结论可确定直线过定点，结合垂径定理确定Q轨迹，数形结合计算即可. 【详解】圆心，半径， 设，则切点弦所在直线的方程为， 化简得：， 所以直线过定点， 如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率，结合点斜式求解即可； （2）求的中点坐标，再求直线的斜率，结合点斜式求解即可； （3）根据的中点坐标，结合直线垂直的斜率关系与点斜式求解即可. 【小问1详解】 因为，，故的斜率， 故所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，，故的中点坐标，即. 故边上中线所在直线的斜率为， 故边上中线所在直线的方程为，即. 【小问3详解】 由（2），，故边上垂直平分线所在直线的方程为，即. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最大值； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点得值，结合椭圆过已知点联立方程求解参数得椭圆方程； （2）利用椭圆定义得两焦半径和为定值，由基本不等式求乘积最大值； （3）将距离平方转化为关于的二次函数，结合的取值范围求最值. 【小问1详解】 由题意得椭圆的焦点为，故，即①. 将点代入椭圆方程得②. 将代入②，整理得，解得（负根舍去），故. 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆定义，对椭圆上任意点，有，且. 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，此时为椭圆短轴顶点，符合条件. 故的最大值为. 【小问3详解】 由椭圆方程得上顶点的坐标为，设，，满足， 则 该二次函数开口向下，对称轴为，当时，. 故的最大值为. 17. 已知圆经过点，，三点． （1）求圆的方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入的坐标即可求解； （2）先作点关于x轴的对称点，由点与圆的位置关系得出过有两条直线与圆相切，分两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为点在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 圆的方程可化为， 因为关于x轴的对称点为，设切线为直线， 因为，所以点在圆外，则过有两条直线与圆相切； ①当切线斜率存在时，则设直线：，即， 则圆心到的距离，解得， 所以直线：； ②当切线斜率不存在时，直线：， 综上可得反射光线所在直线为或． 18. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程组可得点坐标. （2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解. （3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【小问1详解】 由. 所以“共点”的坐标为： 【小问2详解】 圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. 【小问3详解】 由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 若，理论上到AB距离为的直线有两条，它们与直线AB平行，这不唯一， 但注意到直线不过原点，由于AB方程为，当直线与平行过原点时， 方程为，所以另一条直线是，它是唯一符合条件的直线，此时，满足题意， 点，，所以在圆内，因为，所以当|ST|最小时，直线ST的方程为， 综上，满足条件的直线方程为或 19. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，5 【解析】 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【小问1详解】 设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 所以， 所以， 整理得曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立直线和曲线的方程：， 消去得：， （i）因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 所以， 解得. （ii）, 代入韦达得：， 所以是定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段测试联考试卷 数学 2026.10 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 4.如需左图，必须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知椭圆方程为，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知直线过，两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线 始终过定点 B. 原点到直线的距离最大值为 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知、，则下列命题中正确的是（ ） A. 平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B. 平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C. 平面内满足的动点P的轨迹为圆 D. 直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 11. 卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线过原点 B. 曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C. 曲线上点的横坐标的取值范围是 D. 曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，直线，当时，两直线间的距离为__________. 13. 设分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上一点，且，则的面积为（　　） A. 24 B. 25 C. 30 D. 48 14. 已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最大值； （3）求的最大值. 17. 已知圆经过点，，三点． （1）求圆的方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 18. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 19. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $