专题2.1 等式性质与不等式性质（6类必考点）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质 【考点导航】 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】速度不超过，写成不等式就是. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 5．（专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式01（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和大于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（26-27高一上·山东济南·开学考试）已知购买支中性笔和支自动铅笔的总费用大于元，购买支中性笔和支自动铅笔的总费用小于元．设购买支中性笔的费用为元，购买支自动铅笔的费用为元，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将题意转化为不等式，用代入消元，放缩，分别求出，的取值范围即可。 【详解】设每支中性笔价格为元，每支自动铅笔价格为元. 根据题意可得两个不等式：①，②. 由题意得，，即，. 由第一个不等式得，将其代入第二个不等式得，解得， 则. 由第一个不等式得，即，将其代入第二个不等式得，解得， 则. 因此. 2．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则与的大小是______. 【答案】 【详解】，因为，所以，，故，所以. 3．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 4．（26-27高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 5．（重难点培优01 比较大小方法题型全归纳（12种方法）（复习讲义）（全国通用）-2）已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 【答案】(1)，证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； (2) 【分析】（1）结合不等式的性质即可求解； （2）利用（1）的结论即可求解与的大小. 【详解】（1）略 （2）由题可知：，因为，， 由（1）可知，即. 【考点3：作差法比较大小】 1．（26-27高一上·甘肃金昌·阶段检测）设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故. 2．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较与的大小，对差式配方后结合平方数的非负性判断差的符号. 【详解】易知 ； 又，， 因此，即， 当且仅当且时等号成立. 3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由，， 得， 所以. 4．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】作差法可直接比较得出结果. 【详解】易知， 则. 5．（26-27高一上·河北·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）利用作差法，结合配方以及平方的性质即可求解. 【详解】（1）．     因为，，所以，， 所以．    因为，所以，     又，，所以，所以， 所以，   所以，即．     （2）．    因为，，所以， 所以． 【考点4：作商法比较大小】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 2．（26-27高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 5．（26-27高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，取，，满足，，而，故C错误； 对于D，，，即，故D正确. 2．（26-27高三上·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】若，则，故A正确； 因为，所以，即，故B正确； 当，满足，但，故C错误； 当，满足，但，故D错误． 3．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A，若， 此时满足，，但，，故A错误； 对于B，若，当时，，故B错误； 对于C，若，， 由不等式性质可知成立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确； 4．（26-27高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】代特殊值计算可判断ABC，利用作差法计算可判断D. 【详解】对于A，当时，满足，但此时，故A错误； 对于B，当时，满足，但此时，故B错误； 对于C，当时，满足，，但此时，故C错误； 对于D，若，则， 因为， 所以，即，故D正确. 5．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知，正确结论的序号是______． ①，②，③ 【答案】② 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对①：由，则，，则， 故，即有，即，故①错误； 对②：由，则，又 故，故②正确； 对③：由，则，故③错误. 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（26-27高一上·青海·阶段检测）设，，则的范围是________________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可得. 【详解】由，则， 由，则， 故，即. 故答案为：. 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知实数，满足，，则范围是____________ 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 3．（专题02一元二次函数、方程和不等式（期末复习知识清单）高一数学上学期人教A版）已知，，求，，的范围． 【答案】，， 【分析】利用不等式的基本性质，对已知不等式进行变形、运算，逐步推导目标代数式的取值范围． 【详解】，， ，， ，； ，， ， ． 4．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)比较与的大小关系． (2)已知，，求的范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为． 所以．      （2）由得①， 又因为②， 得，故． 当且仅当，时，， 当且仅当，时，． 综上，的范围为． 5．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质 【考点导航】 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 5．（专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式01（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（26-27高一上·山东济南·开学考试）已知购买支中性笔和支自动铅笔的总费用大于元，购买支中性笔和支自动铅笔的总费用小于元．设购买支中性笔的费用为元，购买支自动铅笔的费用为元，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则与的大小是______. 3．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 4．（26-27高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 5．（重难点培优01 比较大小方法题型全归纳（12种方法）（复习讲义）（全国通用）-2）已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 【考点3：作差法比较大小】 1．（26-27高一上·甘肃金昌·阶段检测）设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设，则的大小关系为______． 5．（26-27高一上·河北·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 【考点4：作商法比较大小】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 2．（26-27高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较与（且，且）的大小． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 5．（26-27高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（26-27高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 5．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知，正确结论的序号是______． ①，②，③ 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（26-27高一上·青海·阶段检测）设，，则的范围是________________. 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知实数，满足，，则范围是____________ 3．（专题02一元二次函数、方程和不等式（期末复习知识清单）高一数学上学期人教A版）已知，，求，，的范围． 4．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)比较与的大小关系． (2)已知，，求的范围； 5．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $