2.2基本不等式课时作业（拔高版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《2.2 基本不等式（第2课时）》课时作业设计（拔高版） 一、作品基础信息 项目 内容 作品名称 《2.2 基本不等式（第2课时）》课时作业（拔高版） 学段学科 高中·数学 适用年级 高一 教材版本 人教A版（2019）普通高中教科书·数学 必修第一册 对应内容 第二章 一元二次函数、方程和不等式 → 2.2 基本不等式（第2课时·综合应用） 作业类型 分层作业（提优选做，面向 A、B 层学有余力的学生） 完成时长 45 分钟 设计者 胡晓宁 二、设计背景与依据 2.1 课标要求 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求：在掌握基本不等式的基础上，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，并体会不等式在解决实际问题中的作用，发展数学建模与数学运算素养。 本课时对应的学业质量水平要求为水平二：能在关联的情境中选择恰当的方法（换元、消元、构造函数等）将问题转化为可求解的形式；能对实际问题建立函数模型，并通过求解模型作出判断。 2.2 教材分析 单元地位：第 2 课时是基本不等式的应用与延伸，承接第 1 课时的公式与"一正二定三相等"，把基本不等式从"公式套用"推进到"方法运用"，是本节的能力出口。 知识逻辑：本课时的知识链条为——识别变量的个数与结构 → 选择合适的转化工具（因式分解、整体换元、消元、判别式） → 化为"和或积为定值" → 套用基本不等式求最值 → 回归实际情境作方案决策。四种工具的共性都是"降维"与"凑定"。 承前启后：本节是后续研究线性规划、函数最值、导数应用的直接基础；"判别式法"更与一元二次方程根的分布、函数值域问题一脉相承，是高中阶段"用方程研究不等式"的重要思想铺垫。 2.3 教学重难点 教学重点：在多变元、含条件等式的复杂结构中，选择恰当方法把问题转化为可用基本不等式求最值的形式。 教学难点：方法的选择与时机判断——面对同一个式子，为什么选换元而不选消元；以及在实际问题中如何建立函数模型并注意取值范围的约束。 2.4 学情分析 维度 具体分析 已有基础 已熟练掌握基本不等式的内容、等号成立条件与"一正二定三相等"；能完成第 1 课时的配凑、分离常数与"乘 1 法"；具备一元二次方程判别式的基础。 现有困惑 ① 面对含两个变量的条件等式时，不知道应该消元还是整体换元；② 因式分解式的结构（如"两式相乘为定值"）不易识别，看不出应把条件式分解；③ 判别式法"求啥设啥"的思路与前面所有方法都不同，思维跨度大。 差异分析 本卷面向 A、B 层学有余力的学生。A 层学生能独立完成换元与消元，难点在判别式法的思想转化与实际建模；B 层学生需要在教师给出方法提示后完成转化，故在题目编排上把"方法名"直接写在题组标题中，起到脚手架作用，待熟练后再撤除。 三、作业目标 3.1 目标编码 维度 编号 具体目标 对应核心素养 A 知识理解 A1 能说出因式分解、换元、消元、判别式四种方法各自的适用特征与转化目标。 数学抽象 A2 知道基本不等式使用前提中的"定值"可通过代数变形人为构造，理解"凑定"的意义。 逻辑推理 B 能力运用 B1 能对含"两式相乘"结构的条件等式因式分解，把约束式化为积为定值的形式。 数学运算 B2 能对分母为多项式（或两个分母之和为定值）的分式进行整体换元，化为基本不等式的标准型。 数学运算 B3 能利用条件等式消去多余变量，把多元问题化为一元问题后求最值。 数学运算 B4 能把目标式设为参数，通过构造一元二次方程并用判别式不小于零求出参数范围。 逻辑推理 C 思维发展 C1 能在多选项命题中逐项辨析真假，判断等号成立条件能否取到、最值是否真实存在。 逻辑推理 C2 能在实际情境中建立函数模型，用基本不等式求出最优方案，并对两个方案作出比较与选择。 数学建模 D 情感态度 D1 通过多种方法的对比与实际问题的解决，体会数学方法的灵活性与建模价值，形成"多法比较、择优使用"的意识。 数学建模 3.2 目标—题目—评价证据对照 目标编号 对应题号 评价证据 A1 1、3、7、8 能在解答中写出所用方法的名称与转化方向（如"令分母为整体"）。 A2 2、5、10 能说明变形后哪一部分为定值，并写出等号成立条件。 B1 1、2 解答中出现明确的条件式因式分解步骤，如两因式相乘为定值。 B2 3、4 解答中有整体换元的设元过程，换元后能说明新变量的取值范围。 B3 5、6 能由条件等式解出一个变量并代入目标式，得到一元函数。 B4 7、8、10（3） 能写出"设目标式为参数 → 代入 → 判别式不小于零"的完整链条。 C1 4、8 能逐项给出判断依据，指出等号取不到或范围受限的情形。 C2 9 建模完整：设变量 → 写函数关系 → 求最值 → 回到实际作答；方案比较有依据。 D1 全卷 卷面中出现方法选择的理由陈述；第 9 题能说明"为什么选方案①"。 四、作业设计思路 本作业以"方法工具"为线索编排，按"因式分解 → 换元 → 消元 → 判别式 → 实际建模 → 综合提升"六个题组展开，形成"工具识别—工具运用—综合调度"三级台阶。全卷共 10 题，其中解答题占 2 题，把训练重心放在方法运用与建模表达上。 第一级（第 1~4 题）：单一工具的识别与运用。 第 1、2 题围绕因式分解展开——核心动作是把条件等式化为"两式之积为定值"；第 3、4 题围绕换元展开——核心动作是把分式的分母设为整体，其中第 4 题的换元后还需注意等号成立条件的检验。题组标题直接写出方法名，为 B 层学生提供脚手架。 第二级（第 5~8 题）：工具的选择与切换。 第 5、6 题用消元法处理"一个条件、两个变量"的典型结构；第 7、8 题引入判别式法，用"求啥设啥"的思路把最值问题转化为方程有解问题——这是本卷思维跨度最大的一步，也是从"代数变形"走向"方程思想"的关键，第 8 题以多选形式要求学生在求出参数范围后与选项逐一比对。 第三级（第 9~10 题）：实际建模与综合调度。 第 9 题是经济情境下的方案决策问题，需对两个方案的获利情况作比较并说明理由，完整经历"建模—求解—作答"的全过程（C2、D1）；第 10 题三小问层层递进——先求积的最大值，再求和的最小值，最后求分式和的最小值，综合调用因式分解、换元与判别式三种方法，完整呈现"同一个条件等式可以导出多个不同结论"的思想。 与基础版的分工：基础版守住"教材变式"层级、面向全体、以选填题为主；本卷把四种高阶方法集中呈现、面向提优、加重解答题比重。两卷题号独立、内容互补，合起来构成从第 1 课时到第 2 课时的完整作业链条。 题量说明：原设计 17 题偏多，本轮精简为 10 题，删除的是方法重复的题目（如三道因式分解题保留 2 道、两道建模题保留 1 道），保留的 10 题覆盖全部 9 条目标，未因减量造成方法或目标的覆盖缺口。 五、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应目标 设计意图 参考答案与评价要点 1 单选 已知含两变量乘积与线性的约束，求线性组合的最小值 A1、B1 因式分解的入门题：条件式直接可分解 答案 B；关键是把条件式化为两式之积为 4 2 填空 已知含两变量的二次齐次约束等式，求线性组合的最小值 A2、B1 二次式因式分解，难度提升 答案 ；分解后两因式之积为定值 3 单选 已知含参范围，求两个一次分式之和的最小值 A1、B2 两分母之和为定值的换元模型 答案 A；须说明两分母均为正 4 填空 已知两变量之和，求两个含常数分母的分式之和的最小值 B2、C1 双分母换元 + 乘 1 法综合 答案 ；换元后需回代原变量 5 填空 已知两变量均大于 1 且含约束，求线性组合的最小值 A2、B3 由条件解出一个变量后消元 答案 13；消元后凑出"积为定值" 6 单选 已知二次型条件等式，求线性组合的最小值 B3 由条件式解出另一变量再代入 答案 C；须注意变量的取值范围 7 单选 已知二次型条件等式（正实数），求两变量之和的最大值 A1、B4 判别式法的标准模型：设参数代入 答案 C；须写出判别式不小于零并检验 8 多选 已知二次型条件等式（实数），判断两变量之和的可能取值 B4、C1 判别式法 + 取值范围落点判断 答案 BC；须先求出参数范围再比对选项 9 解答 设备购置后盈利额的函数关系与两种处理方案的比较 C2、D1 经济情境建模 + 方案决策，需说明理由 （1）函数关系式，第 3 年开始盈利；（2）方案①更合理 10 解答 已知正实数满足含乘积的约束，求积的最大值、和的最小值、分式和的最小值 A2、B4、C1 三小问层层递进，同一条件导出多个结论 （1）8；（2）；（3） 六、试题详情 一、因式分解法（第 1~2 题） 1．已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 ，，则 的最小值为___________． 二、换元法（第 3~4 题） 3．已知 ，则 的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________． 三、消元法（第 5~6 题） 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为____________． 6．已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 四、判别式法（万能 法）（第 7~8 题） 7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 8．（多选题）设 ，，若 ，则 的值可能为（　　） A． B． C．1 D．2 五、实际应用问题（第 9 题，解答题） 9．中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年．使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前 年累计所需维修、保养费用 万元满足如下关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备 年后盈利额为 万元． （1）写出 与 之间的关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为 ，当 达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额 达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额 ） 六、综合提升（第 10 题，解答题） 10．已知 ， 为正实数，且 ． （1）求 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 七、参考答案与解析 说明：选择题选出正确选项即得满分；多选题全部选对得满分、部分选对得部分分、有选错不得分；填空题只写答案不写过程、答案正确即视为掌握；解答题按步骤评定，建模、列式、求解、作答四个环节完整即可视为掌握。 一、因式分解法 1．答案：B 【分析】条件式是"乘积 + 线性"的结构，考虑把线性部分与常数一起分解，凑成两个因式之积为定值，再让目标式成为这两个因式的线性组合． 【详解】由 得 ，令 ，得到 ，所以 ．当且仅当 ，即 时等号成立．故选：B． 2．答案： 【分析】二次齐次等式先移项成 ，再因式分解；分解后观察目标式 能否写成两个因式的线性组合． 【详解】原式变形可得 ，分解因式得 ．因为 ，所以 ，即 ，，又因为 ，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ． 二、换元法 3．答案：A 【分析】两个分母之和 为定值，用"乘 1 法"展开配凑． 【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立．故选：A． 4．答案： 【分析】两个分母 与 之和不是定值，先整体换元，由条件 求出新变量之和，再用"乘 1 法"，最后回代原变量． 【详解】设 ，则 ．因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以当 时， 取最小值 ． 三、消元法 5．答案： 【分析】由条件等式解出 ，代入目标式后换元 ，把式子化为"整式 + 分式"的标准型． 【详解】由题可得 ，所以 ．令 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，， 时等号成立，所以 的最小值为 13． 6．答案：C 【分析】由条件式解出 并代入目标式消元，化为 的形式后使用基本不等式． 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取得等号，所以 的最小值是 ．故选：C． 四、判别式法（万能 法） 7．答案：C 【分析】目标是求 的最值，"求啥设啥"：设 ，把条件转化为关于 的一元二次方程，由方程有解得判别式不小于零． 【详解】设 ，则 ．因为 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，又因为 ， 为正实数，所以 ，所以 的最大值为 ．故选：C． 8．答案：BC 【分析】与第 7 题同法：设 ，用判别式求出 的范围后再与四个选项逐一比对． 【详解】令 ，则 ，代入 可得 ，关于 的方程有解，则 ，解得 ，即 ，则 BC 选项符合题意．故选：BC． 五、实际应用问题 **9．答案：（1）（，且 ），从第 3 年开始盈利；（2）方案①比较合理** 【分析】（1）先用 时 求出 ，写出盈利额函数并解不等式；（2）分别求出年平均盈利额与总盈利额的最大值，从获利与时间两方面比较两个方案． 【详解】（1）由题意可得，当 时 ，代入 得 ，解得 ，所以 ，所以 （，且 ）．令 ，解得 ，因为 ，所以 ，故从第 3 年开始盈利． （2）方案①比较合理，理由如下：因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故第 7 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利 万元；由 ，当 时，，故第 10 年，盈利额达到最大值，工厂获利 万元．因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理． 六、综合提升 10．答案：（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把条件变形为 ，构造关于 的一元二次不等式；（2）把条件整理成 再用基本不等式；（3）换元 ，，由 求 的最小值． 【详解】（1）因为 ， 为正实数，所以由 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，所以 ，即 ，可得 ，因此当 时， 有最大值 8． （2）由 得 ，即 ，因为 ， 为正实数，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以当 时， 有最小值 ． （3）设 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即当 时取等号，所以当 时， 有最小值 ． 八、作业评价方案 采用等级分层评价，从"正确率、完成态度、订正情况、进步评价、专项评价"五个维度，分 A（优秀）、B（合格）、C（待提高）三层设定标准： 评价维度 A 层（优秀） B 层（合格） C 层（待提高） 正确率 得分率 85% 以上（含多选题全对） 得分率 60%~84% 得分率低于 60% 完成态度 每个题组都能写出所用方法及转化方向，建模题过程完整 能完成大部分题组，偶有方法选择失误 只能完成单一工具的题组，综合题基本空白 订正情况 能独立订正并说明"为什么这个方法不适用" 能在方法提示下完成订正 需教师逐题演示后订正 进步评价 相较基础版作业，在方法识别与选择上有明显提升 能稳定使用 1~2 种方法 方法混淆，需重做专项训练 专项评价 能自选一个条件等式，独立设计并解答"求积最大 / 求和最小"两类问题 能在教师给定条件下完成同类设计 尚不能说出四种方法各自的适用特征 使用建议：本卷建议作为第 2 课时的课后选做，或作为单元复习阶段的方法梳理作业。若学生在第 8、10（3）题连续出错，说明"判别式法"的思想尚未建立，建议先用 2~3 道纯方程有解的题目作过渡，再回到最值问题。 九、设计特色与作业反思 9.1 设计特色 一是以"方法"而非"知识点"为组织线索。 全卷六个题组直接以方法命名（因式分解、换元、消元、判别式、实际建模、综合提升），让"看到什么样的结构就用什么样的工具"成为一条可记忆的规则，而非零散的技巧堆砌。 二是题组标题即脚手架。 考虑到本卷面向提优但也有 B 层学生使用，题组标题直接写出方法名，降低"该用什么方法"的元认知负担，让学生把注意力集中在"怎么用"上；待熟练后，教师可撤去标题，转化为"方法自选"的测验形式。 三是题量精简但方法不缩水。 全卷 10 题，四种转化方法各保留 2 道代表题（因式分解、换元、消元、判别式），并保留 1 道实际建模题与 1 道三问综合题，9 条目标全部有题目对应。减量减的是同类重复，不是方法覆盖。 四是在实际情境中完成育人落点。 第 9 题以芯片产业为背景，把基本不等式用于生产决策，并在两个方案之间作比较，既训练建模能力，又让学生体会"数学结论要回到实际情境中解释"的科学态度。 9.2 作业反思（预设） 预期问题一：第 1、2 题的困难不在于用不等式，而在于"看不出要因式分解"。改进措施：讲评时把条件等式与目标式并列板书，引导学生观察"目标式中的项是否是分解后两个因式的线性组合"。 预期问题二：第 4 题的换元需要回代原变量，学生容易漏掉。改进措施：要求换元时同步写出新变量的取值范围，并在结论处标注回代结果，把"换元必回代"固化为操作规范。 预期问题三：第 7、8 题"求啥设啥"的思路与前面所有方法都不同，思维跨度大。改进措施：先用"若 ，则方程必有解"作引导，再让学生自主完成判别式的计算；第 8 题还需强调"求出范围后要与选项比对"。 预期问题四：第 9 题容易漏掉取值范围（、）。改进措施：讲评时用"若 取 100 会怎样"作反例提问，强化"实际意义对变量范围的约束"这一易忽略环节。 题量调整说明：本卷由 17 题精简为 10 题，删除的是方法重复的题目（原第 2、6、9、11 题及两道建模题中的"花园"题），解答题比重由 3 题调整为 2 题，使全卷落在 45 分钟的合理区间。若实际教学中仍感时间紧张，建议把第 8 题（多选）改为课后思考题，进一步压缩客观题用时。 1 学科网（北京）股份有限公司 $