广东省梅州市兴宁市七年级数学上学期单元作业（北师大版七年级上册第二章）

数启新知·运算致远——有理数 单元分层创新作业设计 北师大版七年级数学上册·第二章 姓名：____________　　班级：____________　　得分：________ 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应初中数学核心素养为数感、运算能力、符号意识、推理能力、模型观念、数学态度。要求学生经历由具体到抽象、由算术到代数的认知过程，理解正数、负数与有理数的概念，掌握分类、数轴、相反数、绝对值的几何意义，熟练进行有理数的加减乘除、乘方及混合运算，能规范运用运算律简算，会用有理数解决温度、海拔、收支、盈亏等实际问题，达成“认识负数、读懂数轴、精准运算、解决实际问题”的学业质量标准。 教材地位：本章是初中数学的开篇奠基内容，是学生由小学非负数运算跨入初中数系运算的关键转折点，完成数系从非负数到有理数的第一次拓展。它承接小学整数、小数、分数的运算，是后续整式的加减、一元一次方程、函数、平面向量的基础，贯穿整个初中数学学习全程。有理数运算的熟练度与规范性，直接决定学生整个初中阶段的计算能力与学习信心。 教学重难点：重点为有理数的概念辨析与分类、数轴与相反数绝对值、有理数的大小比较、四则运算与乘方运算、混合运算顺序、运算律简算；难点为数轴三要素与距离的理解、绝对值的分类讨论与去括号、乘方中底数与指数的符号辨析、混合运算中符号的层层传递、实际问题中正负量的建模与提取。 2. 学情分析 七年级新生刚从小学毕业，具备整数、小数、分数四则运算经验，但运算习惯以正数为默认前提，缺少带符号运算的经验与数感。本章是负数概念与符号意识的首次系统建立，学生易在以下环节出错：一是认为0既不是正数也不是负数，从而将有理数分类时遗漏0；二是在数轴上把点的位置关系与两点距离混淆；三是加减法中把绝对值运算与符号处理割裂，符号错误率居高不下；四是把-3²与(-3)²混淆；五是实际问题中不会由情境提取正负量。教学中应坚持“数轴—符号—运算律”三线并行的讲法，用动态数轴活动、竞技类情境与错例辨析支撑概念建构。 3. 设计意图 本次《有理数》单元作业延续“基础固本—真题实战—探究拓思—实践赋能”四级梯度体例，贴合七年级新生认知规律。基础板块全覆盖有理数概念、分类、数轴、相反数、绝对值、四则运算、乘方与混合运算，帮助学生建立负数数感，纠正符号错误、概念混淆等入门级高频易错点；真题板块对接月考、期末考情，聚焦不等式性质、绝对值化简、混合运算、运算律简算与实际求值等高频考点，规范步骤、提升准确率；探究板块突破绝对值分类讨论、乘方符号规律、新运算归纳等难点，培养分类讨论与归纳推理思维；跨学科实践板块链接气象温度、地理海拔、阶梯电价、体育积分等真实场景，落实数学建模与学以致用的核心素养，分层实现全员夯实基础、中层规范拔高、优生思维拓维，帮助学生顺利完成小学到初中的运算思维转型。 整体体例：一、重点基础题型10题｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题（总题量26题，分层梯度清晰） 4. 作业结构一览 一、重点基础题型10题（选择5题、填空2题、计算与解答3题）｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题；全卷共26题，附答案与逐题解析． （一）重点基础题型10题（分层保底，全覆盖考点） 题型配比：选择5题、填空2题、计算与解答3题。 考点全覆盖：正数与负数的意义、有理数的定义与分类、数轴三要素与点的对应、有理数的大小比较、相反数与绝对值的定义及几何意义、有理数加减法、有理数乘除法、有理数的乘方与符号规律、混合运算顺序、运算律与简便运算、科学记数法与近似数。全程无偏难怪题，聚焦课本核心基础考点，难度低、适配性强，保证全员可做、全员会做。 设计亮点：每道题对标核心考点，学生错题可溯源到课本对应章节，精准查漏补缺，适配单元课后巩固与基础复盘。 一、单选题 1．下列各数中，属于负数的是（   ） A．3 B．0 C． D．1 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的概念．掌握相关定义即可．根据正数是比0大的数，负数是比0小的数即可解答． 【详解】解：选项各数中，属于负数的是， 故选：C． 2．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度是，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精冻结需要的时间为（   ） A．204.8分钟 B．80分钟 C．66.25分钟 D．169.6分钟 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，计算从当前温度到冻结温度的总温差，再除以每分钟降低的温度，得到时间即可． 【详解】解： （分钟） 故选：B． 3．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数的大小关系；熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、是解决本题的关键．根据数轴得，，然后依次进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得， A、由图可知，，，得，故此选项不符合题意； B、由图可知，，故选项不符合题意； C、由图可知，，，得，故选项不符合题题意； D、由图可知，，，，得，故选项符合题意； 故选：D． 4．小于且大于的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数大小比较，根据题意可知小于且大于的所有整数为：2020，，，，，，，，，再相加即可． 【详解】解：由小于且大于的所有整数为：2020，，，，，，，，， 则有 ， 故选：D． 5．下列说法正确的个数是（    ） ①正有理数和负有理数统称有理数； ②一个有理数不是整数就是分数； ③正整数和负整数统称为整数； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、绝对值的几何意义 【分析】根据有理数的相关概念、绝对值的性质分析判断即可． 【详解】解：①有理数包括正有理数、负有理数和0，故该说法错误； ②一个有理数不是整数就是分数，该说法正确； ③整数包括正整数、负整数和0，故该说法错误； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数或0，故该说法错误． 综上所述，说法正确的有②，合计1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的概念和分类、绝对值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 6．绝对值是2026的有理数是________． 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的求法求解即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值是2026的有理数是2026或， 故答案为：2026或． 7．被称为“地球之肺”的森林正以每年的速度从地球上消失．每年森林的消失量用科学记数法表示为______． 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 8．计算 (1)； (2)． 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．请画出一条数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． ，3，， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数和绝对值的意义、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的方法，是解此题的关键． 【详解】，， 将这些数表示在数轴上如图所示： ， 由图可得，用“”号把这些数连接起来为：． 10．在一次抗洪救灾中，解放军驾驶冲锋舟在一条东西方向的河流中抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，规定向东为正，当天航行路程如下：（单位 14，，18，，13，，， (1)地在地的什么位置，距地多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.45升，开始出发时，油箱中有油30升，问中途是否需要加油？若需要加油需加多少升，为什么？ 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数， （1）把这些正数和负数全部相加进行计算，即可解答； （2）把这些正数和负数的绝对值全部相加进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 地在地的东边，距地； （2）(2) 需要加6.45升， 理由： ， （升， （升． 中途需要加油，需加6.45升． （二）真题感知10题（对接考情，梯度进阶） 选题来源：精选各地中考与七年级阶段检测中的有理数基础运算真题及改编题，严格剔除超纲、超难题型，全部贴合《有理数》单元核心考点。 题型设置：选择4道、填空2道、解答4道。由易到难梯度排布，循序渐进提升解题能力。 设计亮点：每道真题配【知识点】【分析】【详解】三栏拆解，让学生不仅会做题，更能读懂考点、摸清考法、明晰易错规律，跳出机械刷题模式。 一、单选题 11．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 亿， 故选：C． 12．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 【知识点】有理数的加减混合运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的加减运算与一元一次方程在幻方数字和问题中的应用，解题关键是通过总数字和确定相等的和，再列方程求解未知量． 先计算所有数字的总和，确定横、竖及正方形顶点数字之和的定值，再通过列方程依次求出b、，最后结合内正方形顶点数字和的关系求出c的值． 【详解】计算所有数字的总和为： ； 因为横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等， 所以每个“和”为． 先看竖列：，即， 解得． 再看外正方形顶点：，即， 解得． 剩下的数字为、3、、， 因为，而剩下的两个数字， 所以和分别为和（顺序可换）． 最后看内正方形顶点：， 已知，代入得，即， 解得． 故选：C． 13．观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 14．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 二、填空题 15．定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求_______． 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据当时，，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 16．数轴上表示6的点为，该数轴上到点的距离为2的点所表示的数为______． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，数轴上两点间的距离，有理数加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论．点A所表示的数为，到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数有两个，分别位于点A的两侧，据此即可得答案． 【详解】解：∵数轴上表示6的点为， ∴点A表示6， 到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数有两个，分别位于点A的两侧， 当在点A右侧时：， 当在点A左侧时：， 综上分析可知：数轴上到点的距离为2的点所表示的数为8或4． 故答案为：8或4． 三、解答题 17．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月________日，达到________万人．游客人数超过万人的天数有________天． (3)在国庆七天，该风景区内平均每天接待多少游客？（结果精确到千位） 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，正负数的实际应用，求一个数的近似数： （1）将0.9加上，10月1，2，3的变化量即可求解； （2）分别计算每天的游客数量即可得到答案； （3）把（2）中每天的游客量相加，即可求解． 【详解】（1）解：万人， ∴10月3日的人数为万人， 故答案为：； （2）解：10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 10月7日的人数为：万人， ∴七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数超过万人的天数有5天； 故答案为：2；；5； （3）解：万人， ∴该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 18．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 19．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上对应的数分别为，，则，两点间的距离表示为．那么式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离：式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．根据以上知识解题： (1)如果点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示，那么______，______； (2)如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么______； (3)如果数轴上表示数的点位于和2之间，那么______． 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，化简绝对值： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意推出，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示， ∴，， 故答案为：1；7； （2）解：由题意得，， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或1； （3）解：∵数轴上表示数的点位于和2之间， ∴， ∴， 故答案为：． 20．观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解； （4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题目中的规律，可得 ①∵，∴； ②∵，∴． 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，． 故答案为：；； （3）由数轴可知，， ∴． 故选：C； （4） ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、有理数运算等知识，解题的关键是根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （三）探究式学习3题（思维拔高） 设计亮点：聚焦本章核心难点，设置动态变式、静态规律、开放创新三类探究题型，层层拔高，突破基础运算局限，培养分类讨论、归纳推理与创新表达思维。 探究1：动态变式探究——含绝对值代数式的分类讨论探究，突破去绝对值的符号处理难点。 探究2：静态规律探究——有理数乘方与新运算（除方）的符号规律探究，归纳提炼通性结论。 探究3：开放题型探究——观察归纳一般项并拓展求和，训练从具体到抽象的概括能力。 21．（探究题）在解决数学问题的过程中，分类讨论是常用的数学思想．下面是运用分类讨论解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求|a+b|+|a-b|的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数；②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，则a+b＞0，a-b的符号不定． 当a＞b时，a-b＞0，原式=a+b+a-b=2a； 当a＜b时，a-b＜0，原式=a+b-a+b=2b． ②若a、b都是负数，则a+b＜0，a-b的符号同样不定． 当a＞b时，a-b＞0，原式=-a-b+a-b=-2b； 当a＜b时，a-b＜0，原式=-a-b-a+b=-2a． 所以原式的值与a、b的具体大小有关． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)若a、b同号且|a|＞|b|，求|a+b|+|a-b|的值； (2)若a、b异号，求|a+b|+|a-b|的值； (3)若a、b为不等于0的有理数且a＞b，判断|a|+|b|与|a+b|的大小关系，并说明理由． 【知识点】绝对值何时去、符号何时变，完全取决于a、b的符号组合，因此必须分类讨论． 【分析】绝对值何时去、符号何时变，完全取决于a、b的符号组合，因此必须分类讨论． 【详解】解：(1)a、b同号且|a|＞|b|，此时a与b的绝对值大小已确定， 如a=5、b=2时，原式=|7|+|3|=7+3=10=2|a|； 如a=-5、b=-2时，原式=|-7|+|-3|=7+3=10=2|a|． 故答案为2|a|． (2)a、b异号，如a=5、b=-2，原式=|3|+|7|=3+7=10=2×5=2max{|a|，|b|}； 如a=-5、b=2，原式=|-3|+|-7|=3+7=10=2max{|a|，|b|}． 故答案为2max{|a|，|b|}． (3)当ab＞0时a、b同号，|a|+|b|=|a+b|，两者相等； 当ab＜0时|a+b|=||a|-|b||<|a|+|b|，故|a|+|b|＞|a+b|． 如a=5、b=2时，原式=|7|+|3|=7+3=10=2|a|； 如a=-5、b=-2时，原式=|-7|+|-3|=7+3=10=2|a|． 故答案为2|a|． (2)a、b异号，如a=5、b=-2，原式=|3|+|7|=3+7=10=2×5=2max{|a|，|b|}； 如a=-5、b=2，原式=|-3|+|-7|=3+7=10=2max{|a|，|b|}． 故答案为2max{|a|，|b|}． (3)当ab＞0时a、b同号，|a|+|b|=|a+b|，两者相等； 当ab＜0时|a+b|=||a|-|b||<|a|+|b|，故|a|+|b|＞|a+b|． 22．（探究题）【概念学习】 观察下列算式： 3³÷3²=3³×3⁻²，　(-2)³÷(-2)²=(-2)³×(-2)⁻²． 一般地，非零有理数a满足aⁿ÷aᵐ＝aⁿ×a⁻ᵐ（m、n为正整数），读作a的n次方除以a的m次方等于a的n次方乘以a的负m次方． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：(-1)⁵÷(-1)³＝______；　(-2)⁴÷(-2)²＝______． 【深入思考】 （2）仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①(-3)⁵÷(-3)²＝______；　②x⁷÷x³＝______（x≠0）． 算一算：①中幂的值是多少；②中幂的值是多少． 【拓展探究】 （3）探究：一般地，aⁿ÷aᵐ（n＞m，a≠0）的结果只与哪些量有关？请用含a、m、n的式子表示，并说明当n-m为奇数时结果的符号． 【知识点】把新运算除方转化为已学的同底数幂的运算，指数相减，再按有理数乘方符号规律求值． 【分析】把新运算除方转化为已学的同底数幂的运算，指数相减，再按有理数乘方符号规律求值． 【详解】解：(1)(-1)⁵=-1，(-1)³=-1，所以(-1)⁵÷(-1)³=(-1)×(-1)=1； (-2)⁴=16，(-2)²=4，所以16÷4=1． (2)①(-3)⁵÷(-3)²=(-3)⁵×(-3)⁻²=(-3)³=(-3)×(-3)×(-3)=-27； ②x⁷÷x³=x⁴． (3)由aⁿ÷aᵐ＝aⁿ×a⁻ᵐ=aⁿ⁻ᵐ可知，结果只由底数a与指数差n-m决定； 当n-m为奇数时，结果符号与a相同；当n-m为偶数时，结果为正数． (-2)⁴=16，(-2)²=4，所以16÷4=1． (2)①(-3)⁵÷(-3)²=(-3)⁵×(-3)⁻²=(-3)³=(-3)×(-3)×(-3)=-27； ②x⁷÷x³=x⁴． (3)由aⁿ÷aᵐ＝aⁿ×a⁻ᵐ=aⁿ⁻ᵐ可知，结果只由底数a与指数差n-m决定； 当n-m为奇数时，结果符号与a相同；当n-m为偶数时，结果为正数． 23．（探究题）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请仔细观察，解答下列问题： ①(-1)¹=-1； ②(-1)²=1； ③(-1)³=-1； ④(-1)⁴=1． (1)按以上规律，第5个等式为：________；第n个等式的结果为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算(-1)²⁰²⁶； (3)探究计算：(-1)²⁰²⁶+(-1)²⁰²⁵+(-1)²⁰²⁴+…+(-1)²+(-1)¹+(-1)⁰． 【知识点】按指数的奇偶性归纳：正数的幂为正，负数的偶次幂为正、奇次幂为负． 【分析】按指数的奇偶性归纳：正数的幂为正，负数的偶次幂为正、奇次幂为负． 【详解】解：(1)指数5为奇数，所以(-1)⁵=-1； 一般地，当n为偶数时(-1)ⁿ=1，当n为奇数时(-1)ⁿ=-1． (2)2026为偶数，所以(-1)²⁰²⁶=1． (3)2026为偶数，(−1)²⁰²⁶=1；2025为奇数，(-1)²⁰²⁵=-1；各项依次为1、-1、1、-1、…、-1、1，共2027项， 其中取1的项有1014项，取-1的项有1013项， 原式=1014-1013=1． 一般地，当n为偶数时(-1)ⁿ=1，当n为奇数时(-1)ⁿ=-1． (2)2026为偶数，所以(-1)²⁰²⁶=1． (3)2026为偶数，(−1)²⁰²⁶=1；2025为奇数，(-1)²⁰²⁵=-1；各项依次为1、-1、1、-1、…、-1、1，共2027项， 其中取1的项有1014项，取-1的项有1013项， 原式=1014-1013=1． （四）跨学科实践3题（特色创新） 设计亮点：立足有理数运算的工具性特点，打破学科壁垒，链接气象、物理、地理、财经、体育等多元场景，落实学以致用，凸显数学的跨学科应用价值。 1.跨物理/地理学科：以气温升降、海拔高低为素材，用正负数表示高于或低于海平面、上升或下降，完成有理数加减运算，理解负数的实际意义。 2.跨财经/生活学科：以阶梯电费、账单核算为素材，运用有理数乘除与混合运算完成分段计算与全年估算，体会数学在生活中的量化价值。 3.跨体育/统计学科：以球类联赛积分、成绩排名为素材，用正负数定义胜负积分与扣分，核算总分与分差，感受数理统计赋能文体赛事的严谨性。 34．（跨学科题）阅读材料，完成下列问题． 材料：某气象站记录了某地连续七天的最高气温（单位：℃），其中第四天数据缺失，其余六天依次为6、3、-1、2、-3、0．经查，第四天气温比第三天降低了4℃． 问题1：分别求这七天最高气温的极差与平均数； 问题2：某游客于上午7时从海拔-50米处出发，每小时上升400米，4小时后到达的高度是多少米？请写出表达这一过程的式子并求出结果． 【知识点】缺失数据先由文字条件补出，再用极差、平均数公式与有理数加减运算完成统计与建模． 【分析】缺失数据先由文字条件补出，再用极差、平均数公式与有理数加减运算完成统计与建模． 【详解】解：问题1：第四天气温比第三天(-1℃)降低4℃，即为-1-4=-5(℃)； 七天气温为6、3、-1、2、-5、-3、0， 极差=6-(-5)=11(℃)； 平均数=(6+3-1+2-5-3+0)÷7=2÷7≈0.3(℃)． 问题2：设出发点海拔为h0=-50米，上升高度为400×4=1600米， 则到达高度为h=-50+400×4=-50+1600=1550（米）． 七天气温为6、3、-1、2、-5、-3、0， 极差=6-(-5)=11(℃)； 平均数=(6+3-1+2-5-3+0)÷7=2÷7≈0.3(℃)． 问题2：设出发点海拔为h0=-50米，上升高度为400×4=1600米， 则到达高度为h=-50+400×4=-50+1600=1550（米）． 35．（跨学科题）账单中的数学． 素材1：为响应节能减排，居民电费实行阶梯电价，收费标准如下表． 第一档：月用电量不超过180千瓦时的部分，0.55元/千瓦时； 第二档：月用电量超过180千瓦时且不超过400千瓦时的部分，0.65元/千瓦时； 第三档：月用电量超过400千瓦时的部分，0.85元/千瓦时． 素材2：小明家上月用电量为360千瓦时，账单如下：第一档电费＝180×0.55＝99.00元；第二档电费＝180×0.65＝117.00元；合计＝216.00元． 素材3：小亮家与小明家用电结构相同，上月用电量为410千瓦时． 问题1：计算小明家上月应缴电费多少元？ 问题2：计算小亮家上月应缴电费多少元（精确到0.01元）； 问题3：若某户月用电量为300千瓦时，请用科学记数法表示该户全年（365天按同样用量）用电量，并求该户全年电费（结果精确到元）． 【知识点】阶梯电价必须分段计算再求和，用有理数乘除与加减混合运算完成账单核算． 【分析】阶梯电价必须分段计算再求和，用有理数乘除与加减混合运算完成账单核算． 【详解】解：问题1：由素材2知电费＝99.00+117.00＝216.00（元）； 问题2：410＝180+220+10， 电费＝99+220×0.65+10×0.85＝99+143+8.50＝250.50（元）； 问题3：全年用电量＝300×365＝109500（千瓦时）＝1.095×10⁵（千瓦时）； 月用电量300千瓦时处于第一、二档，月电费＝99+120×0.65＝99+78＝177（元）； 全年电费＝177×365＝64605（元）≈6.4605×10⁴（元）． 问题2：410＝180+220+10， 电费＝99+220×0.65+10×0.85＝99+143+8.50＝250.50（元）； 问题3：全年用电量＝300×365＝109500（千瓦时）＝1.095×10⁵（千瓦时）； 月用电量300千瓦时处于第一、二档，月电费＝99+120×0.65＝99+78＝177（元）； 全年电费＝177×365＝64605（元）≈6.4605×10⁴（元）． 36．（跨学科题）校园篮球联赛积分规则：胜一场得2分，负一场扣1分，平一场得0分．某队6场比赛的得分依次为：+2、+2、-1、0、+2、+2． 问题1：该队胜、负、平各多少场？ 问题2：该队总积分为多少分？若把“负一场扣1分”改为“负一场扣2分”，则总积分变为多少分？ 问题3：某赛季采用新的积分规则：胜一场得3分，负一场扣1分，平一场得1分．该队共打17场，总积分为41分，其中平局有3场，求该队胜了多少场、负了多少场； 问题4：请用不超过60字写出一句话，谈谈正负数在体育积分统计中的作用． 【知识点】把联赛规则翻译成有理数加减运算；再用“场数总和”与“积分总和”列方程组求解． 【分析】把联赛规则翻译成有理数加减运算；再用“场数总和”与“积分总和”列方程组求解． 【详解】解：问题1：由表中符号可知+2表示胜，共出现4次；-1表示负，出现1次；0表示平，出现1次．故胜4场、负1场、平1场； 问题2：总积分＝2+2-1+0+2+2＝7（分）； 负一场改扣2分，则总积分＝2+2-2+0+2+2＝6（分）； 问题3：设该队胜x场、负y场、平3场． 依场数：x+y+3=17，即x+y=14； 依积分：3x-y+1×3=41，即3x-y=38； 两式相加得4x=52，所以x=13，y=1． 即该队胜13场、负1场、平3场． 问题4：见答案示例． 问题2：总积分＝2+2-1+0+2+2＝7（分）； 负一场改扣2分，则总积分＝2+2-2+0+2+2＝6（分）； 问题3：设该队胜x场、负y场、平3场． 依场数：x+y+3=17，即x+y=14； 依积分：3x-y+1×3=41，即3x-y=38； 两式相加得4x=52，所以x=13，y=1． 即该队胜13场、负1场、平3场． 问题4：见答案示例． · 简其繁，通其理 负数的引入，使数轴得以左右延伸，使运算的符号与绝对值得以分离。本章是初中运算体系的起点，请同学们把每一次运算都落在数轴上检验符号，把每一道错题都整理到对应的知识点上订正——把有理数算准、算快、算巧，后续的整式、方程与函数学习才会一路顺遂。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数启新知·运算致远——有理数 单元分层创新作业设计 北师大版七年级数学上册·第二章 姓名：____________　　班级：____________　　得分：________ 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应初中数学核心素养为数感、运算能力、符号意识、推理能力、模型观念、数学态度。要求学生经历由具体到抽象、由算术到代数的认知过程，理解正数、负数与有理数的概念，掌握分类、数轴、相反数、绝对值的几何意义，熟练进行有理数的加减乘除、乘方及混合运算，能规范运用运算律简算，会用有理数解决温度、海拔、收支、盈亏等实际问题，达成“认识负数、读懂数轴、精准运算、解决实际问题”的学业质量标准。 教材地位：本章是初中数学的开篇奠基内容，是学生由小学非负数运算跨入初中数系运算的关键转折点，完成数系从非负数到有理数的第一次拓展。它承接小学整数、小数、分数的运算，是后续整式的加减、一元一次方程、函数、平面向量的基础，贯穿整个初中数学学习全程。有理数运算的熟练度与规范性，直接决定学生整个初中阶段的计算能力与学习信心。 教学重难点：重点为有理数的概念辨析与分类、数轴与相反数绝对值、有理数的大小比较、四则运算与乘方运算、混合运算顺序、运算律简算；难点为数轴三要素与距离的理解、绝对值的分类讨论与去括号、乘方中底数与指数的符号辨析、混合运算中符号的层层传递、实际问题中正负量的建模与提取。 2. 学情分析 七年级新生刚从小学毕业，具备整数、小数、分数四则运算经验，但运算习惯以正数为默认前提，缺少带符号运算的经验与数感。本章是负数概念与符号意识的首次系统建立，学生易在以下环节出错：一是认为0既不是正数也不是负数，从而将有理数分类时遗漏0；二是在数轴上把点的位置关系与两点距离混淆；三是加减法中把绝对值运算与符号处理割裂，符号错误率居高不下；四是把-3²与(-3)²混淆；五是实际问题中不会由情境提取正负量。教学中应坚持“数轴—符号—运算律”三线并行的讲法，用动态数轴活动、竞技类情境与错例辨析支撑概念建构。 3. 设计意图 本次《有理数》单元作业延续“基础固本—真题实战—探究拓思—实践赋能”四级梯度体例，贴合七年级新生认知规律。基础板块全覆盖有理数概念、分类、数轴、相反数、绝对值、四则运算、乘方与混合运算，帮助学生建立负数数感，纠正符号错误、概念混淆等入门级高频易错点；真题板块对接月考、期末考情，聚焦不等式性质、绝对值化简、混合运算、运算律简算与实际求值等高频考点，规范步骤、提升准确率；探究板块突破绝对值分类讨论、乘方符号规律、新运算归纳等难点，培养分类讨论与归纳推理思维；跨学科实践板块链接气象温度、地理海拔、阶梯电价、体育积分等真实场景，落实数学建模与学以致用的核心素养，分层实现全员夯实基础、中层规范拔高、优生思维拓维，帮助学生顺利完成小学到初中的运算思维转型。 整体体例：一、重点基础题型10题｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题（总题量26题，分层梯度清晰） 4. 作业结构一览 一、重点基础题型10题（选择5题、填空2题、计算与解答3题）｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题；全卷共26题，附答案与逐题解析． （一）重点基础题型10题（分层保底，全覆盖考点） 题型配比：选择5题、填空2题、计算与解答3题。 考点全覆盖：正数与负数的意义、有理数的定义与分类、数轴三要素与点的对应、有理数的大小比较、相反数与绝对值的定义及几何意义、有理数加减法、有理数乘除法、有理数的乘方与符号规律、混合运算顺序、运算律与简便运算、科学记数法与近似数。全程无偏难怪题，聚焦课本核心基础考点，难度低、适配性强，保证全员可做、全员会做。 设计亮点：每道题对标核心考点，学生错题可溯源到课本对应章节，精准查漏补缺，适配单元课后巩固与基础复盘。 一、单选题 1．下列各数中，属于负数的是（   ） A．3 B．0 C． D．1 2．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度是，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精冻结需要的时间为（   ） A．204.8分钟 B．80分钟 C．66.25分钟 D．169.6分钟 3．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．小于且大于的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的个数是（    ） ①正有理数和负有理数统称有理数； ②一个有理数不是整数就是分数； ③正整数和负整数统称为整数； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．绝对值是2026的有理数是________． 7．被称为“地球之肺”的森林正以每年的速度从地球上消失．每年森林的消失量用科学记数法表示为______． 三、解答题 8．计算 (1)； (2)． 9．请画出一条数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． ，3，， 10．在一次抗洪救灾中，解放军驾驶冲锋舟在一条东西方向的河流中抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，规定向东为正，当天航行路程如下：（单位 14，，18，，13，，， (1)地在地的什么位置，距地多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.45升，开始出发时，油箱中有油30升，问中途是否需要加油？若需要加油需加多少升，为什么？ （二）真题感知10题（对接考情，梯度进阶） 选题来源：精选各地中考与七年级阶段检测中的有理数基础运算真题及改编题，严格剔除超纲、超难题型，全部贴合《有理数》单元核心考点。 题型设置：选择4道、填空2道、解答4道。由易到难梯度排布，循序渐进提升解题能力。 设计亮点：每道真题配【知识点】【分析】【详解】三栏拆解，让学生不仅会做题，更能读懂考点、摸清考法、明晰易错规律，跳出机械刷题模式。 一、单选题 11．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 12．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 13．观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 14．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 15．定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求_______． 16．数轴上表示6的点为，该数轴上到点的距离为2的点所表示的数为______． 三、解答题 17．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月________日，达到________万人．游客人数超过万人的天数有________天． (3)在国庆七天，该风景区内平均每天接待多少游客？（结果精确到千位） 18．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 19．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上对应的数分别为，，则，两点间的距离表示为．那么式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离：式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．根据以上知识解题： (1)如果点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示，那么______，______； (2)如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么______； (3)如果数轴上表示数的点位于和2之间，那么______． 20．观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． （三）探究式学习3题（思维拔高） 设计亮点：聚焦本章核心难点，设置动态变式、静态规律、开放创新三类探究题型，层层拔高，突破基础运算局限，培养分类讨论、归纳推理与创新表达思维。 探究1：动态变式探究——含绝对值代数式的分类讨论探究，突破去绝对值的符号处理难点。 探究2：静态规律探究——有理数乘方与新运算（除方）的符号规律探究，归纳提炼通性结论。 探究3：开放题型探究——观察归纳一般项并拓展求和，训练从具体到抽象的概括能力。 21．（探究题）在解决数学问题的过程中，分类讨论是常用的数学思想．下面是运用分类讨论解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求|a+b|+|a-b|的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数；②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，则a+b＞0，a-b的符号不定． 当a＞b时，a-b＞0，原式=a+b+a-b=2a； 当a＜b时，a-b＜0，原式=a+b-a+b=2b． ②若a、b都是负数，则a+b＜0，a-b的符号同样不定． 当a＞b时，a-b＞0，原式=-a-b+a-b=-2b； 当a＜b时，a-b＜0，原式=-a-b-a+b=-2a． 所以原式的值与a、b的具体大小有关． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)若a、b同号且|a|＞|b|，求|a+b|+|a-b|的值； (2)若a、b异号，求|a+b|+|a-b|的值； (3)若a、b为不等于0的有理数且a＞b，判断|a|+|b|与|a+b|的大小关系，并说明理由． 22．（探究题）【概念学习】 观察下列算式： 3³÷3²=3³×3⁻²，　(-2)³÷(-2)²=(-2)³×(-2)⁻²． 一般地，非零有理数a满足aⁿ÷aᵐ＝aⁿ×a⁻ᵐ（m、n为正整数），读作a的n次方除以a的m次方等于a的n次方乘以a的负m次方． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：(-1)⁵÷(-1)³＝______；　(-2)⁴÷(-2)²＝______． 【深入思考】 （2）仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①(-3)⁵÷(-3)²＝______；　②x⁷÷x³＝______（x≠0）． 算一算：①中幂的值是多少；②中幂的值是多少． 【拓展探究】 （3）探究：一般地，aⁿ÷aᵐ（n＞m，a≠0）的结果只与哪些量有关？请用含a、m、n的式子表示，并说明当n-m为奇数时结果的符号． 23．（探究题）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请仔细观察，解答下列问题： ①(-1)¹=-1； ②(-1)²=1； ③(-1)³=-1； ④(-1)⁴=1． (1)按以上规律，第5个等式为：________；第n个等式的结果为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算(-1)²⁰²⁶； (3)探究计算：(-1)²⁰²⁶+(-1)²⁰²⁵+(-1)²⁰²⁴+…+(-1)²+(-1)¹+(-1)⁰． （四）跨学科实践3题（特色创新） 设计亮点：立足有理数运算的工具性特点，打破学科壁垒，链接气象、物理、地理、财经、体育等多元场景，落实学以致用，凸显数学的跨学科应用价值。 1.跨物理/地理学科：以气温升降、海拔高低为素材，用正负数表示高于或低于海平面、上升或下降，完成有理数加减运算，理解负数的实际意义。 2.跨财经/生活学科：以阶梯电费、账单核算为素材，运用有理数乘除与混合运算完成分段计算与全年估算，体会数学在生活中的量化价值。 3.跨体育/统计学科：以球类联赛积分、成绩排名为素材，用正负数定义胜负积分与扣分，核算总分与分差，感受数理统计赋能文体赛事的严谨性。 24．（跨学科题）阅读材料，完成下列问题． 材料：某气象站记录了某地连续七天的最高气温（单位：℃），其中第四天数据缺失，其余六天依次为6、3、-1、2、-3、0．经查，第四天气温比第三天降低了4℃． 问题1：分别求这七天中最高气温与最低气温的差与七天的平均气温； 问题2：某游客于上午7时从海拔-50米处出发，每小时上升400米，4小时后到达的高度是多少米？请写出表达这一过程的式子并求出结果． 25．（跨学科题）账单中的数学． 素材1：为响应节能减排，居民电费实行阶梯电价，收费标准如下表． 第一档：月用电量不超过180千瓦时的部分，0.55元/千瓦时； 第二档：月用电量超过180千瓦时且不超过400千瓦时的部分，0.65元/千瓦时； 第三档：月用电量超过400千瓦时的部分，0.85元/千瓦时． 素材2：小明家上月用电量为360千瓦时，账单如下：第一档电费＝180×0.55＝99.00元；第二档电费＝180×0.65＝117.00元；合计＝216.00元． 素材3：小亮家与小明家用电结构相同，上月用电量为410千瓦时． 问题1：计算小明家上月应缴电费多少元？ 问题2：计算小亮家上月应缴电费多少元（精确到0.01元）； 问题3：若某户月用电量为300千瓦时，请用科学记数法表示该户全年（365天按同样用量）用电量，并求该户全年电费（结果精确到元）． 26．（跨学科题）校园篮球联赛积分规则：胜一场得2分，负一场扣1分，平一场得0分．某队6场比赛的得分依次为：+2、+2、-1、0、+2、+2． 问题1：该队胜、负、平各多少场？ 问题2：该队总积分为多少分？若把“负一场扣1分”改为“负一场扣2分”，则总积分变为多少分？ 问题3：某赛季采用新的积分规则：胜一场得3分，负一场扣1分，平一场得1分．该队共打17场，总积分为41分，其中平局有3场，求该队胜了多少场、负了多少场； 问题4：请用不超过60字写出一句话，谈谈正负数在体育积分统计中的作用． 简其繁，通其理 负数的引入，使数轴得以左右延伸，使运算的符号与绝对值得以分离。本章是初中运算体系的起点，请同学们把每一次运算都落在数轴上检验符号，把每一道错题都整理到对应的知识点上订正——把有理数算准、算快、算巧，后续的整式、方程与函数学习才会一路顺遂。 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $