29.3 弧长和扇形面积 小节训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 小节训练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 5．如图，冰淇淋甜筒呈圆锥形，则圆锥部分侧面包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 6．已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 7．若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，那么圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将绕点C旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D．上答案都不对 9．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A．60° B．90° C．120° D．135° 10．如图所示，图①是一款木雕作品，其主视图如图②所示，点为优弧的圆心，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 12．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 13．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 14．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    15．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___. 三、解答题 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 17．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 18．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的长为，宽为，求要打掉的墙体面积. 19．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 20．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C B C B C A 1．【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了求弧长，圆锥的侧面展开图；设扇形的半径为r，利用圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，即可求解． 【详解】解：设扇形的半径为r， 由题意得：， 解得：； 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】求圆心角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据题意，所经过的路径是以为直径的圆，进而根据圆周长公式计算即可 【详解】解：依题意，所经过的路径是以为直径的圆， 点P所经过的路径长为 故选D 【点睛】本题考查了点的轨迹，理解点的轨迹是以为直径的圆是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为，则底面周长l为，母线长为， 所以侧面展开图的面积． 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：设圆锥母线长为R，由题意得： ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r， ∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：， ∴， ∴圆锥的高为； 故选C． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式，熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键． 8．【答案】B 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】根据割补法可知阴影部分的面积即为扇形和扇形的差，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得， ∵， ∴， 由旋转的性质可知，则阴影部分的面积即为扇形和扇形的差， ∴线段扫过的图形面积为； 故选B． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式及旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式及旋转的性质是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是8， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得n=120． 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 10．【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、求扇形面积 【分析】本题考查扇形面积公式、等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 易证得是等腰三角形，则，过点O作于点D， 则，在中，根据求出的长，进而得到，再分别计算扇形和三角形面积，最后求阴影部分面积即可． 【详解】解：， ， ， 是等腰三角形， ， 过点O作于点D， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， 故选：A． 11．【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的知识点是轴对称和旋转对称性质、求其他不规则图形的面积，解题关键是由轴对称和旋转对称性质得出该不规则图形面积的求法． 由轴对称和旋转对称性质得到阴影部分面积（圆心角，半径为的扇形面积直角边长为的等腰直角三角形的面积）． 【详解】解：如图，连接，根据轴对称和旋转对称性质可知： ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】24 【知识点】求弧长、圆锥的实际问题 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 13．【答案】 【知识点】圆周角定理、求弧长、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 14．【答案】 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中 ， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 15．【答案】/ 【知识点】求扇形半径 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为，则底面圆的周长是， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：， 即：， 与之间的关系是． 故答案是：． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 16．【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 17．【答案】 【知识点】求圆心角、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 18．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查扇形面积及垂径定理，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F， 由题意易得，然后根据勾股定理可求半径，进而可得劣弧及优弧的度数，最后问题可求解，熟练掌握扇形面积及垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴优弧的度数为， ∴打掉墙体的面积为：， ∴要打掉的墙体面积为． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 20．【答案】(1)相等； (2)； (3) 【知识点】求圆锥底面半径、求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $