29.3 弧长和扇形面积 课后自测2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 课后自测2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．时钟分针的长5cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（　　） A．πcm B．πcm C．15πcm D．πcm 2．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 4．如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（    ）（结果保留）． A． B． C． D． 5．如图，点C在上，直径，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．8π B．4π C．12π D．2π 6．如图，冰淇淋甜筒呈圆锥形，则圆锥部分侧面包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 7．用一个圆心角为，半径为8的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B． C．2 D． 8．在综合与实践活动课上，某同学需要用扇形薄纸板制作成底面半径为3分米，高为4分米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为（    ） A．54° B．108° C．136° D．216° 9．如图，将绕点C旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D．上答案都不对 10．小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（    ） A． cm B．cm C．cm D．cm 二、填空题 11．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 12．如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 13．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高3米．把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺厚度________米．（π取3.14） 14．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___. 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 17．如图，在中，过半径上一点作交于、两点，且，． (1)求的长； (2)计算的长． 18．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 19．某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 20．综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，C两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A C C D B B 1．【答案】B 【知识点】求弧长 【分析】先求出经过45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式，求得弧长即可． 【详解】解：分针经过60分钟，转过， 经过分钟转过， 则分针的针尖转过的弧长是， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，属于基础题，解题关键是要掌握弧长公式，难度一般． 2．【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 3．【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查求了扇形的弧长，等腰三角形的性质，旋转的性质等． 先确定点O的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧线，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据计算，可得答案． 【详解】根据题意可知，， ∴， ∴． 故选：A． 5．【答案】A 【知识点】圆周角定理、求扇形面积 【分析】本题考查圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握其定理和面积公式是解题的关键． 根据题意可得是的中线，进而证得，根据圆周角定理可得 ，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：是的中点， 是的中线， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为，则底面周长l为，母线长为， 所以侧面展开图的面积． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥侧面积公式，先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出半径即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 则这个圆锥的底面半径是. 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可． 【详解】解：∵底面半径为3厘米，高为4厘米， ∴圆锥的母线长==5cm， ∵底面半径为3cm， ∴底面周长=2·π·R=6πcm， ∴=6π， 解得n=216， ∴该扇形薄纸板的圆心角为216°． 故选：D． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确记忆这两个关系是解题的关键． 9．【答案】B 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】根据割补法可知阴影部分的面积即为扇形和扇形的差，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得， ∵， ∴， 由旋转的性质可知，则阴影部分的面积即为扇形和扇形的差， ∴线段扫过的图形面积为； 故选B． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式及旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式及旋转的性质是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求圆锥的高、用勾股定理解三角形 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝5． 所以这个圆锥形小帽子的高＝cm． 答：这个圆锥形小帽子的高为cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．【答案】 【知识点】求弓形面积 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 13．【答案】0.1 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】先根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积公式计算出沙堆的总体积，沙子变形后体积不变，再根据长方体体积公式求出所铺沙子的厚度． 【详解】解：圆锥底面半径：（米）， 圆锥形沙堆的体积：（立方米）， 铺路后沙子形成长方体，体积不变，设厚度为， 由长方体体积公式得：（米）． 14．【答案】/ 【知识点】求扇形半径 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为，则底面圆的周长是， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：， 即：， 与之间的关系是． 故答案是：． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 15．【答案】/ 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、求弧长 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 16．【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解、画旋转图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 17．【答案】(1)2 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、求弧长 【分析】（1）根据垂径定理求出，在中，由勾股定理列方程求出，进而可得，即的长； （2）直接利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 在中，∵， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴； （2）解：∵半径，， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及弧长公式，垂径定理是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧． 18．【答案】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】略 19．【答案】(1)3 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、求圆心角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∵， ∴； （2）解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 20．【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）、求弧长 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键． （1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出即可； （2）先证，再用勾股定理解求出，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点B作，垂足为点E， 因为， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以， 所以，，两点之间的距离为． （2）解： 因为， 所以， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以, 所以的长为, 答：待建环山路的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $