四川绵阳市南山中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026年10月 绵阳南山中学高2024级高三上期10月月考试题 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写． 4．请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知、，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A．爱好跳绳与性别独立 B．爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别不独立 D．爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（参考数据：） A．30次 B．31次 C．32次 D．33次 8．若函数在上的最大值是3，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 10．设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．若，则 11．已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．函数的图象关于点中心对称 B． C．函数的单调递减区间为， D．已知数列满足，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象过点，则________． 13．已知实数满足，则的最大值为________． 14．已知函数，若，则的取值范围是________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在数列中，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 16．（15分） 已知函数． （1）求函数的值域及单调递增区间； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，求不等式的解集． 17．（15分） 某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 4 5 6 7 8 9 意向预购量（百件） 90 84 83 80 75 68 （1）已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； （2）记与预报价对应的意向预购量的估计值记为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为4，5，6时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 18．（17分） 定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知任意的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识，回答下列问题： 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求的对称中心，并求不等式的解集； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值． 19．（17分） 已知函数，，其中． （1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； （2）是否存在非零实数，使得曲线与曲线存在一条过原点的公切线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，证明：对任意的恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高三上期10月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D C A B C B AC ABD ACD 12．2 13． 14． 15．（1）略 （2） 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，． 所以． 所以 ． 16．（1）值域为，单调递增区间为， （2）， 【详解】：（1）． 由于，所以函数的值域为． 令，，得，． 因此，函数的单调递增区间为，． （2）由题意，． 由，得． 于是，， 解得，． 所以不等式的解集为，． 17．（1）；（2），． 【详解】 （1）， ， ． 关于的回归方程是； （2）∵回归方程为， ，，是“精准调研数据”， ，，不是“精准调研数据”， ，，是“精准调研数据”． ∴“精准调研数据”为，． 18．（1）当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）； （3） 【详解】（1）， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，．．令．得，所以对称中心为：即； 所以不等式可得：， 由（1）知：当时，在上单调递增，所以：，得；不等式得解集为：； （3），， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， ． 当时，取得最大值，此时． 19．（1） （2） （3）略 【详解】（1）因为有1个零点，即方程有1个解， 等价于方程有1个解；等价于与的图象有1个交点， 因为，令，解得， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 则当时，取到最大值，且，又当时，且时，， 当时，，且时，， 故的图象如图所示， 由图可知：函数有一个零点，得的取值范围为：． （2）设过的公切线与切于，因为，所以切线的斜率，则，化简得：，解得：，所以切线方程可化为：，再设改直线与切于，因为，所以切线的斜率，代入得：，解得：，从而，又，得：，即：，令，则，，所以，可得在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，故． （3）证明：当，时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 只需证明：成立； 即证明：；即证：； 构造函数，问题转化为证明：， 而，，，即在上单调递增， ∴原命题要成立则须满足：． 又令，而， 故：在上单调递增， ，故：成立 ∴当，时，不等式恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $