精品解析：四川省眉山第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

眉山一中2027届高三上学期10月月考试题 数学 一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 故. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】复数，，则， 所以. 3. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 4. 已知且则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 又，得， 所以． 5. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，可得. 因为，且. 6. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一个岗位的方法数，进而求解. 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法. 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法. 故选：C 7. 设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和焦点三角形的余弦定理建立方程组，然后再根据，两边平方即可求解. 【详解】因为①， ， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令判断A；令，判断B；利用得，令判断，令判断，然后可判断C；利用，结合判断D. 【详解】对A，令，则，又，所以，错误； 对B，令，则，即，，错误； 对C，令，得，所以， 令，则，即，所以 令，则，所以，即， 所以，错误； 对D，因为，所以， 又，所以，正确. 二、选择题．本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10. 设 为一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】先由求出，利用条件概率公式得，进而得判断A，B；再由得出，算出判断C；最后根据与求，与比较判断D. 【详解】已知，则. 由可得， 因为，所以， 所以选项A正确，B错误； 因为，所以， 即，故C正确； 因为，所以， 故D错误； 故选：AC 11. 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据导数的判别式可判断A的正误；对于B，利用虚设零点结合导数符号可判断其正误，对于C，根据反例可判断其正误，对于D，可证明，从而可判断其正误. 【详解】， 对于A，因为，，故有两个变号零点， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，因为，， 因为，故，， 而，故存在，当时，， 当时，，故在为增函数，在为减函数， 故函数在上不单调，故B正确； 对于C，取，则， 当或时，，当时，， 故为唯一的极大值点，故的极大值为，故C错误； 对于D，， 而， 故， 而，故， 故函数的图象关于点成中心对称图形，故D正确； 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化关系求出，再利用对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：3 13. 已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据距离的几何意义，利用圆的几何性质，数形结合求解． 【详解】依题意可知的圆心坐标为，半径， 的圆心坐标为，半径， 如图所示，对于轴上的任意一点，由图象可知，求的最小值， 可转化为求的最小值． 由平面几何的知识易知关于轴对称的点的坐标为，， 当，，共线时，取得最小值， 即取得最小值，最小值为， 所以的最小值为． 故答案为：． 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，15题13分，16、17题分别15分，18、19题分别17分，满分77分）．解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，结合余弦定理，可求的值，再结合角的取值范围，可得角. （2）利用正弦定理，可求边，利用三角形内角和求角，再利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得 又 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 所以. 的面积. 16. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解； （2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解. 【小问1详解】 解：当时，， ， 则，， 所以当时，在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与底面所成角的余弦值. 【答案】（1）由，得 因为平面平面ABCD，平面平面平面PBC 所以平面ABCD，又平面ABCD，则， 又，所以， 因为，所以， 过点作交BC于点， 则，所以， 因为， 故，即，又平面PBD， 所以平面PBD； （2） 【解析】 【分析】（1）要证平面，可证且，通过勾股定理可证，通过线面垂直性质可证； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角余弦公式即可求解BP的长度，由（1）知平面，直线与底面所成的角为，则线面角的余弦值可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面平面ABCD，平面平面， 所以平面 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设， 则. 所以 由题意可知为平面PBC的一个法向量， 设平面PCD的法向量为， 则，即， 令，则，故. 因为二面角的余弦值为， 所以， 解得，即，则， 由（1）可知，平面ABCD，则直线PD与平面ABCD所成的角为， 所以， 故直线PD与平面ABCD所成的角的余弦值为. 18. 设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①且；② 【解析】 【分析】（1）求得圆心，半径为，设与轴交于点，在直角中，求得，结合抛物线C过点，进而求得抛物线的方程； （2）联立方程组取得，，设动点，得到的方程，求得点的坐标，得出直线方程，联立方程组求得，进而且，得出点P的轨迹方程；再设，结合点到直线的距离公式，求得的表达式，结合且，进而的其取值范围. 【小问1详解】 解：由圆，可化为标准方程， 所以圆心，半径为， 设与轴交于点，如图所示， 因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且， 所以在直角中，，所以，则， 又由抛物线C过点，即，则， 所以抛物线C方程为. 【小问2详解】 联立方程组，解得点，，则， 设动点， 则直线的斜率为，直线， 直线的斜率为，直线， 将抛物线C代入直线AN得， 解得点，则直线BN的斜率为， 所以直线， ①联立方程组，整理得， 因为点P在直线l的左边，则，即， 所以，则， 又因为，且，由，可得且， 所以点P的轨迹方程为且. ②设，则P到直线l的距离， 因为，则， 则， 又因为且，所以，所以 【点睛】方法策略点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． 【小问2详解】 要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． 【小问3详解】 定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山一中2027届高三上学期10月月考试题 数学 一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 4. 已知且则（ ） A. B. C. D. 5 5. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 7. 设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题．本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 10. 设 为一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为______． 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：（本题共5小题，15题13分，16、17题分别15分，18、19题分别17分，满分77分）．解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与底面所成角的余弦值. 18. 设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $