贵州贵阳长市郡贵阳高级中学2026-2027学年高二上学期10月份月考测试数学试卷

长郡贵阳高级中学高二年级10月月考测试卷 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，迭出每小匙答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.) 1.已知复数z满足z=3+4i,则z的虚部为 A.3 B.4 C.-4 D.-4i 2.已知集合A={-3≤x≤，B={≤2，则AnB= A.{-3≤x≤2} B.-2sxs1 C.{0≤x≤1} D.{1≤x≤2} 3.已知向量ā=(1,2)，6=(-L,1),则向量6在向量ā方向上的投影向量为 (2 B （52 D(g到 4.设ā=(1,2,3)是直线1的方向向量，i=(1,-2,1)是平面α的法向量，则 A.l⊥a B.la或lca C.Illa D.I与a相交但不垂直 5.若经过A(-m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45°，则m= A.-2 B.2 C.-4 D.4 6.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东60°的方向航行10√3海里后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏 东30°的方向航行10海里后到达海岛C如果下次航行直接从A出发到达C, 需要航行的距离是 A.20海里 B.10W5海里 609 C.10√6海里 D.10W7海里 试卷第1页，共4页 7.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=A4=2,BC=2√5，AB=4,D是AB的中点， 求直线AC,与直线DB所成角的余弦值 C B1 A.5 10 B.3 4 C. D D.3 2 8.在四面体OABC中，点M满足OM=3MA,N在BC上，若MN=xAB+yOC,则x-y= A.0 B C. D.多 B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不 全的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知向量ā=（-1,1，m),b=（-3,m+1,2),则下列结论中正确的有 A.若d=3,则m=1 B.若a1i,则m= 3 C.不存在实数，使得a=2b D.若ā+b=(-4,2,2),则a.b=4 10.为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中 随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀， 下列说法正确的是 频率 组距 A.图中a的值为0.026 0.022 B.估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 0.018 0.016 0.012 C.估计该校高一学生成绩的众数为75 0.006- D.估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 0405060708090100成绩/分 试卷第2页，共4页 11.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABC,D中，点P为线段BC上的一个动点，则 A.三棱锥A-PAD的体积为定值 D B.不存在点P,使AC⊥平面APD B A C.若B驴=)BC,则点P到直线4C的距离为6 2 D D,若PBC,则过点A,D,P三点的平面截正方你 所得截面的周长为5√2+210 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点A(1,0,2),B(I,-3,1),M在y轴上，且MA=MB,则点M的坐标为 13.已知向量ā=(2，l,-2),向量c满足d=2,（a+c)c=1,则向量a与c的夹角为 14.在正四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面边长为2，侧棱长为4，则C,到平面AD,C的距离为 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，已知平行六面体ABCD-AB,C,D,所有的棱长均为2，∠DAB=∠DAA=∠AAB=60°， CM=CC,E为4D的中点，设B=a,D=五，M-. D (1)用a,b,c表示AM,BE: B (2)求AM.BE的值 B 16.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD, 底面边长为2，E是PC的中点. (1)求证：PA/I平面BDE: (2)求证：平面PAC⊥平面BDE; 试卷第3页，共4页 17.(15分)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(a+c+b)(a+c-b)=3ac. (1)求角B的大小： (2)若A=45°，b=√6，求△ABC的面积 18.(I7分)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AC,BD交于点N,PN⊥底面ABCD, 点M为棱PC上的点.在空间坐标系中，点P(0,0,4),A(4,0,0),B(0,3,0),M(-2,0,2). (1)求N点坐标（说明必要理由）： (2)求直线PN与平面MBD所成的角： (3)求平面PAB与平面BDM的夹角的余弦值. D 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAB⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点，点F是棱PC上的一点（不包含端点）， (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)若PA=6,且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 E (i)求三棱锥P-AEF的体积： (i)记平面AEF交PB于点G,点H在平面PBC上， 求GF与平面HAD所成角的正弦值的取值范围. B 试卷第4页，共4页 长郡贵阳高级中学高二年级10月月考测试卷 数学答案 题号 2 3 4 6 9 10 11 答案 B B B D B BCD ACD ACD 1.B【详解】z=3+4i,则z的虚部为4. 2.B【详解】B={xx≤2}={-2≤x≤2}，又A={-3≤x≤}，所以AnB={-2≤x≤1} 3c【详标】向量6在向量石方消上的设影狗品-（传引 4.B【详解】因为di=1x1+2×(-2)+3×1=0,所以d⊥i,所以l/1a或lca. 5.C【详解】因为经过A(-m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45 所以k=3+m =tan45°=1，即3+m=-m-5,解得m=-4. -m-5 6.D【详解】因为∠ABC=150°， 由余弦定是可得4C=心+Bc-21B,Bcsc-(o可+10-2x10o5x10-写-70， 所以AC=10√7，即从A到C,需要航行的距离是10√7. B 7.B【详解】在△ABC中，AC=2,BC=2V3,AB=4, A 因为AC2+BC2=4+12=16=AB2,所以AC⊥BC. 因为三棱柱ABC-AB,C为直三棱柱，所以CCL平面ABC, B市 又ACC平面ABC,BCc平面ABC,所以CC LAC,CC⊥BC. 如图，以C为原点，CA,CB,CC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-y2. 则C(0,0,0,A(2,0,0),B0,25,0,G(0,0,2),B(0,25,2: 因为D是AB的中点，所以D,N5,0所以AC=(-2,0,2),DB=（-1,V5,2 设直线AC与直线DB所成角为O, 则cos0=lcos(AC,DB= AC·DB (-2)×(-)+0×5+2×2 663 4GD瓦V-2}+02+2×-P+W3+2 8x⑧8=4 直线4G与直线DB所成角的余弦值 答案第1页（共7页） 8.C【详解】由题意，在四面体0MBC中，OM=3,所以OM-子O, 因为点N在BC上，设0N=(1-)0B+20C,其中2∈R,则M=ON-OM=(1-)OB+0C-30A, 又因为MN=xAB+yOC=xOB-OA+yOC=-xOA+xOB+yOC, 3 一X三 3 由于OA,OB,OC不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得x=1- 解得x= 、y= 111行所以y京则-y号分放c正确 9.BCD【详解】对于A,同=V-1)+1P+m2=3,解得m=±V万，A错误： 对于B,由a1万，得ā.6=(-)x(-3)+1x(m+1)+mx2=0,解得m=- 3,B正确： [-1=-3元 对于C,假设存在实数，使得a=,则1=(m+l), m=2元 1 由第一个式子得2写代入第二个式子得m=2,很显然 = 3不满足m=21,C正确： m=2 对于D,a+b=（-1-3,1+(m+1),m+2)=（-4,2,2),解得m=0, 所以a=（-1,1,0),b=(-3,l,2),所以ā.b=(-)×(-3)+1×1+0×2=4,D正确. 10.ACD【详解】(0.006+0.016+0.022+a+0.018+0.012)×10=1,解得a=0.026,故A正确： [40,50),[50,60),[60,70)的频率分别为0.06,0.16,0.22，则高一学生成绩的下四分位数落在[60,70)， 设为x,006+0.16+x-60x002=存解得x=61号 ,故B错误 估计该校高一学生成绩的众数为0+80=75，故C正确： 2 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为85×018×100+95x0.12x100=89,故D正确。 0.18×100+0.12×1000 D 1l.ACD【详解】因为'A-PMD='nMD,又因为点P在线段BC上运动， 夕 且在正方体ABCD-ABCD中，BC,/I平面AADD, 所以动点P到平面AAD,D的距离不变， D 故'APMD='nMD不变，A选项正确： 答案第2页（共7页） 当点P与点B重合时，因为CC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以BD⊥CC, D 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD, B A 因为AC∩CC=C,AC,CC,c平面AACC, 所以BD⊥平面AACC,又因为ACc平面AACC, 所以BD⊥AC,同理可证明AB⊥AC, B 因为BD∩AB=B,BD,ABC平面ABD,所以AC⊥平面ABD, 因此存在点P,使AC⊥平面APD,B选项错误： 以正方体ABCD-AB,CD,顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-zz D 则4.03.c03.P33引所以4=-(-33)=-侵0引 所以点P到直线C4的距离d=PC-（-后，c选项正确： 连接B,C交BC于点O,过点P作MN/IB,C,分别交BB,BC于点N,M, 连接AN和DM,在正方体ABCD-AB,CD中ADIIB,C,所以ADIIMN, 因为PeMN,所以过点A,D,P三点的平面截正方体所得截面为四边形MNAD, 11 D 因为Mw1BC,所以CM=BN-OP_23_! CB-BBOB22-3所以BN=CM=l,A 2 所以4N=DM=F+P=i,MN=2BC=25, 所以四边形MNAD的周长为5√2+2√10，D选项正确. 12.(O,-1,0)【详解】设M(O4,0),由MA=MB知，点M到A、B两点距离相等。 由两点之间距离公式可得：12+2+22=12+(+3)2+12，解之得t=-1,所以点M的坐标为(0，-1,0). 13.25120°【详解】由已知得问-2+P+(-2列-3，(a+d)c=a6+2=ac+4= 所似ae3,ma④骺高-支又a动e0小所似a网-号 答案第3页（共7页） 14.专【详解】如图，以D为原点，DA,DC,D0分别为x轴，y轴，：箱，建立空间直角坐标系。 ZA 则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,4),C(0,2,4), AC=(-2,2,0),AD=(-2,0,4),DC=(0,2,0) n.AC=0m「-2x+2y=0 设平面AD,C的法向量为=(x,y,z),则 D 即 7.AD1=0-2x+4z=0 取2l,则y2,所以=(2,2，)，所以点C到平面4D,C的距离为n:DC1=4 Il 3 15.【详解)由于CM=c,CG=M=c,所以CM-,因此M-丽+Bc+CM=a+5+与， 又因为E为40的中点，4正-号40-而=，因此E-A+瓜+46=-6++. -6分 (2)由(1)可知AM=a+6+c,BE=-a+b+c, 3 所以E(a+6+)a++小=-+号r+5f-a5+ac+g5e 3 6 因为a.6=a.c=6.c=2x2cos60°=2，l=|5==2=4 所以=4+4+42+号x2+2-2 3 3 6 13分 16.【详解】(1)证明：如图所示，连接OE 因为O、E分别为AC、PC中点，所以OEPA, 又因为OEc平面BDE,PAC平面BDE,所以PAII平面BDE. -7分 (2)证明：因为PO⊥底面ABCD,BDc底面ABCD,所以PO⊥BD. 在正方形ABCD中，BD⊥AC, 因为PO∩AC=O,PO,ACc平面PAC,所以BD⊥平面PAC, 又因为BDC平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE. -15分 17.【详解】(1)由已知(a+c+b)(a+c-b)=3ac,整理得a2+c2-b2=ac, 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB→a2+c2-b2=2 accosB,所以2 accosB=ac, 因为ac>0,所以coB=,又B为锐角，所以B=60 -7分 答案第4页（共7页） (2)因为A=45,b=√6，由(1)知B=60°，则C=180°-A-B=75°， 由正弦定理4= 得a=sim4_6si咖456. sin A sin B -sinB sin60° 2=2, 3 2 所以54=)absinC=)x2xV6xsin75°=3+5 2 21 2 （sin75=sin(45+30）=sin45cos30+cos45sin30°=J6+2) 4 --15分 18.【详解】(1)因PN⊥底面ABCD,且A(4,0,0),B(0,3,0)均在z=0平面上，所以面ABCD即为xOy平面. 又因为P(0,0,4),所以PN平行于z轴且N在x0y平面上， 故N点的横、纵坐标与P点相同，竖坐标为0，所以N(0,O,0): -4分 (2)如图，作出符合题意的图形，直线PN的方向向量可取v=(0,0,), 已知M(-2,0,2),B(0,3,0),D(0-3,0),所以BM=(-2,-3,2),BD=(0,-6,0), n.BD=0-6y+0=0 设平面MBD的法向量为i=(x,y,z),则 解得y=0,x=z,取x=1得n=(1,0,1). n.BM=-2x-3y+2z=0 设直线PN与平面MBD所成角为0，且n=(0,0,1),v=(0,0,1), 则in0=E.月_lx0+0x0+1x刘。15 调0方-.因为0引 0= A B 因此直线PW与平面MBD所成的角为子 -11分 (3)平面PAB,PA=(4,0,-4),PB=(0,3,-4),设平面PAB的法向量为n=(x,,), 则 m·PA=4x+0-4z=0nJx-2=0 同-P形=0+3%-4g=0即{44=0令名=3，得=3，月=4，即%=民4). 由(2)的分析知，平面BDM的法向量为n2=(L,O,), 设平面PAB与平面BDM的夹角为a,则cosa= 匠2_Bx1+4x×0+3x 6317 HmlV32+42+32.P+0+p34.V2=17 因此平面PAB与平面BDM的夹角的余弦值为37 17 -17分 答案第5页（共7页） 19.【详解】(I)证明：因为底面ABCD是边长为6的正方形，所以AB⊥BC,AD⊥CD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,又因为PAC平面PAD,所以CD⊥PA, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PAB,又因为PAC平面PAB,所以BC⊥PA, 又因为BCOCD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD. 5分 (2)(i)由(1)知PA⊥平面ABCD,又AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD, 则以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：D(0,6,0),P(0,0,6),B(6,0,0),E(0,3,3),C(6,6,0), 所以AE=(0,3,3),PC=(6,6,-6)，AP=(0,0,6), 设PF=元PC=(62,62,62)0<元<)， 则AF=AP+PF=(0,0,6)+(62,62,62)=(62,62,6-62) 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则{ i·AE=0,m3y+3z=0 即 方.AF=0, 62x+62y+6(1-)z=0' 取y=,解得z=-1,x=1-21,则i=(1-22,入，-)， 因为AP⊥平面ABCD,所以AP=(O,O,6)是平面ABCD的一个法向量. 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 所以cos(i,AP)= 6-2a+平+号，解得=或A=1(舍，所以Pr=PC, 6 1 111 所以E棱锥P-ABF的体积U,c,成山石3 ×-×6×6×6=6. ----11分 答案第6页（共7页） (i)设PG=PB,则AG=AP+μPB=(0,0,6)+4(6,0,-6)=(64,0,6-64), 由①可知-行-号》为平面BGF的-个法向量，所以后1衣， 所以4G万=2-2-20)=41-2=0，解得u= 所以GF=PF-PG=(2,2,-2)-(3,0,-3)=(-1,2,1), 因为H在平面PBC上，所以B丽=sBC+BP, 所以AH=AB+sBC+1BP=(6,0,0)+s(0,6,0)+1(-6,0,6)=(6-6L,6s,6）. 设平面HAD的法向量m=(x,片，)，则 m=0即60 m.Aǖ=0,1(6-61)x+6y+6z,=0' 取x=1得y=0,乙=1-1，则m=(,0,1-1), 设GF与平面hD所成角为0，则sn0=os(G际，刷6P+0- 2V6V22-21+11 因为2-24+1}网所以血0：，即GF与平面D所说角的正弦值的康值箱阻为 0 17分 答案第7页（共7页） ■■■■■■■ ■■ 长郡贵阳高级中学高二年级10月月考测试卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边根限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡 四、解答题：本题共5小题，共刀分，解答应写出文字说明、证明过程 16.(本小题15分) 或演算步果。 D 姓名： 15.(本小题13分) 班级： B 考生条形码粘贴处 考场： 考号： 考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记。 ▣ 正确填涂 1,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并 填 认真检查监考员所桔贴的条形码 涂 ■ 2.选样题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑 错误填涂 学 色空字笔书写。字体工整。笔谈清楚： .请按融号序在各目的答区域内作答，超出答题 中回 五 奔 试题上答遮无效 4. 保持卡南清， 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 IAIIBIICIIDI 5.IAIIBIICIIDI 2 IAIIBIICIIDI 6.IAIIBIICIIDI 3 IAIIBIICIIDI 7.IAIIBIICIIDI 4 IAIIBIICIIDI 8.IAIIBIICIIDI 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，2个选 项每对1个3分，3个选项每对1个2分，有选错的得0分， 9 IAIIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI I.IAIIBIICIIDI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 13、 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出焦色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 18.(本小题17分) 19.(本小题17分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■