30.1 直线与圆（第3课时） 教学设计2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1 直线与圆（第3课时）教案 课型：新授课　　　　课时：1课时　　　　授课年级：九年级 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：了解直线与圆的位置关系；掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；探索并证明切线长定理，能运用切线长定理进行有关的计算与证明；在探究活动中发展空间观念与推理能力。 二、教材分析 本课时是在学习了切线的判定与性质之后，进一步研究从圆外一点引圆的两条切线的数量关系，得到切线长定理。切线长定理的基本图形（双切线＋连心线）蕴含等腰三角形、全等三角形、直角三角形、勾股定理与面积法等核心模型，是圆的综合题的常考载体，也为后续学习三角形的内切圆奠定基础；中考中常与勾股定理、相似、三角函数结合命题。 三、学情分析 学生已掌握切线的判定与性质、勾股定理和全等三角形的判定，具备一定的推理证明基础。但容易混淆"切线"与"切线长"两个概念；面对较复杂的图形时，分离出双切线基本模型、添加辅助线的意识不足；用勾股定理列方程求半径（如课堂练习2(2)、选做题）对学生的代数运算与转化能力要求较高，教学中需示范"设元—列式—求解"的完整过程。 四、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：能从"过圆外一点引圆的两条切线"的图形中识别切线长定理的基本模型，理解切线长与切线两个概念的区别与联系。 2. 会用数学的思维思考现实世界：经历"操作—猜想—证明"的探究过程，掌握切线长定理，能综合运用全等三角形、勾股定理、面积法及方程思想进行切线长与半径的计算。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能规范书写切线长定理的几何语言，掌握"连半径、连 OP"的辅助线方法，并有条理地表达解题过程。 五、教学重难点 教学重点：切线长定理及其运用。 教学难点：切线长定理的证明与灵活运用（从复杂图形中识别基本模型、添加辅助线）；综合运用勾股定理、含 30° 角直角三角形的性质及方程思想计算切线长与半径。 六、教学方法 教学方法：讲练结合法、引导探究法。 教具准备：多媒体课件、圆规、直尺、三角板。 七、教学过程 （一）复习引入（3分钟） 问题1：切线的性质定理是什么？ 解：圆的切线垂直于过切点的半径。 问题2：切线的判定定理是什么？ 解：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 引入：我们已经会过圆上一点作圆的切线。如果点在圆外，过这一点能作几条切线？这两条切线之间又有什么联系？本节课就来研究这个问题。 （二）切线长与切线长定理（课本P153）（约10分钟） 操作：如图30.1-14，过圆外一点P作⊙O的切线，能作几条？ 定义：（填空）过圆外一点P可以作出⊙O的＿＿条切线。我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间＿＿＿＿的长度叫作这点到圆的＿＿＿。 解：过圆外一点P可以作出⊙O的2条切线；我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长度叫作这点到圆的切线长。 猜想：如图30.1-14，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，线段PA与PB的数量关系是什么？∠APO与∠BPO的数量关系是什么？ 解：PA＝PB；∠APO＝∠BPO。 证明：连接 OA、OB、OP。 ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质），即∠OAP＝∠OBP＝90°。 ∵OA＝OB（半径），OP＝OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 切线长定理：（填空）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长＿＿＿，并且这一点和圆心的连线＿＿＿两条切线的夹角。 解：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B（已知）， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO（OP 平分∠APB）。 4.（口答）在图30.1-14中，连接OA、OB、OP，可以证明哪两个直角三角形全等？由此得到几条相等的线段？ 解：Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）；由此得到PA＝PB（另有OA＝OB，它们都是半径）。 （三）例题精讲（8分钟） 例3 （课本P153）如图30.1-16，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，连接AB。若∠APO＝30°，OP＝2，求△PAB的周长。 解：由切线长定理得 PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°。连接OA。∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，∠APO＝30°，∴，。∴。∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴。∴△PAB的周长。 （四）课堂练习（16分钟） 1.（课本P154练习1）已知 PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B，AC 是⊙O 的直径，且∠BAC＝25°。求∠APB 的度数。 解：连接 OB。 ∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是直径， ∴PA⊥AC，∴∠PAB＝90°−∠BAC＝90°−25°＝65°。 ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC＝25°。 ∵PB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴OB⊥PB， ∴∠ABP＝90°−∠OBA＝90°−25°＝65°。 ∴∠P＝180°−∠PAB−∠ABP＝180°−65°−65°＝50°。 2.（课本P154练习2）过圆外一点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，直线 OP 与⊙O 相交于 C、D 两点，与弦 AB 交于点 E。(1)指出图中所有的垂直关系；(2)若 PA＝4，PD＝2，求⊙O 的半径。 解：(1)垂直关系有：OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB（AB⊥OE）。理由：前两个由切线的性质定理得到；第三个由切线长定理PA＝PB及OP平分∠APB，结合等腰三角形三线合一得到。(2)由(1)知OP⊥AB。∵PD＝2是点P到⊙O的最近交点的距离，∴OP－OA＝2，即OP＝r＋2（设⊙O的半径为r）。连接OA。∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴，∴，解得 r＝3。即⊙O的半径长为3。 3.（填空）⊙O 的半径为 3，P 为圆外一点，OP＝6，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B。则切线长 PA＝＿＿，∠APB＝＿＿°。 解：连接OA、OP。∵PA是切线，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，OA＝3，OP＝6，∴。∵，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝2×30°＝60°。故填；60。 4.（选择）从圆外一点 P 向⊙O 引两条切线，切点分别为 A、B。若∠APB＝60°，OP＝4，则⊙O 的半径长为（　　）A.2　B.4　C.6　D.8 解：由切线长定理，OP平分∠APB，∴。连接OA，∵PA是切线，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，∠APO＝30°，∴。故选A。 5.（填空·综合）P 为⊙O 外一点，OP＝13，⊙O 的半径为 5，PA 切⊙O 于点 A。则 PA＝＿＿，△OAP 的面积＝＿＿。 解：∵PA是切线，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，。。故填12；30。 （五）课堂小结（2分钟） （1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长度；（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；（3）切线长定理的基本图形中隐含两个全等的直角三角形（Rt△OAP≌Rt△OBP），常连接圆心与切点（半径）、连接圆心与圆外一点（OP）构造直角三角形解题。 （六）作业布置（1分钟） 必做题：①课本P154练习第2题，写出完整解答过程（解答过程见课堂练习2）；②一个半径为 25 cm 的钢管横截面放在 V 形架内，钢管与架的两臂分别相切（如图）。(1)若架顶 V 到切点 U 的距离 UV＝28 cm，求 VT 的长；(2)若两臂夹角∠UVT＝60°，求 VT 的长。 解：②设钢管横截面⊙O与V形架两臂分别相切于点U、T，则OU⊥VU，OT⊥VT，且OU＝OT＝25cm，圆心O在∠UVW的平分线上。(1)由切线长定理，从点V引⊙O的两条切线段相等，∴VT＝VU＝28cm。(2)∵O在∠UVW的平分线上，∠UVW＝60°，∴∠OVT＝30°。在Rt△OVT中，∠OTV＝90°，OT＝25cm，∴，即VT的长为。 选做题：⊙O 的半径为 5，P 为圆外一点且 OP＝13，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，AB 与 OP 交于点 E。求 AE 的长。 解：连接OA。∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝13，∴。由切线长定理得PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB，E为AB的中点（等腰三角形三线合一）。∴，又，∴。即AE的长为。 八、板书设计 课题：30.1 直线与圆（第3课时） 左栏：切线长：这点和切点之间线段的长度 → 切线长定理：PA＝PB，OP平分∠APB → 证明：连OA、OB、OP，HL证Rt△OAP≌Rt△OBP 右栏：基本图形：两个全等直角三角形 → 例3：30°角 ⇒ ，，等边△PAB，周长 → 常用辅助线："连半径、连OP" 九、教学反思 补充练习（教师备用） 1. 如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，且∠APB＝50°。求∠OAB 的度数。 解：连接 OA、OB。∵PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°（切线的性质）。 在四边形 AOBP 中，∠AOB＝360°−90°−90°−50°＝130°。 ∵OA＝OB，∴∠OAB＝(180°−130°)÷2＝25°。 2. ⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 外且 OP＝10，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，AB 交 OP 于点 E。求切线长 PA 与弦 AB 的长。 解：连接 OA。∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°。 由切线长定理，PA＝PB，∠APO＝∠BPO，由等腰三角形三线合一，OP⊥AB 于 E，且 AE＝BE。 由面积法：OA×PA＝OP×AE，∴AE＝6×8÷10＝4.8，∴AB＝2AE＝9.6。 3.（中考链接）从圆外一点 P 引⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，∠APB＝60°，OP＝6。求⊙O 的半径与切线长 PA。 解：∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，∴∠APO＝∠BPO＝30°（切线长定理）。 连接 OA。∵PA 是⊙O 的切线，∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°。 在 Rt△OAP 中，∠APO＝30°，30° 角所对直角边等于斜边的一半，∴OA＝3，即⊙O 的半径为 3。 学科网（北京）股份有限公司 $