30．1　直线与圆 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直线与圆的位置关系及切线判定与性质，通过情景导入（移动硬币观察公共点）和类比导入（复习点与圆位置关系），搭建从直观观察到数量关系（d与r）的学习支架，衔接前后知识。 资料亮点在于以实践操作培养几何直观（数学眼光），如小组活动探究公共点变化，通过例题推理强化逻辑思维（数学思维），拓展阅读结合诗句体现数学与现实联系（数学语言），助力学生提升探究能力，为教师提供结构化教学活动设计。

30．1　直线与圆 30．1.1　直线与圆相离、相切、相交 教师备课　素材示例 ●情景导入　请同学们在纸上画一条直线l，把硬币看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况．你能看出公共点最少有几个，最多有几个吗？ 【教学与建议】教学：通过实践操作，建立几何模型．建议：分小组操作实践，引导学生观察、思考直线和圆的位置关系可以分为哪几类． ●类比导入　(1)复习点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，如图： 点P在⊙O外⇔d__>__r，如图(a)所示；点P在⊙O上⇔d__＝__r，如图(b)所示；点P在⊙O内⇔d__<__r，如图(c)所示． (2)如图，把硬币看作一个圆，由此你能归纳出直线和圆的位置关系吗？ 【归纳】如图(a)，直线与圆__没有__公共点，这时称这条直线与圆相离； 如图(b)，直线与圆只有__一__个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的__切线__，这个点叫作__切点__； 如图(c)，直线与圆有__两__个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的__割线__． 【教学与建议】教学：通过对点和圆的位置关系的回顾，类比发现直线和圆的位置关系．建议：由点和圆的位置关系导入直线和圆的位置关系的三个对应等价关系． 命题角度1　判断直线和圆的位置关系 判断直线和圆的位置关系有两种方法：(1)直接根据定义，确定直线和圆的交点数；(2)判断直线与圆心的距离d与半径r的大小关系． 【例1】(1)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 (A) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 (2)⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA＝5，则直线l与⊙O的位置关系是__相切或相交__． 命题角度2　直线和圆的位置关系的逆向应用 这类题目常结合具体几何图形或在平面直角坐标系中综合考查． 【例2】(1)以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是__r＞2且r≠__． (2)如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是__t＝或－1≤t＜1__． 数学中的“界” 唐朝诗人王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”，向我们形象地展示了直线和圆的三种位置关系——相离、相切、相交．如果我们从时间的维度来看三种位置关系的话，在日落过程中，相切可以说是转瞬即逝，这是相离和相交的分界点，由此你联想到了哪些数学知识呢？数字中的“0”也有着类似的地位，它是正数和负数的分界点；数轴上的原点，它是正、负半轴的分界；平面直角坐标系中的坐标轴是各个象限之间的分界等等．它们都具有“界”的特性，是数学研究的重要内容． 高效课堂　教学设计 1．通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系． 2．根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和圆的位置关系． 3．经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆的三种位置关系． ▲重点 直线和圆的位置关系的判定． ▲难点 直线和圆的位置关系的判定． ◆活动1　新课导入 动手操作：用圆规在纸上画一个圆，然后将一个三角板的一条边沿某一直线方向由远到近逐渐向这个圆靠近，直至三角板完全远离这个圆，在此过程中，你发现这条边与圆的公共点的个数有3种情况，分别是__0__个公共点，__1__个公共点，__2__个公共点． ◆活动2　探究新知 1．教材P148　思考． 提出问题： (1)直线和圆的公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ (2)根据上面你观察发现的结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来． (3)在刚才的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？ (4)怎样用d(圆心与直线的距离)来判定直线与圆的位置关系呢？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．直线与圆有__两__个公共点时，该直线和圆相交，直线叫作圆的__割线__． 2．直线与圆有__一__个公共点时，该直线和圆相切，直线叫作圆的__切线__，这个点叫作__切点__． 3．直线与圆有__零__个公共点时，直线和圆相离． 4．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l与⊙O相交⇔__d<r__；直线l与⊙O相切⇔__d＝r__；直线l与⊙O相离⇔__d＞r__． ◆活动4　例题与练习 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程． (1)r＝1.5 cm; (2)r＝ cm; (3)r＝2 cm. 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB＝4 cm，BC＝2 cm， ∴AC＝＝2 cm. 又∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC， ∴CD＝＝＝(cm). (1)当r＝1.5 cm时，⊙C与AB相离； (2)当r＝ cm时，⊙C与AB相切； (3)当r＝2 cm时，⊙C与AB相交． 例2　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2.当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？ 解：过点O作OD⊥AB于点D. ∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°. ∴OD＝BO＝x. 当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2， 即x＝2，解得x＝4.∴BO＝4. ∴当0<x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；当x＝4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4时，AB所在的直线与⊙O相离． 练习 1．教材P150　练习第1，2题． 2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为 (　D　) 　A．x2－4x＝0　　　　　　B．x2＋6x＋9＝0 　C．x2－3x＋2＝0 D．x2－4x＋4＝0 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－x＋与⊙O的位置关系是__相切__． 　　　 4．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__s后，⊙P与直线CD相切． ◆活动5　课堂小结 1．直线与圆的三种位置关系． 2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系． 1．作业布置 (1)教材P154　习题30.1第1题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 30.1.2　圆的切线 教师备课　素材示例 ●置疑导入　(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？ (2)如图①，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？ (3)观察图②，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？ (4)观察图③，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？ 　　 　　 【教学与建议】教学：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，讲解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可． ●复习导入　(1)填写直线和圆的位置关系表： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 __2__ __1__ __0__ 公共点名称 __交点__ __切点__ 直线名称 __割线__ __切线__ 圆心到直线的距离d与r的关系 __d<r__ __d＝r__ __d>r__ 　　(2)画出⊙O，在圆周上找一点A，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ (3)如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 【教学与建议】教学：通过对直线和圆的位置关系的回顾，探究问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：让学生通过画图体会定理的正确性． 命题角度1　切线的判定 证明直线与圆相切有如下三种途径：(1)定义法；(2)证明d＝r；(3)判定定理． 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线． 证明：过点O作OF⊥AB于点F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF.∴AB是⊙O的切线． 命题角度2　切线的综合运用 已知直线是圆的切线时，通常需要连接圆心和切点，构造出直角三角形． 【例2】(1)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线PC，切点为C.连接BC.若⊙O的半径为6，PC＝BC，则线段PC的长为 (C) A．3 B．6 C．6 D．12 (2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长． 解：连接OD.∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.∴∠ODC＝90°.作OF⊥BE于点F，∴∠OFC＝90°，BE＝2BF.∵∠C＝90°，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°.∴四边形ODCF是矩形，∴FC＝OD＝OB＝2.∴BF＝BC－FC＝3－2＝1.∴BE＝2BF＝2. 命题角度3　切线长定理的运用 在运用切线长定理解决实际问题时，往往需要构建如图所示的基本图形． 【例3】(1)如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．若∠BAC＝35°，则∠P的度数为 (D) A．35° B．45° C．60° D．70° 　　　 (2)如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为__44__． 高效课堂　教学设计 1．掌握切线的性质定理． 2．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题． 4．掌握切线长定理． ▲重点 探索圆的切线的性质和判定，并能运用，切线长定理的运用． ▲难点 探索圆的切线的判定方法． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__. ◆活动2　探究新知 1．教材P150　第1个思考． 提出问题： (1)尝试用反证法证明你的结论； (2)用简洁的语言总结出你刚刚得到的结论． 学生完成并交流展示． 2．教材P150　第2个思考． 提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？ 　　　 (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？ 学生完成并交流展示． 3．教材P153　思考． (1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由； (2)求证：△PAO≌△PBO； (3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．切线的性质： (1)切线和圆只有__一__个公共点； (2)切线到圆心的距离等于__半径__； (3)圆的切线__垂直于__过切点的半径． 2．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线． 3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接__圆心__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线． 4．过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和__切点__之间的线段长，叫作这点到圆的切线长． 5．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，并且这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角． 　◆活动4　例题与练习 例1　教材P151　例2. 例2　如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD.∴直线PB与⊙O相切． 例3　如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC. ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB. 练习 1．教材P152　练习第1，2，3题． 2．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是 (　B　) 　A．相离　　　　B．相切　　　　C．相交　　　　D．不能确定 3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于__60°__时，AC才能成为⊙O的切线． 　　　 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝__40°__． ◆活动5　课堂小结 1．用圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径． 2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切． (1)当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可； (2)当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径． 1．作业布置 (1)教材P154　习题30.1第2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $