精品解析：江西赣州中学2026-2027学年上学期第一阶段学情调研九年级数学

赣州中学2026~2027学年第一学期第一阶段学情调研 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 5. 已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 6. 已知实数x满足，则的值为（ ） A. 6 B. C. 或6 D. 1或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的两根之和为______________． 8. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 11. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 12. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程：． 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 16. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 17. 如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 19. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长 20. 如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 22. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． （1）若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； （2）当时，二次函数的最大值为9，求的值； （3）连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州中学2026~2027学年第一学期第一阶段学情调研 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，的长度是方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、菱形的面积等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 6. 已知实数x满足，则的值为（ ） A. 6 B. C. 或6 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】设x2+x＝t，则原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－确定x2+x的值即可． 【详解】解：设x2+x＝t， 原方程化为t2﹣5t﹣6＝0， ∴(t﹣6)(t+1)＝0， 解得t1＝6，t2＝﹣1， 即x2+x＝6或x2+x＝﹣1， ∵x2+x＝x2+x+－ ＝(x+)2－≥－， ∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去， ∴x2+x＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的，也考查了配方法的应用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的两根之和为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握． 8. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，根据是根，代入即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 12. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 【答案】7人 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了x人， 根据题意得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一人传染了7人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】实数k的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 整理得，， 解得， 故实数k的取值范围为 16. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 17. 如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 【答案】（1）如图， 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出 的长度，取格点P，由题意可知， ，则有 ，再利用 得到 则可证 ，则可知 即为所求角平分线； （2）取格点H，则有 ， ，由（1）可知 ，利用锐角三角形函数求 的长即可． 【小问1详解】 解：取 与网格交点P，连接 并延长交 于点Q， 即为所求； 由网格可知， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 即为所求； 【小问2详解】 解：取格点H，由网格可知， ， ， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ． 且， 将代入上式，得原式． 19. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长 【答案】（1） 证明：由题意可得， ， ∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程： （1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案； 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ∴由两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程变形为：， 解得：， ∴． 20. 如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 22. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）①②③ （3） 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． （1）若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； （2）当时，二次函数的最大值为9，求的值； （3）连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】（1），点不在直线上 （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； 【小问3详解】 解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $