4.4 一次函数的应用 小节训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用 小节训练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 4．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（    ）    A．1 B． C． D．3 6．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 7．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 8．从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体的速度（单位：）与运动时间（单位：s）之间的函数关系式为，则下列分析正确的是（   ） A．每经过1秒，该物体的速度增加 B．每经过1秒，该物体的速度增加 C．该物体抛出时的初始速度为 D．该物体抛出时的初始速度为 9．在物理实验探究课上，某小组利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他们把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当时， B．当拉力时，重物的重力 C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点的坐标为．第四象限内的点在正比例函数的图象上，且，将的图象向上平移得到的图象．若点落在长方形的内部（不含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是______ 填“”或“； 甲的速度是______ ，乙的速度是______ ． 12．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为________．    13．一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是___________． 0 1 2 0 2 14．某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为________． 15．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 三、解答题 16．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 17．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 19．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 20．两兄弟进行登山运动，从山脚的北温泉出发，目的地是缙云山的主峰狮子峰，哥哥走了2千米后弟弟才出发，图中表示弟弟出发后两兄弟离北温泉的距离s随时间t变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： (1)分别求出表达哥哥和弟弟登山过程中离北温泉的距离s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当哥哥到达目的地时，弟弟行进到山路上的某点A处，求A点距目的地的距离； (3)若哥哥到达目的地后休息1小时，沿原路下山，途中与弟弟相遇，相遇后各自按原路线下山和上山，问弟弟出发后经过多少小时与哥哥相遇以及此时离目的地的距离． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C D A D C A B 1．【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合 【分析】设轴于点；轴于点；于点，然后求出 各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点    由题意可得: 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为 所以， , 所以图中阴影部分的面积和等于 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 7．【答案】D 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 8．【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为，根据一次函数性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为， ∴每经过秒，该物体的速度减少，故选项错误，不符合题意； 当时，，所以该物体抛出时的初始速度为，故选项正确，选项错误， 故选：． 9．【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．由函数图象可以直接判断A、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把，代入函数解析式求出对应的G和F即可判断B、D． 【详解】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，拉力F随着重力的增大而增大， 当时，，故A结论错误，符合题意，C结论正确，不符合题意； 设拉力F与重力G的函数解析式为，则， 解得， ∴， 当时，，解得，故B结论正确，不符合题意； 当时，拉力，故D结论正确，不符合题意； 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，函数图象平移的性质，解题的关键是掌握以上性质．过点作于点，交于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解，最后根据平移的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍）， ∴， ∴根据平移的性质得，， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 12．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， ∵的面积被y轴平分， ∴点P与点A的横坐标互为相反数， ∴点P的横坐标为， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 13．【答案】1 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题实际上是求当时，所对应的的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得： 当时，，即一元一次方程的解是， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用知识，掌握以上知识并充分理解题意是解答本题的关键． 本题当时，付款金额由两部分构成，一部分是2千克所花的钱，另一部分是超过2千克所花的钱，然后即可求解． 【详解】解：由题意可列式：当，即． 故答案为： 15．【答案】1640 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 17．【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 18．【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 19．【答案】(1) 确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： (2)①；② 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得 ，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：根据和． （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴ ，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 20．【答案】(1)哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． (2)A点距目的地的距离为千米． (3)弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可． （2）当时，哥哥到达目的地，再进一步求解即可． （3）设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上，进一步可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为 ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为， 把代入得：， ∴， ∴弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． （2）解：当时，哥哥到达目的地， ∴， ∴A点距目的地的距离为（千米）． （3）解：设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上， 把，代入得： ， 解得：， ∴哥哥下山的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴， ∴弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $