精品解析：河北邯郸市第二十七中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷

2026-2027学年第一学期数学第一次教学分析 一、选择题：（每小题3分，共36分） 1. 若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需使方程仅含未知数，且的最高次数为2． 【详解】解：A、 若“□”为，方程为，是一元一次方程； B、 若“□”为，方程为，是一元一次方程； C、若“□”为，方程为，是关于的一元二次方程； D、若“□”为，方程含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于的一元二次方程的解是（ ） 0 1 2 0 0 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将方程转化为的形式，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴， 由表格数据得，当时，； 当时，， ∴方程的解为． 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 6. 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 7. 已知方程，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设模糊数字为，对方程配方，对比求出，再判断每个选项是否符合题意． 【详解】解：设印刷不清楚的数是，则， 移项，得， 配方，得， 则， 解得． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 9. 已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作差配方，利用平方的非负性判断差的符号，进而比较与的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 即， ∴． 10. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由S=n（n+1）结合S=66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】根据题意得：S=n（n+1）． ∵S=66，∴n（n+1）=66，解得：n1=11，n2=﹣12（舍去）． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程的根的定义求出抄错的值，再推导原方程并求解． 【详解】解：设小刚抄错的为，则抄错的方程为， ∵是该方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∵所抄的是原方程的相反数，即， ∴原方程的， 原方程为， 因式分解得， 解得，． 12. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知是关于x的一元二次方程，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到的最高次数为且二次项系数不为，据此列等式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又∵， ∴． 14. 已知是方程的一个根，则式子的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得， ， ． 15. 某学校的生物活动小组，在实践中，发现一种植物的主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，若设每个支干长出个小分支，请你列出方程：________________． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算主干、支干、小分支的数量，根据总数量为列方程． 【详解】解：主干只有1个，设每个支干长出个小分支， 主干长出的支干总数为个，小分支总数为个， 主干、支干、小分支的总数是， 将三类数量相加可列出方程，即． 16. 定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则中的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据的定义，分和两种情况，分别列一元二次方程求解，舍去不符合范围的根即可. 【详解】解：分两种情况讨论： 当，即时，根据定义得，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ， 舍去，得， 当，即时，根据定义得，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ， 舍去，得； 综上，的值为或． 三、解答题：（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：方程中的， ∴方程根的判别式，有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）_______，_______； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）当时，的值为或 【解析】 【分析】（1）仿照示例列式即可； （2）仿照示例得，将（1）中结论代入列出关于的一元二次方程，再根据方程的解分情况求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得， 由（1）得，，代入上式，得 ， 当时， ， ， ， 或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上，当时，的值为或． 19. 数学课上，老师出示了一道题目：解方程，甲、乙、丙三位同学分别用了不同方法，答案也各不相同，下面是他们的解答过程： 甲 乙 丙 将方程两边分解因式，得 两边同时除以， 得． 整理得， ， ， 或， ，． 整理得， ，， 此方程无实数根． 请你判断三位同学的解答是否正确？（填“正确”或“错误”） 甲_______，乙_______，丙_______．若不正确，请选择适当的方法写出正确的解答过程． 【答案】错误，错误，错误； 解答过程：解：原方程移项，得， 因式分解，得， ∴ 或， 解得，． 【解析】 【分析】逐一核查三位同学的解题步骤判断正误，再用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解： ∵ 甲同学将方程两边同时除以时，未考虑的情况，会丢失根， ∴ 甲的解答错误； ∵ 乙同学用配方法解方程时，一次项系数为3，应加上，却错误加了9，配方错误， ∴ 乙的解答错误； ∵ 丙同学未将方程化为一般形式，原方程整理后为，常数项，丙误取，导致判别式计算错误， ∴ 丙的解答错误； 解答过程略． 20. 嘉淇准备完成题目“解方程：□”时，发现一次项系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成2，请解方程． （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该方程有一个根是”．通过计算说明原题中“□”是多少，并求出该方程的另一个根． 【答案】（1）， （2）原题中“□”是，该方程的另一个根是 【解析】 【分析】（1）通过因式分解解一元二次方程； （2）利用方程的根的定义求一次项系数，再求另一根即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 设“□”处的数为，则原方程为， ∵该方程有一个根是， ∴，即， ∴，即原题中“□”是， 此时方程为， ， ∴或， ∴，； ∴方程的另一个根为． 21. 【探究】在一次聚会上，每两个人见面都会握手，若参加聚会的人共握手45次，求出参加聚会的人数． 【拓展】嘉嘉给淇淇出题： “若在直角的内部由顶点引出条射线（不含、边），共形成20个角，求的值．” 淇淇经过思考计算，说：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”淇淇的思考对吗？若不对，请求出的值；若对，请说明理由． 【答案】探究：参加聚会的人数为10人． 拓展：淇淇的思考对， ∵在内部引条射线后，以为端点的射线共有条， ∴每两条射线组成一个角，总个数为， 令， 整理得， 解得， ∵为非负整数，上述方程无正整数解， ∴角的总数不可能为20，淇淇的思考正确． 【解析】 【分析】探究：设参加聚会的人数为x人，根据题意列出一元二次方程求解即可； 拓展：根据题意得在内部引条射线后，以为端点的射线共有条，确定每两条射线组成一个角，总个数为，然后建立方程求解即可判断 【详解】解：探究：设参加聚会的人数为x人， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的人数为10人； 拓展：略． 22. 已知关于x的一元二次方程为 （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为5，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为5或7时，是等腰三角形，周长为11或13 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：当m为5或7时，是等腰三角形，周长为11或13． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 24. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． （1）_______； （2）在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解； （2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． 【小问2详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期数学第一次教学分析 一、选择题：（每小题3分，共36分） 1. 若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于的一元二次方程的解是（ ） 0 1 2 0 0 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 7. 已知方程，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 11. 小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知是关于x的一元二次方程，则的值是_______． 14. 已知是方程的一个根，则式子的值是________． 15. 某学校的生物活动小组，在实践中，发现一种植物的主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，若设每个支干长出个小分支，请你列出方程：________________． 16. 定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则中的值为_________． 三、解答题：（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）_______，_______； （2）当时，求的值． 19. 数学课上，老师出示了一道题目：解方程，甲、乙、丙三位同学分别用了不同方法，答案也各不相同，下面是他们的解答过程： 甲 乙 丙 将方程两边分解因式，得 两边同时除以， 得． 整理得， ， ， 或， ，． 整理得， ，， 此方程无实数根． 请你判断三位同学的解答是否正确？（填“正确”或“错误”） 甲_______，乙_______，丙_______．若不正确，请选择适当的方法写出正确的解答过程． 20. 嘉淇准备完成题目“解方程：□”时，发现一次项系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成2，请解方程． （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该方程有一个根是”．通过计算说明原题中“□”是多少，并求出该方程的另一个根． 21. 【探究】在一次聚会上，每两个人见面都会握手，若参加聚会的人共握手45次，求出参加聚会的人数． 【拓展】嘉嘉给淇淇出题： “若在直角的内部由顶点引出条射线（不含、边），共形成20个角，求的值．” 淇淇经过思考计算，说：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”淇淇的思考对吗？若不对，请求出的值；若对，请说明理由． 22. 已知关于x的一元二次方程为 （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为5，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 24. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． （1）_______； （2）在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $