精品解析：河北石家庄市第四十二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

数学 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A. 和{ B. 和 C. 和 D. 和 3. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A. 小明 B. 小丽 C. 小红 D. 小亮 4. 某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，，8．已知这组数据的平均数为6，则数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 6. 下表是韩梅参加演讲比赛的得分表，表格中“△”部分被污损，她的总得分是（ ） 韩梅 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 85 95 85 权重 △ A. 85.5 B. 86 C. 87.7 D. 89 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试A、B两个班都没有人考满分 B. A班的最低分比B班的最低分低 C. A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D. A班的成绩比B班的成绩更集中 9. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 10. 一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 11. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 12. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则. ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根. ③若是方程的一个根，则一定有成立. ④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若正数2是m与8的比例中项，那么m=______． 14. 将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 15. 设，是方程的两实数根，则____________． 16. 我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 三．解答题（本大题共6个小题，共72分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 对有序数对定义新运算：，例如：． （1）求的结果； （2），求的值． （3）当时，有最________值，是________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 20. 我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填________，③处应填________． （2）求②． （3）基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． （4）若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时，________，________（用含的式子表示）； （2）当时，求的值； （3）连接，当时，求的值； （4）当点在边上，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A. 和{ B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先比较组内离差平方和，再分组即可． 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 3. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A. 小明 B. 小丽 C. 小红 D. 小亮 【答案】C 【解析】 【分析】通过逐步验证配方法解方程的每一步变形，确定出错环节． 【详解】小明：方程两边同时除以2， 得，正确； 小丽：移项变形得，正确； 小红：左边配方应为，小红写为，错误． 4. 某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，，8．已知这组数据的平均数为6，则数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平均数，根据平均数及已知数据可得未知数据的值． 【详解】解：由题意知， 解得， 故选A． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 下表是韩梅参加演讲比赛的得分表，表格中“△”部分被污损，她的总得分是（ ） 韩梅 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 85 95 85 权重 △ A. 85.5 B. 86 C. 87.7 D. 89 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：由题意知，形象风度所占百分比为， 则她的总得分是：（分． 故选：D． 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 8. 已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试A、B两个班都没有人考满分 B. A班的最低分比B班的最低分低 C. A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D. A班的成绩比B班的成绩更集中 【答案】D 【解析】 【详解】解：满分分，班班最大值（最上端横线）均小于分，两个班没人考满分，选项不符合题意； 班最小值（最下端横线）对应的位置低于班的最小值对应位置，班的最低分比班低，选项不符合题意； 班成绩的第三分位数（箱体上端横线）是，班成绩的中位数（箱体中间横线）也是，班成绩的第三分位数与班成绩的中位数相同，选项不符合题意； 箱体越窄，数据越集中，班的箱体比班的宽，因此班的成绩比班的成绩更集中，选项符合题意． 9. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 10. 一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【解析】 【分析】从方差算式中提取数据组与样本容量，结合相关定义计算后逐项判断选项正误即可． 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 11. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选： A． 12. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则. ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根. ③若是方程的一个根，则一定有成立. ④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】时，，故方程有实数根，即可得，进而可判定①正确，根据一元二次方程根的判别式得，再根据，进而得，即可得方程必有两个不相等的实数根，可判定②正确，把代入方程，得，当时，成立，但不一定为0，可判定③错误，根据方程有两个不相等的实数根，得，当时，方程是一元一次方程，只有1个实数根，可判定④错误，即可得答案. 【详解】解：①若时，方程有实数根， ，故①正确. ②∵方程有两个不相等的实数根， ， ∵方程的判别式，且， ， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确. ③将代入方程，得，整理得，当时，成立，但不一定为0，故③错误. ④方程有两个不相等的实数根，则，当时，方程变为，是一元一次方程，只有1个实数根，故④错误. 综上所述，正确的说法共2个. 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若正数2是m与8的比例中项，那么m=______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出关于的等式，再求解即可得到答案. 【详解】解：因为正数是与的比例中项， 所以， 所以. 14. 将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 【答案】 方差 【解析】 【分析】设原数据各统计量，每个数据加后，根据各统计量的定义和方差公式，计算新数据的对应统计量，比较后即可得到结果. 【详解】解：设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上， ∴新数据的众数为，发生改变； 新数据的中位数为，发生改变； 新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变； 新数据的方差为， ∴值保持不变的统计量是方差. 15. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 16. 我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，负值舍去， ， 解得：． ． 三．解答题（本大题共6个小题，共72分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得． 18. 对有序数对定义新运算：，例如：． （1）求的结果； （2），求的值． （3）当时，有最________值，是________． 【答案】（1） （2） （3）小， 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算代入，得出关于的一元二次方程，利用公式法求的值即可． （3）把代入中，得出关于的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，是． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：∵方程中，，，， ∴， ∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根，即总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明无论取何值，方程总有实数根； （2）解方程可得，，所以的三边长分别为、和，又因为是直角三角形， 所以分为直角三角形的斜边和不为直角三角形的斜边两种情况进行讨论，再根据勾股定理建立关于的方程，解方程求出值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 原方程可转化为， 解得，， ∴的三边长分别为、和， 当是直角三角形时，则分两种情况进行讨论， 情况一：为直角三角形的斜边， 则根据勾股定理得：， 整理得， 解得，（负值舍去）， 此时的三边长分别为、、； 情况二：不为直角三角形的斜边， 则根据勾股定理得：， 整理得， 解得， 此时的三边长分别为、、； ∴综上可得：或． 20. 我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填________，③处应填________． （2）求②． （3）基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． （4）若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】（1）；96 （2） （3）八 （4）100名 【解析】 【分析】（1）根据众数和第三四分位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据方差越小成绩越稳定可得答案； （4）用该校八年级参与此活动的人数乘以样本中八年级学生成绩超过94分的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，， ∵得分为70的人数最多， ∴七年级12名学生的成绩的众数为70； 方法1：排序后的后面6个数的中位数为，则； 方法2：，则七年级学生的成绩的第三四分位数为排序后的第9个数据和第10个数据的平均数，则七年级学生的成绩的； 综上所述，七年级学生的成绩的； 【小问2详解】 解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序，中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即为； 【小问3详解】 解：∵七年级学生的成绩的方差为，八年级学生的成绩的方差为，且， ∴八年级学生成绩更稳定； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数为100名． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得， 因尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时，________，________（用含的式子表示）； （2）当时，求的值； （3）连接，当时，求的值； （4）当点在边上，且时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） （4）7 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，再根据题意列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）先画出图形，根据勾股定理表示出，由列方程求出的值，进而求出，最后根据三角形的面积公式计算即可； （4）先画出图形，用代数式表示出、，再根据三角形的面积公式列方程求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当点P在边上时，，； 【小问2详解】 解：∵秒， ∴， ∴点P在B点上，如图， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，当点P在边上， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴t的值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $