28.1 第2课时 图形的旋转 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

28.1 第2课时 图形的旋转 教学设计 课题 28.1 图形的旋转（第2课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 复习图形旋转的相关知识，应用已学的知识作图，掌握旋转作图的一般步骤；2. 经历点的旋转、线段的旋转、图形的旋转的作图过程，体会化归思想；3. 理解选择不同的旋转角度、旋转中心、旋转方向对某一图案作旋转会产生不同的效果，能根据需要用旋转的知识设计图案. 教学重点 旋转作图的一般步骤，图形旋转的三要素. 教学难点 按给定条件准确完成旋转作图；利用旋转三要素设计图案并说明设计依据. 教学方法 演示教学、动手操作、小组合作 教学准备 直尺、三角尺、量角器、圆规、多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形　　　　，点 O 叫做　　　　，转动的角叫做　　　　．如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的　　　　． 答案：旋转；旋转中心；旋转角；对应点. 2．注意：（1）此处旋转是指平面内的变换，因此，“平面内”这一条件不可忽略；（2）旋转中心可以是图形　　　的一点，也可以是图形　　　的一点，还可以是图形　　　的一点；（3）旋转的角度一般小于　　　　． 答案：外；上；内；360°. 3．旋转的性质：对应点到　　　　的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　　　　；旋转前、后的图形　　　　． 答案：旋转中心；旋转角；全等. 4．利用旋转变换求角的度数的三种方法：（1）利用旋转前、后的　　　　求解；（2）利用图形旋转前、后的　　　　　　求解；（3）根据　　　　求解． 答案：图形全等；对应角相等；旋转角. 5．利用旋转变换可以把零散的、不规则的图形整合在一起，使其转化为　　　　，然后根据　　　　　　　　求出阴影部分的面积．这个过程体现了　　　　　　　　的应用． 答案：规则图形；规则图形的面积公式；转化思想和整体思想. 6．确定旋转中心、对应点、旋转角的方法：确定　　　　——旋转前、后位置没有发生变化的点；确定　　　　——旋转后能重合的点；确定　　　　——各组对应点与旋转中心所连线段的夹角． 答案：旋转中心；对应点；旋转角. 【设计意图】系统回顾旋转的概念、性质与解题方法，为本节课学习旋转作图扫清知识障碍. 学生完成 21 个填空，系统回顾旋转的概念、注意点、性质、求角方法、转化思想与要素确定方法. 以填空形式激活旧知，为旋转作图学习做好知识准备. 环节二 新知探究 点的旋转 二、新知探究（点的旋转） 【问题】如图，你能画出将点 A 绕点 O 按顺时针方向旋转 60° 后的点吗？ 点的旋转题图 【师生活动】教师适当点拨，引导学生发现作图方法：旋转后点与点 A 的距离不变，且与点 O 所连线段转过 60°，可借助圆规与量角器完成作图. 分层设问：①旋转后点 B 到点 O 的距离与 OA 有什么关系？②怎样保证转过的角度恰好是 60°？ 【答案】作法： （1）如图，连接 OA，以点 O 为圆心、OA 为半径画圆； （2）用量角器或含 60° 角的三角尺画出∠AOB，与圆周交于点 B．点 B 即为点 A 绕点 O 按顺时针方向旋转 60° 后的点. 点的旋转作法图 【追问】若不画辅助圆，直接用“在射线 OB 上截取 OB＝OA”能完成作图吗？关键在哪里？ 【答案】预设：能，关键是先按旋转方向作出 60° 的角，再在角的终边上截取 OB＝OA；画辅助圆的好处是保证 OB＝OA 这一条件自然成立. 【设计意图】让学生掌握最简单的元素——点的旋转作法，为进一步学习线段和图形的旋转作法作铺垫. 学生掌握“半径画圆+转角定角”的点的旋转作法，理解 OB＝OA 的依据. 从最简单的点入手掌握旋转作图的基本方法，为线段、图形的作图作铺垫. 环节三 新知探究 线段的旋转 三、新知探究（线段的旋转） 【问题】如图，已知线段 AB 和点 O，你能画出线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90° 后的线段 A′B′ 吗？ 线段的旋转题图 【师生活动】教师引导学生理解线段的旋转作法重点是确定线段端点的对应点，进而将线段的旋转转化为点的旋转，学生讨论交流，自主作图. 分层设问：①线段的旋转实际上是哪些元素的旋转？②两个端点各自的旋转方向、旋转角分别是什么？ 【答案】作法： （1）如图，连接 OA，OB； （2）作射线 OD⊥OB，射线 OE⊥OA； （3）分别在射线 OD，OE 上截取 OB′＝OB，OA′＝OA； （4）连接 A′B′．线段 A′B′ 即为所求线段. 线段的旋转作法图 【追问】为什么作出两个端点的对应点后，连接 A′B′ 就得到整条线段的像？ 【答案】预设：因为线段由两个端点唯一确定，旋转前、后图形全等，线段 A′B′ 与线段 AB 对应，所以只需确定端点的对应点. 【设计意图】从点的旋转作法迁移到线段的旋转作法，让学生体会化归的思想——把线段的旋转转化为点的旋转. 学生把线段的旋转化归为两端点的旋转，独立完成 A′B′ 的作图并说明依据. 体会化归思想：线段的旋转转化为点的旋转. 环节四 新知探究 图形的旋转 四、新知探究（图形的旋转与作图步骤） 【问题】如图，△ABC 绕点 C 旋转后，顶点 A 的对应点为点 D．试确定顶点 B 对应点的位置以及旋转后的三角形. 三角形的旋转题图 【师生活动】类比线段的旋转作法，讨论发现图形的旋转作法重点是确定关键点的对应点，进而转化为点的旋转作法，然后学生自主作图，教师检查补充即可. 分层设问：①旋转中心是哪个点？旋转角可以由哪两个点确定？②确定点 B 的对应点需要哪几个条件？ 【答案】作法： （1）如图，连接 CD； （2）以 CB 为一边，作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD； （3）在射线 CE 上截取线段 CF，使得 CF＝CB，点 F 即为点 B 的对应点； （4）连接 DF，CF，则△DFC 即为旋转后的三角形. 三角形的旋转作法图 【新知】旋转作图的一般步骤： （1）　　　　　　，确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分别连接图形中的各关键点和旋转中心； （3）以旋转中心为角的顶点，（2）中所连线段为旋转角的一边，按正确的旋转方向作出旋转角； （4）在旋转角的另一边上截取　　　　　　　　　　，得到该关键点的对应点； （5）　　　　　　，得到旋转后的图形. 答案：找出图形的关键点；关键点到旋转中心的距离；顺次连接各对应点. 【追问】三道作图问题中，“旋转中心”分别扮演了什么共同角色？ 【答案】预设：旋转中心是作图的“基准点”，所有关键点的对应点都通过“到旋转中心的距离不变+转过旋转角”这两条性质来确定. 【设计意图】通过点、线段、图形三个层次的旋转作法，理解并掌握旋转作图的一般步骤，形成“定关键点→连旋转中心→作旋转角→截取对应点→顺次连接”的操作程序. 学生完成三角形的旋转作图，归纳旋转作图五步骤，理解旋转中心的基准作用. 掌握旋转作图的一般步骤，形成程序化操作经验. 环节五 典例精讲 五、典例精讲 【例题】如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，以点 A 为旋转中心，把△ADE 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形. 例题图 【师生活动】学生解答并展示，然后教师补充总结. 分层设问：①旋转中心 A 的对应点是谁？为什么？②点 D 旋转 90° 后与哪个点重合？依据是什么？③点 E 的对应点 E′ 应满足哪两个条件？ 【分析】关键是确定△ADE 三个顶点的对应点的位置，即三个顶点旋转后的位置. 【答案】解：因为点 A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 在正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋转后点 D 与点 B 重合. 设点 E 的对应点为点 E′．因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE′＝∠ADE＝90°，BE′＝DE. 如图，在 CB 的延长线上取点 E′，使 BE′＝DE，连接 AE′，则△ABE′ 为旋转后的图形. 例题作法图 【问题】还有其他方法吗？ 【师生活动】教师引导学生从不同的角度分析并作答，比较各方法的共同点与差异. 【答案】 方法1：如图，过点 A 作射线 AP⊥AE，在射线 AP 上取一点 E′，使 AE′＝AE，连接 BE′，则△ABE′ 为旋转后的图形. 方法1图 方法2：如图，以点 A 为圆心，AE 为半径画弧，交 CB 的延长线于点 E′，连接 AE′，则△ABE′ 为旋转后的图形. 方法2图 方法3：如图，过点 A 作 AE 的垂线，交 CB 的延长线于点 E′，则△ABE′ 为旋转后的图形. 方法3图 【追问】四种作法共同的关键步骤是什么？若把旋转中心改到正方形外一点，作图思路要调整吗？ 【答案】预设：共同关键是“确定对应点”——抓住到旋转中心的距离不变与旋转角不变两条性质；若旋转中心在图形外，思路不变，仍对三个顶点逐一确定对应点后连接，只是对应点不再与原有顶点重合. 【设计意图】用不同方法解决同一道题，培养学生的发散思维；通过追问引导学生提炼“确定对应点”这一作图核心，深化对旋转性质的理解. 学生用四种方法完成△ADE 旋转 90° 的作图，提炼“确定对应点”的共同核心. 一题多法培养发散思维，深化旋转性质在作图中的应用. 环节六 三要素与 图案设计 六、三要素与图案设计 【问题】按要求旋转三角形：（1）选择不同的旋转角度，观察旋转的效果；（2）选择不同的旋转中心，观察旋转的效果；（3）选择不同的旋转方向，观察旋转的效果. 旋转三角形题图 【师生活动】小组一起讨论并画图，教师查看并指导补充. 各组展示不同条件下的旋转效果并比较. 【新知】图形旋转的三要素是　　　　　　　　，它们都会影响图形旋转的效果. 答案：旋转中心、旋转角和旋转方向. 我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案. 等腰三角形旋转成五角星 【问题】如图（1），将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图（2）中的五角星图案. 想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少？ 【师生活动】学生结合五角星的特征计算：五个顶角均匀分布在一周内，一周角为 360°. 教师追问：若改为六角星呢？ 【答案】需要旋转　　　　次，每次的旋转角是　　　　. 若是六角星，则需旋转 5 次，每次旋转角 60°. 答案：4；72°. 旋转同一个图形时，选择不同的旋转中心、不同的旋转角或不同的旋转方向都可能产生不同的旋转效果. 旋转中心不变，旋转角改变 在上图的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果. 旋转角不变，旋转中心改变 在上图的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果. 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. 多次旋转得到的图案 【追问】要设计一个“风车”图案，你会选择怎样的基本图形、旋转中心与旋转角？动手试一试并展示. 【答案】预设：选择一个带叶片的基本图形，以图案中心为旋转中心，旋转角取 360°÷n（n 为叶片数），连续旋转 n−1 次. 【设计意图】让学生意识到图形旋转的三要素对旋转效果的影响，通过图案设计活动体会旋转的应用价值，发展审美与创造力. 学生通过画图比较三要素对旋转效果的影响，计算五角星的旋转次数与角度，并尝试图案设计. 体验三要素对旋转效果的影响，学以致用设计图案. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）点的旋转、线段的旋转、图形的旋转作法有什么共同思路？（2）旋转作图的一般步骤分几步？（3）图形旋转的三要素是什么？它们如何影响旋转效果？ 知识结构图 【归纳】①共同思路：把线段、图形的旋转都转化为关键点的旋转，“到旋转中心距离不变+转过旋转角”确定对应点；②一般步骤：找关键点并确定三要素→连接关键点与旋转中心→作旋转角→截取对应点→顺次连接；③三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向，任一要素改变都会产生不同的旋转效果，可借助旋转设计图案. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理作图思路、一般步骤与三要素，课后独立完成作业. 整理作图方法体系，巩固化归思想与三要素的理解. 板书设计 28.1 图形的旋转（第2课时） 一、点的旋转作法 连 OA → 以 O 为圆心、OA 为半径画圆 → 作旋转角 → 交圆周于对应点 二、线段（图形）的旋转作法 转化为关键点的旋转：距离不变+旋转角不变 三、旋转作图的一般步骤 找关键点定三要素 → 连旋转中心 → 作旋转角 → 截取对应点 → 顺次连接 四、图形旋转的三要素 旋转中心、旋转角、旋转方向；改变任一要素，旋转效果不同；可借旋转设计图案 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $