28.1 图形的旋转（第2课时） 教学设计 2026-2027学年 人教版九年级数学上册

28.1 图形的旋转（第2课时）教案 课型：新授课 课时：1课时 授课年级：九年级 一、教学目标（核心素养目标） 1. 掌握画简单平面图形绕给定点旋转一定角度后的图形的一般方法，能确定关键点的对应点，正确作出旋转后的图形。 2. 理解旋转中心、旋转方向、旋转角对旋转结果的影响，能利用旋转设计简单的图案。 3. 经历“作图—观察—比较—归纳”的过程，进一步体会旋转的性质，发展几何直观、空间观念与创新意识。 二、教学重点 画旋转后图形的方法（作关键点的对应点）。 三、教学难点 确定关键点的对应点，并利用旋转设计图案。 四、教学方法与教具准备 讲练结合法、动手操作探究；多媒体课件、方格纸、量角器与直尺、实物投影。 五、教学过程 （一）课前复习（3分钟） 问题1：什么叫作图形的旋转？旋转中心、旋转角分别指什么？ 解：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。 问题2：旋转的三要素是什么？ 解：旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角。 问题3：旋转有哪些性质？ 解：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角；旋转前后的两个图形全等。 （二）温故知新（2分钟） 问题1：画一个图形平移后的图形，关键是确定图形上一些关键点（如顶点）平移后的对应点，再顺次连接。那么，给定一个点和一个图形，你能画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到的图形吗？画旋转后图形的关键是什么？ 解：能。与平移类似，画旋转后图形的关键是确定图形上一些关键点（如三角形的顶点）旋转后的对应点，再顺次连接。 （三）探究旋转作图（7分钟） 给定一个点和一个图形，可以画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到的图形。与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形（如三角形、矩形），只要画出一些关键点（如三角形、矩形的顶点）的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形。 归纳：画旋转后图形的一般步骤： （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出图形的关键点（如三角形的顶点）； （3）连接关键点与旋转中心，以旋转中心为顶点、沿旋转方向作一个角等于旋转角，在角的另一边上截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到关键点的对应点； （4）顺次连接各个对应点，就得到旋转后的图形。 （四）例题精讲（10分钟） 例2　如图28.1-6，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 分析：△ADE绕点A顺时针旋转90°，关键点为D和E。由AD＝AB，∠DAB＝90°可知，点D的对应点与点B重合；再由旋转的性质作出点E的对应点E′，即可画出旋转后的图形。 解：因为AD＝AB，以点A为旋转中心、把△ADE顺时针旋转90°时，点D落在点B处。连接AE，以点A为顶点、沿顺时针方向作∠EAE′＝90°，并在AE′上截取AE′＝AE，得到点E的对应点E′；连接AB（即A与D的对应点）、BE′、E′A，则△ABE′就是△ADE旋转后的图形。 想一想：还有其他的方法画出旋转后的图形吗？ 解：有。例如，过点B作BE的垂线（或利用∠ABE′＝∠ADE＝90°），在垂线上截取BE′＝DE，得到点E的对应点E′，连接AE′，同样可画出旋转后的图形；也可以借助透明纸描图，把描得的△ADE绕点A顺时针旋转90°印下。 巩固练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，P是边BC上一点。以点A为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形。 解：关键点是B和P。因为旋转角等于∠BAC，且AB＝AC，所以点B的对应点为点C；连接AP，以点A为顶点、沿逆时针方向作∠PAP′＝∠BAC，在AP′上截取AP′＝AP，得到点P的对应点P′；连接CP′、P′A，则△ACP′（答案图中蓝色部分）就是△ABP旋转后的图形。 （五）旋转设计图案（5分钟） 1. 利用旋转可以设计美丽的图案：如图28.1-8(1)，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，可以得到图28.1-8(2)中的五角星图案。需要旋转几次？每次的旋转角是多少度？ 解：五角星由5个同样的等腰三角形绕中心均匀分布，需要旋转4次，每次的旋转角是360°÷5＝72°。 2. 选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果。在图28.1-10的两个旋转中，旋转中心不变、旋转角改变；在图28.1-11的两个旋转中，旋转角不变、旋转中心改变，都产生了不同的旋转效果。 3. 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案（如图28.1-12）。 （六）课堂练习（10分钟） 1. 选择不同的旋转中心、不同的旋转角对图28.1-8(1)中的等腰三角形进行旋转，观察旋转后的效果，并与同伴交流。 解：开放题。例如，旋转角取36°时旋转9次可围成一圈花边；旋转中心取三角形的不同顶点方向，得到的图案各不相同。只要能指出旋转中心与旋转角并展示效果即可。 2. 如图，在方格纸中分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后得到的图形。 解：把OA、OB、OC分别绕点O逆时针旋转90°，按格数确定对应点A′、B′、C′，顺次连接得△A′B′C′（答案图中蓝色）；再把OA、OB、OC分别绕点O旋转180°（对应点与O的连线穿过O且等距），得对应点A″、B″、C″，顺次连接得△A″B″C″（答案图中绿色）。 3. △ABC绕点O逆时针旋转60°得到△A′B′C′。若OA＝3cm，则OA′＝3cm；若AB＝4cm，则A′B′＝4cm；这个旋转的旋转角等于60°。 解：由旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，得OA′＝OA＝3cm；旋转前后的图形全等，得A′B′＝AB＝4cm；对应点与旋转中心所连线段所成的角等于旋转角，即∠AOA′＝60°。 4. 下列图形中，绕它的中心旋转60°后能与自身重合的是（ C ） A. 等边三角形　　B. 正方形　　C. 正六边形　　D. 五角星 解：C。正六边形绕中心旋转360°÷6＝60°能与自身重合；等边三角形需120°，正方形需90°，五角星需72°。 5. 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°。点D的对应点落在何处？点E的对应点E′落在哪里？∠EAE′等于多少度？ 解：由AD＝AB、∠DAB＝90°，点D的对应点落在点B处；因为∠ADE＝90°，旋转后∠ABE′＝90°，且BE′＝DE，所以点E的对应点E′落在边CB的延长线上；∠EAE′等于旋转角90°。 6. 钟面上，从3时到3时20分，分针绕钟面中心旋转了多少度？时针绕钟面中心旋转了多少度？此时时针与分针的夹角是多少度？ 解：分针每分钟转360°÷60＝6°，时针每分钟转6°÷12＝0.5°。经过20分钟，分针旋转了20×6°＝120°，时针旋转了20×0.5°＝10°。3时整时针与分针的夹角为90°，时针再转10°后指向100°方向，分针指向120°方向，此时时针与分针的夹角为120°－100°＝20°。 （七）课堂小结（2分钟） （1）画旋转后图形的一般步骤：确定旋转中心、旋转方向和旋转角→找出关键点→作出关键点的对应点→顺次连接；（2）画旋转后图形的关键是确定图形上一些关键点的对应点；（3）决定旋转效果的两个要素是旋转中心和旋转角。 （八）作业布置（1分钟） 必做题：课本习题28.1第3、4题。 解：第3题：把线段OA、OB、OC分别绕点O逆时针旋转90°，得到对应点，顺次连接即得△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；再分别绕点O逆时针旋转180°（对应点与O的连线穿过O且等距），得旋转180°后的图形。第4题：按各小题要求作图——（1）以点A为旋转中心，把AB、AC绕点A逆时针旋转40°，作出B、C的对应点后顺次连接；（2）取BC的中点O，把AB、AC绕点O顺时针旋转90°作图；（3）在△ABC内任取一点O，把A、B、C绕点O逆时针旋转180°（对应点与O的连线穿过O且等距）；（4）在△ABC外任取一点O，把A、B、C绕点O顺时针旋转120°作图。 选做题：课本习题28.1第2题。 解：五角星绕中心O至少旋转72°（360°÷5）能与自身重合；等边三角形绕其中心至少旋转120°（360°÷3）能与自身重合。 实践探究：用旋转设计一个美丽的图案，并在小组内交流展示。 解（提示）：选一个基本图形（如等腰三角形、菱形或简单花边），确定旋转中心与旋转角（如72°、60°、45°），连续旋转若干次即可得到图案；展示时说明基本图形、旋转中心和旋转角。 六、板书设计 课题：28.1 图形的旋转（第2课时） 左栏：一、旋转作图的步骤——定三要素（中心、方向、角）→找关键点→作对应点（作角＝旋转角、截取等距线段）→顺次连接。二、例2要点——AD＝AB、∠DAB＝90° ⇒ D的对应点与B重合；作∠EAE′＝90°且AE′＝AE。 右栏：旋转设计图案——改变旋转中心或旋转角，效果不同；多次旋转得美丽图案。方法归纳：关键点法（类比平移、轴对称作图）。 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $