28.1 第1课时 图形的旋转 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

28.1 第1课时 图形的旋转 教学设计 课题 28.1 图形的旋转（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 通过生活中的实例认识旋转现象，了解旋转的概念，能说出旋转中心、旋转角、旋转方向和对应点等要素；2. 熟练掌握旋转的性质，并能运用性质解决求角度、求面积等问题；3. 了解平移、轴对称和旋转三种图形变换的异同点，形成图形变化的知识体系. 教学重点 图形旋转的相关概念（旋转中心、旋转角、对应点）与旋转的性质. 教学难点 运用旋转的性质解决求角度、求重叠面积等综合问题；辨析平移、轴对称与旋转的异同. 教学方法 情境教学、探究式教学、讲练结合 教学准备 直尺、量角器、多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 新课导入 一、新课导入 【情境】同学们都见过风车吧，它能在风的吹动下不停地转动. 在我们周围，还能看到许多转动着的物体，如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、时钟的指针、游乐园的大转盘等. 我们生活在一个处处能见到旋转现象的世界中. 生活中的旋转现象 在数学中，旋转是图形变化的方法之一，应该怎样描述它呢？它又有什么性质呢？本节课将解答这些问题. 【问题】如图，观察三个生活中的转动现象：图（1）钟表的指针在不停地转动，从 3 时到 5 时，时针转动了多少度？图（2）风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置；图（3）改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 图（1）钟表　图（2）风车　图（3）船舵 以上这些运动现象有什么共同特点呢？ 【师生活动】学生发言，教师引导学生归纳. 教师指出，如果将上面钟表的指针、风车风轮的叶片、舵柄看作平面图形，那么上述运动就可看作一个平面图形绕着平面内某一个点转动一个角度，数学中把这叫作图形的旋转. 师生共同得出旋转的定义后，教师结合定义给出“旋转中心”“旋转角”“旋转方向”“对应点”等概念. 分层设问：①三个实例中，物体在运动时，形状和大小发生变化了吗？②它们的运动有什么共同点？③“从 3 时到 5 时”时针扫过了几个大格？每个大格对应多少度？ 【答案】钟表的时针从 3 时到 5 时转动了　　　　；钟表的指针、风车的叶片、舵柄都是在绕一个定点转动，因而以上现象的共同特点是：物体绕　　　　转动. 答案：60°；定点. 【新知】我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄等看作平面图形. 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点 O 叫作　　　　　　，转动的角叫作　　　　　　. 如果图形上的点 P 经过旋转后变为点 P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 答案：旋转中心；旋转角. 例如，图（1）中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是 60°，时针的端点在 3 时的位置 P 与在 5 时的位置 P′ 是对应点. 【注意】（1）此处旋转是指平面内的变换，因此，“平面内”这一条件不可忽略；（2）旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点；（3）旋转的角度一般小于 360°. 【追问】旋转一周是多少度？为什么说旋转的角度“一般”小于 360°？ 【答案】预设：旋转一周为 360°；若旋转角恰为 360°，图形与自身重合，一般不专门研究，所以说“一般”小于 360°. 【设计意图】让学生从具体实例中发现旋转现象，抽象出旋转的本质属性，即将“生活中的旋转”抽象为“数学中的旋转”；让学生借助实例理解旋转的相关概念，同时发展抽象概括能力. 学生从风车、钟表等实例中抽象出“绕定点转动”的共同特征，认识旋转中心、旋转角与对应点等概念. 从生活情境抽象旋转概念，落实定义要素辨析，发展抽象概括能力. 环节二 新知探究 对应元素 二、新知探究（对应元素） 【问题】旋转前、后元素是如何对应的？请举例回答. 【师生活动】教师提问，学生思考并回答，然后教师举例讲解对应点、对应线段和对应角的含义. 【新知】如图，△A′OB′ 是 △AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一定的角度所得到的，点 O 是旋转中心. 旋转的对应元素 对应点：点 A，B 的对应点分别是点　　　　　　；对应线段：线段 OA，OB，AB 的对应线段分别是线段 OA′，OB′，　　　　　　；对应角：∠AOB，∠OAB，∠OBA 的对应角分别是∠A′OB′，　　　　　　　　，∠OB′A′. 答案：A′，B′；A′B′；∠OA′B′. 【追问】旋转前、后的图形中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？ 【答案】预设：图形的位置发生了变化；图形的形状、大小以及对应线段的长度、对应角的大小都保持不变. 【设计意图】让学生进一步理解对应点等对应元素的含义，并通过追问为下一环节探究旋转的不变量（性质）埋下伏笔. 学生借助 △AOB 旋转的图示，准确指认对应点、对应线段与对应角，感知旋转中的“变”与“不变”. 落实对应元素的识别，为探究旋转性质与后续推理作铺垫. 环节三 新知探究 性质与比较 三、新知探究（旋转性质与三种变换的比较） 【问题】下面我们一起探究旋转的性质. 观察下图中△ABC 绕点 O 旋转到△A′B′C′ 的过程，你有什么发现？ 探究旋转的性质 【师生活动】教师出示问题，学生思考. 当学生不知道从哪些方面去发现对应点的数量和位置特征时，教师可追问引导：①连接 OA 与 OA′，OB 与 OB′，OC 与 OC′，测量它们的长度，你发现了什么？②∠AOA′，∠BOB′，∠COC′ 的大小有什么关系？③旋转前、后的两个三角形形状、大小有什么关系？ 【新知】旋转的性质： （1）对应点到　　　　　　的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　　　　　　； （3）旋转前、后的图形　　　　　　. 答案：旋转中心；旋转角；全等. 【问题】平移、轴对称和旋转有什么异同点？ 【师生活动】教师提问，学生作答，教师补充，师生共同列表比较. 【新知】平移、轴对称和旋转的不同点：平移变换前后，两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上），对应角的两边分别平行（或在同一条直线上）且方向一致；若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上，成轴对称的两个图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分；旋转变换前后，两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 平移、轴对称和旋转的相同点：（1）都是在平面内进行的图形变换；（2）都是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等，两图形全等；（3）都是把一个已知图形变换后得到另一个与之全等的图形. 【追问】三种变换中，哪种变换需要“转”？哪种变换需要“翻”？哪种变换沿直线“移”？它们各自由什么要素唯一确定？ 【答案】预设：旋转需要“转”，由旋转中心、旋转方向与旋转角确定；轴对称需要“翻”，由对称轴确定；平移沿直线“移”，由平移的方向和距离确定. 【设计意图】让学生亲身经历性质的发现、概括、验证的过程，发展归纳概括能力与合情推理能力，认识到图形运动中对应点所蕴含的不变关系；通过对比三种变换的异同，帮助学生形成图形变化的知识体系. 学生通过度量与观察归纳旋转的三条性质，并列表比较平移、轴对称、旋转的异同. 经历性质的发生与概括过程，构建三种图形变换的知识体系. 环节四 典例精讲 四、典例精讲 【例题】如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°，得到△A′B′C，若∠BCA′＝100°，求∠B′CA 的度数. 例题图 【师生活动】学生解答并展示，然后教师补充总结. 分层设问：①本题中的旋转角是哪个角？有几个？②∠BCA′ 由哪三个角拼成？③由“顺时针旋转 35°”能确定旋转角多大吗？ 【分析】关键是找到旋转角，再利用旋转的性质解出答案. 【答案】解：由旋转的性质可知，∠BCB′ 与∠ACA′ 都是旋转角，所以∠BCB′＝∠ACA′＝　　　　. 又因为∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′＝∠BCA′＝100°，所以∠B′CA＝100°−　　　−　　　＝　　　　. 答案：35°；35°；35°；30°. 【追问】若将本题条件改为“旋转角为 α”，其余不变，你能用含 α 的式子表示∠B′CA 吗？ 【答案】预设：∠B′CA＝100°−2α（其中 0°＜α＜50°，保证∠B′CA 为正角）. 【设计意图】通过求旋转后角度的问题，训练学生识别旋转角、利用“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”进行角度拼拆的能力；追问一般化，渗透由特殊到一般的思想. 学生识别∠BCB′ 与∠ACA′ 为旋转角，利用角度和差关系求出∠B′CA＝30°. 巩固旋转角的识别与性质的应用，训练角度拼拆的推理表达. 环节五 课堂练习 五、课堂练习 1．下列现象中属于旋转的有（　　）. ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动. A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 【答案】　　　　（③④⑤⑥ 都绕一个定点转动，属于旋转；①是量变不属于图形变换，②是平移）. 答案：C. 【设计意图】考查学生对旋转概念的理解和掌握情况，辨析旋转与平移、其他变化的区别. 2．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点 A′ 落在 BC 的延长线上. 已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝　　　　　　． 练习2图 【师生活动】学生独立完成，教师巡视，请一名学生板演并讲解思路，师生共同订正. 【答案】解：在△ABC 中，∠ACB＝180°−27°−40°＝113°. 由旋转的性质，得∠A′CB′＝∠ACB＝113°. 因为点 A′ 在 BC 的延长线上，所以∠B′CB＝180°−113°＝67°，即旋转角为 67°. 所以∠ACB′＝113°−67°＝　　　　. 答案：46°. 【归纳】利用旋转变换求角的度数的三种方法：（1）利用旋转前、后的图形全等求解；（2）利用图形旋转前、后的对应角相等求解；（3）根据旋转角求解. 【设计意图】考查学生对旋转性质的掌握情况，训练“先求内角、再求旋转角、最后作差”的角度推理链. 3．如图，在同一平面内有两个边长均为 1 的正方形 ABCD 和正方形 A′B′C′D′，点 D′ 与正方形 ABCD 的中心 O 重合，且正方形 A′B′C′D′ 绕点 O 转动，则它们重叠部分的面积等于　　　　　　． 练习3图 【师生活动】教师引导学生用两个特殊位置进行计算比较，发现重叠面积不变，再尝试说理；小组交流后代表发言，教师点评. 【答案】解：设两个正方形的重叠部分为四边形 OEAF（E，F 分别为交点，A 为正方形 ABCD 的一个顶点）. 当正方形 A′B′C′D′ 转到特殊位置，使 D′A′ 边与 DA 边重合时，重叠部分是两个三角形，其面积和恰为正方形面积的；由旋转对称性可证，无论转到什么位置，重叠部分的面积不变，总等于. 所以重叠部分的面积等于　　　　　　. 答案：. 【归纳】利用旋转变换可以把零散的、不规则的图形整合在一起，使其转化为规则图形，然后根据规则图形的面积公式求出阴影部分的面积. 这个过程体现了转化思想和整体思想的应用. 【设计意图】进一步考查学生对旋转性质的理解和应用，体会“特殊位置探路、旋转对称说理”的策略，渗透转化思想与整体思想. 4．如图，△ABC 与△ADE 都是直角三角形，∠B 和∠ADE 都是直角，点 D 在 AC 上，∠E＝60°，△ADE 经过旋转后能与△ABC 重合，请回答下列问题： （1）哪一点是旋转中心？ （2）旋转的角度是多少？ 练习4图 【师生活动】学生独立思考后同桌互查，教师请学生口答并追问判断依据. 【答案】解：（1）点 A 是旋转中心； （2）由题意，可知∠EAD＝180°−90°−60°＝30°. 故旋转的角度是　　　　. 答案：30°. 【归纳】确定旋转中心、对应点、旋转角的方法：确定旋转中心——旋转前、后位置没有发生变化的点；确定对应点——旋转后能重合的点；确定旋转角——各组对应点与旋转中心所连线段的夹角. 【设计意图】帮助学生形成关于确定旋转要素的方法和步骤，巩固“旋转前后重合的点是旋转中心”的判断依据. 学生独立完成四道练习，掌握旋转的判定、用性质求角、特殊位置求重叠面积与确定旋转要素的方法. 分题落实概念辨析、性质应用与思想方法，及时反馈课堂掌握情况. 环节六 课堂活动 六、课堂活动 【活动】观察下面的旋转示意图，进一步体会旋转的意义，并用手指比划旋转的方向与角度. 三角形绕顶点旋转示意 【师生活动】教师演示，学生观察并交流：图中三角形绕哪个点转动？旋转方向如何？你还能举出生活中“旋转三要素”的实例吗？ 【设计意图】通过直观演示激发兴趣，让学生在观察与比划中内化旋转三要素，体会数学与生活的联系. 学生观察旋转示意图，指出旋转中心与旋转方向，并举生活实例，内化三要素. 直观演示内化旋转三要素，加强数学与生活的联系. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）旋转的定义是什么？旋转的三要素有哪些？（2）旋转有哪些性质？（3）平移、轴对称和旋转有哪些相同点与不同点？ 知识结构图 【归纳】①旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，三要素为旋转中心、旋转角、旋转方向；②性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等；③三种变换只改变位置、不改变形状和大小，求解角度问题时常利用旋转角与全等关系；④求不规则重叠面积时，常用特殊位置探路、旋转对称说理. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理旋转的概念、性质与三变换异同，课后独立完成作业. 整理知识体系，巩固概念与性质，形成方法链条. 板书设计 28.1 图形的旋转（第1课时） 一、旋转的相关概念 旋转：绕定点 O 转动一个角度；三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；对应点 P 与 P′ 二、旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等 三、平移、轴对称和旋转的异同 同：位置变、形状大小不变、全等；异：平移“移”、轴对称“翻”、旋转“转” 四、旋转的应用 识别旋转角 → 利用性质求角；特殊位置探路求重叠面积 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $