精品解析：内蒙古呼和浩特市第二中学2025-2026学年高二年级第一学期10月月考数学试卷

呼和浩特市第二中学高二年级2025—2026学年第一学期10月月考 数学试卷 考查知识范围：选择性必修一 考试时间：10月17日14:30-16:30 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的倾斜角为，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　） A. 或3 B. C. D. 1或 3. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为a的正方体中，M是的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 圆，圆，则圆与（ ） A. 外离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 7. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 11. 在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 异面直线与MN所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍 D. 过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线平行的直线方程是__________. 13. 已知，，三点，点在平面内，是平面外一点，，则___________.，与的夹角为___________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为． （1）求的面积； （2）求斜边AB中点D的坐标． 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且． (Ⅰ)求证：平面平面； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？ 18. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点． （1）求A点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？并求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第二中学高二年级2025—2026学年第一学期10月月考 数学试卷 考查知识范围：选择性必修一 考试时间：10月17日14:30-16:30 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的倾斜角为，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线倾斜角与斜率、直线的方向向量与直线的向量方程的关系即可求解. 【详解】依题意，若直线的斜率为k，则直线的一个方向向量为 ，直线l的一个方向向量为． 故选：D. 2. 已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　） A. 或3 B. C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值. 【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行， ∴ 解得 m=﹣1， 故选B． 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知， ， 则， ． 3. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 4. 在棱长为a的正方体中，M是的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 因为是棱长为a的正方体，M是的中点，所以，，，则， ，设点到平面的距离为， 则.又， ， 所以，解得. 5. 已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定直线过圆内定点，由直线与过定点的半径垂直，求得直线斜率得直线方程． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为2， 直线过定点，，在圆内部， 直线与圆相交所得弦长最短时，， ，所以， ∴的方程为，即， 故选：D． 6. 圆，圆，则圆与（ ） A. 外离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，求出圆心距和半径之和，半径之差相比得到两圆相交；B选项，根据相交得到公切线条数为2；C选项，求出两圆关于直线对称；D选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 故圆心距为， 由于，故，故两圆相交，A错误； B选项，由A选项知，两圆相交，故有2条公切线，B错误； C选项，两圆的半径相等，故两圆关于的垂直平分线对称， 其中的中点坐标为， 又，故的垂直平分线的斜率为1， 故两圆关于直线对称，即关于对称， 不关于对称，C错误； D选项，圆与圆相减得， 故公共弦所在直线方程为，D正确. 故选：D 7. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量， 看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数. 【详解】 设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是侧面上的动点，设，， 则， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又平面，则，即， 则，解得， 因此可得，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又 因此可得二面角的大小为常数，故①正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故②不正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故③不正确； 故选：B. 【点睛】方法点睛： 1.与平行有关的轨迹问题的解题策略 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹； （2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹． 2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略 （1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； （2）利用空间坐标运算求轨迹； （3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】结合直线与平面位置关系的向量判定、相等向量定义、空间基底的性质、投影向量的计算逐一判断即可. 【详解】对于A，计算可得，即，此时直线或，并非一定有，故A错误； 对于B，单位向量仅满足模长为，方向不一定相同，而相等向量要求模长相等且方向一致，因此任意两个单位向量不一定相等，故B错误； 对于C，空间基底要求三个向量不共面，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成基底，说明任意向量都与这两个向量共面，因此这两个向量必共线，故C正确； 对于D，计算，，则在上的投影向量为，故D正确. 10. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合直线过定点、圆的弦长、点到直线的距离最值、切点弦方程等知识点，逐一判断各选项正误. 【详解】已知圆，直线，如图所示， 对于A，将直线的方程变形为，令，解得，因此直线恒过定点，故A正确； 对于B，令，代入圆的方程得，解得，因此圆被轴截得的弦长为，故B正确； 对于C，直线恒过定点，圆心到直线的距离的最大值为、两点的距离，即，故C错误； 对于D，过圆外一点作圆的两条切线，切点弦方程为， 将点、代入得：，化简得，即直线的方程为，故D正确. 11. 在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 异面直线与MN所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍 D. 过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，连接，可得异面直线与MN所成的角，然后在中求解即可，对于B，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断，对于C，利用等体积法求解，对于D，作出截面，再求其周长 【详解】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以异面直线与MN所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与MN所成的角为，所以A错误， 对于B，如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 向量为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由图可知为锐角，则 ， 所以 所以，所以B正确， 对于C，设，分别到平面的距离为， 因为， 所以, 所以， 所以，所以， 所以点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍，所以C正确， 对于D，作直线，分别延长交于， 连接交于，连接交于，连接，则五边形为过A，M，N三点的截面，因为正方体的棱长为1，所以， 因为∽，所以， 所以， 所以， 所以，， 同理可得，， 所以五边形的周长为，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线平行的直线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线方程为，代入，求出，求出直线方程. 【详解】过点且与直线平行的直线设为， 再将代入得，解得， 故直线方程为. 故答案为： 13. 已知，，三点，点在平面内，是平面外一点，，则___________.，与的夹角为___________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由四点共面可得，即可求，进而可求、，利用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵四点共面，又， ∴，可得. 故，，则，， ∴，，， ∴，由， ∴. 故答案为：1，. 14. 在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】分析得到为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大，设出圆心坐标为，当圆和轴相切时，取得最大值，设出圆的方程，将点代入圆的方程，求出，得到答案. 【详解】过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上， 其中，的中点坐标为， 故的中垂线方程为，即， 其中为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大， 设圆心坐标为， 又点在轴正半轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值， 设切点为，圆的半径为， 所以圆的方程为， 将点代入圆的方程，得， 解得或-5（舍去）， 所以P横坐标为3. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：当过点三点的圆与轴相切时，取得最大值，且圆心在线段的中垂线上，设出圆心和半径，表达出圆的方程，待定系数法进行求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为． （1）求的面积； （2）求斜边AB中点D的坐标． 【答案】（1）20（2） 【解析】 【分析】（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论； （2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标. 【详解】（1）顶点到斜边的距离为. 所以斜边， 故的面积为． （2）由题意知，，设直线方程为 点代入方程点， 所以直线的方程为， 由，解得， 所以点的坐标为． 【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且． (Ⅰ)求证：平面平面； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？ 【答案】（Ⅰ） 在中，. 四边形是平行四边形， 又， 又 平面又平面， 平面平面； （Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知条件得知，再利用勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面的判定定理可证明出结论； （Ⅱ）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算异面直线和所成角的余弦值； （Ⅲ）设，将向量的坐标用实数表示，求出平面的一个法向量，由题中条件得求出的值，于此可求出的长度． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）如图，过作的垂线，以点为原点建立空间直角坐标系,则 ,从而 , 异面直线与所成角的余弦值等于.； （Ⅲ）. 设则 取平面的一个法向量为， 记与平面所成的角为，则， ，解得，即 【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成的角以及直线与平面所成角的探索性问题，在求解空间角时，一般利用空间向量来进行求解，解题时注意将空间角转化为相应向量的夹角来计算，属于中等题． 18. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点． （1）求A点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，定值为5 【解析】 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【小问1详解】 设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 则，可得， 整理得曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：曲线是以为圆心，半径的圆，且直线的斜率存在， 设直线的方程为，，， 联立方程：，消去得：， 因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 则，解得， 又因为， 代入韦达得：， 所以是定值5. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？并求出最小值． 【答案】（1）因为三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC， 因为底面ABC，∴， ∵，，∴，又， 平面.∴平面. 所以BA，BC，两两垂直. 以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ∴，，，，，，，. 由题设. 因为，， 所以，所以. （2）当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可知，结合可证得平面，进而分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可证得. （2）方法一:求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夹角公式及二次函数的性质求解即可；方法二：分别求出的面积，记面与面DFE所成的二面角的大小为，代入及二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一: 设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即.令，则， 因为平面的法向量为，设平面与平面DEF的二面角的大小为， 则. 当时，取最小值为，此时取最大值为. 所以，此时. 方法二：如图，为中点，连接， 则，平面，， 在平面的投影为，记面与面DFE所成的二面角的大小为， 则，设，在中，. 在中，， 过D作的平行线交EN于点Q，又，则四边形为平行四边形， 在中，. 在中，由余弦定理得， ，， ，， ，， 当，即时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $