精品解析：内蒙古呼和浩特市第二中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学试卷

呼和浩特市第二中学高二年级2025—2026学年第二学期4月月考 数学试卷 考查知识范围：统计案例，数列 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 2. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（ ）（参考公式：，） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 121 B. 181 C. 211 D. 271 6. 已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 8. 《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为30 B. 当或时，取得最大值 C. 使成立的的最大值为10 D. 数列是递减数列 10. 下列关于回归分析的说法正确的是（ ） A. 相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D. 相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 11. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在正整数使得 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校调查学生参加体育锻炼与性别的关系，得到如下列联表（单位：人）： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 35 55 90 女生 65 45 110 合计 100 100 200 参照公式（其中），计算得______．（保留两位小数） 13. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分） 15. 某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 2 4 6 8 10 40 45 50 55 60 经计算：，，， （1）求关于的线性回归方程；（参考公式：，） （2）若明年计划投入宣传费12万元，预测年利润． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求，的值，并证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 17. 某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． （1）根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； （2）若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） （3）学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 18. 已知数列满足，． （1）求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 19. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设函数．若对任意，都有，求正整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第二中学高二年级2025—2026学年第二学期4月月考 数学试卷 考查知识范围：统计案例，数列 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布关于对称，因此， 又，所以, 所以. 2. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项化简可得，代入等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为成等比数列，所以， 则 化简得：， 因为，所以 3. 某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（ ）（参考公式：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知、、成等差数列，由此可解得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 121 B. 181 C. 211 D. 271 【答案】C 【解析】 【分析】对原递推公式两边同除以，从而构造等比数列{}，并求得其通项公式，即可计算. 【详解】，故可得； 令，则，， 故数列是首项，公比为的等比数列； 则，则， 故， 故. 6. 已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】等比数列的前项和， 当“”，若时，则， 因为，所以随着的增大而增大，随着的增大而减小， 又，所以随着的增大而减小， 即可得数列单调递减，因此充分性不一定成立； 当数列单调递增，若，，则， 因为，所以随着的增大而减小，随着的增大而增大； 又，，所以随着的增大而增大， 即数列单调递增，此时， 所以“数列单调递增”推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可. 【详解】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 8. 《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该女子每天的织布量形成一个等比数列，利用等比数列的前项和即可求解. 【详解】设女子第天织布尺，由于每天织布量是前一天的倍， 因此第天的织布量为尺，前天织布量的总和为尺， 由题意得， 要使织布总尺数达到尺，即， 代入得，所以最小的是， 因此该女子欲织满尺，则至少需要日，故C正确. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为30 B. 当或时，取得最大值 C. 使成立的的最大值为10 D. 数列是递减数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出的表达式，结合二次函数的知识即可逐项判断． 【详解】对于AB，前项和公式， 令，该二次函数对称轴为， 所以的最大值在和中的最大值取得， 又，， 当或时，取得最大值30，故AB正确； 对于C，，即，得， 又为正整数，故的最大值为10，故C正确； 对于D，结合对称轴，可知，在时单调递增，时单调递减， 因此先增后减，并非递减数列，故D错误． 10. 下列关于回归分析的说法正确的是（ ） A. 相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D. 相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：因为相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强，所以本选项说法不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，所以本选项说法正确； C：因为残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，所以本选项说法正确； D：因为相关系数表示两个变量正相关，表示负相关，所以本选项说法正确； 11. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在正整数使得 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出以及，利用作差法即可判断A，利用二项式定理可判断B，利用数列的单调性可判断CD. 【详解】由得，即， 所以，，， 对于A：，， ， 因为，，所以，即，故A正确； 对于B：令，若，则，设， 由二项式定理： ， 即对任意， 都有，故，不存在使得，故B错误； ​对于C：， 因为，单调递增， 时，，故，即； 时，，故，即从开始单调递减， 所有，因此最大项为，存在最大项，故C正确； 对于D：从开始单调递减，且等比数列是指数增长，远快于线性增长的， 当时，，没有下界，因此不存在最小项，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校调查学生参加体育锻炼与性别的关系，得到如下列联表（单位：人）： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 35 55 90 女生 65 45 110 合计 100 100 200 参照公式（其中），计算得______．（保留两位小数） 【答案】 【解析】 【详解】根据题意有：. 13. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】等差数列的通项公式为，则，. 等比数列的通项公式为，则，. 由题意知，，整理得，即， 所以或. 对于二次方程，，则此方程无实数解. 因此，所以. 故. 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后通过分析与的关系，判断数列的类型，进而求出其通项公式. 【详解】因为，为奇数， 根据，可得， 所以（因为为奇数）， 又因为（因为为偶数），所以， 所以，则，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式： 所以：. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分） 15. 某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 2 4 6 8 10 40 45 50 55 60 经计算：，，， （1）求关于的线性回归方程；（参考公式：，） （2）若明年计划投入宣传费12万元，预测年利润． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据，结合所给的公式进行求解即可； （2）利用代入法，结合（1）中的结论进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， 所以， 因此， 所以关于的线性回归方程； 【小问2详解】 把代入中，得， 所以预测明年利润为万元. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求，的值，并证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），，证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令和，可求，的值，利用​与的关系，构造的递推关系，验证等比数列定义； （2）利用等比数列的通项公式求解即可； （3）由（2）化简可得，利用等比数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得：， 当时，解得： 已知①， 当时，②， ①②得：， 整理得：， 变形为：， 即， 又，因此是首项为 2，公比为 2 的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，是首项，公比的等比数列， 所以， 因此， 【小问3详解】 由，可得， 因此是首项，公比的等比数列。 所以 17. 某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． （1）根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； （2）若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） （3）学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】（1）的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2）655（人） （3）115 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【小问1详解】  由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. 【小问2详解】 ，， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). 【小问3详解】 由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 18. 已知数列满足，． （1）求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1），，， （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知递推公式，代入，求出，，的值，然后根据等差数列的定义得出通项公式； （2）分奇偶讨论，并项求和；（3）先裂项求和求出，根据数列的单调性求出的最值，进而求出的最小值. 【小问1详解】 已知，， ，，， ， 因为，，所以. 则 ，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【小问2详解】 ， 为偶数时，， 为奇数时，， 所以. 【小问3详解】 ， ， 随着的增大，减小，增大，所以， 若对任意，不等式恒成立， 所以，实数的最小值为. 19. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设函数．若对任意，都有，求正整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断数列不是0数列，然后取倒数，构造等比数列，得到数列是等比数列，进而求得的通项公式； （2）结合（1）可得，利用分组求和，错位相减法求和； （3）由（1）得到，对于整理成，结合对勾函数的性质求不等式右边的最小值即可. 【小问1详解】 ，结合，则， 由可得，则， 由题知，，则是首项为，公比为的等比数列， 于是， 整理得 【小问2详解】 结合（1）可知，， 设， 则， 两式相减得到，， 即， 整理得， 又， 则 【小问3详解】 由（1）知，， 又，则， 整理得， 根据对勾函数的性质，在上单调递减， 则， 故为使恒成立， 只需， 则，当时取得等号， 又是正整数，则最大值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $