第5章《二次函数》章末测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第五章《二次函数》章末测试卷 (满分150分 时间120分钟) A卷(满分100分) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1.已知函数：①y=ax²;②y=3(x-1)²+2;③y=(x+3)²-2x²;④y= +x.其中，二次函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.抛物线 与y轴交点的坐标是 ( ) A.(3,1) B.(3,-1) C.(0,1) D.(0,19) 3.在二次函数 的图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则 ( ) A. m≠0 C. m=5 4.已知二次函数y=ax+bx+c(0≤x≤3)的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值 5.将二次函数 的右边进行配方，正确的结果是 ( 6.对于 的图象，下列叙述正确的是 A.顶点坐标为(-3,2) B.对称轴是直线 y=-3 C.当x≥3时，y的值随x值的增大而增大 D.当x≥3时，y的值随x值的增大而减小 7.如图是二次函数 的部分图象，若一元二次方程 有两个不相等的正根，则m的取值范围是( ) A.0<m<4 B.5<m<9 C. m≥9 D.-1<m<5 8.如图，抛物线 与x轴相交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴负半轴相交于点C,点 D在抛物线上，且直线CD∥x轴，则下列说法正确的是( ) A. a>0 B.线段CD的长为4 C.4a+2b+c<0 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题(每小题4分，共20分) 9.若函数 是二次函数，则m的值为 . 10.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线 与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 . 11.已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-3)，且过点(2，0)，则这个二次函数的解析式为 . 12.若二次函数 (k为常数)的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 . 13.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高 . 三、解答题(共48分) 14.(每小题6分,共12分) (1)通过配方将函数 写成 的形式，并写出顶点坐标与对称轴. (2)已知抛物线 经过点A(1,0),B(-1,0),C(0,-2),求此抛物线的函数表达式和顶点坐标. 15.(7分)如图,已知抛物线的顶点 D 的坐标为(1,-4),且与y轴交于点C(0,-3). (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. 16.(9分)如图，二次函数 的图象交x轴正半轴于A，B两点(点 A 在点B 的左边),交y轴于点C,连接AC,BC,已知OC=5. (1)求二次函数的表达式； (2)求△ABC的面积. 17.(9分)2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一.已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y(单位：辆)与销售单价x(单位：万元，且14≤x≤21)满足一次函数关系，部分数据如下表： x 16 17 18 19 20 y 30 27 24 21 18 (1)求y与x的函数关系式. (2)若商家购进这款汽车的单价为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大?并求出此时利润的最大值. 18.(11分)如图,已知抛物线 经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标. (2)观察图象： ①当0<x<3时，直接写出y的取值范围； ②P 为抛物线上一点，若S△ABP=24,求出此时点 P 的坐标. B卷(满分50分) 一、填空题(每小题4分，共20分) 19.已知函数 的图象如图所示，当-2≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n；则m-n的值是 . 20.如图，抛物线 与直线y=x交于点O 与点A，B为线段OA 上的动点，过点 B作BC平行于y轴，交抛物线于点 C，则线段 BC长的最大值为 . 21.如图，已知二次函数 与一次函数y=2x+1的图象相交于A，B两点，C是线段AB 上一动点，D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中，CD 的最大值为 . 22.当m≤x≤m+1时,函数 的最小值为2，则m的值为 . 23.如图，已知二次函数 (a,b,c是常数)的图象关于直线x=-1对称，则下列结论：①abc>0;②2a-b=0;③9a-3b+c>0;( (m为任意实数).其中正确的有 .(填序号) 二、解答题(共30分) 24.(8分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与用3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数关系式并求出y的最大值. 25.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线.y=-2x+8与抛物线 交于A,B两点，点B在x轴上，点A在y轴上. (1)求抛物线的函数表达式. (2)点C是直线AB 上方抛物线上一点，过点 C分别作x轴、y轴的平行线，交直线 AB 于点D,E. ①当 时，求点C的坐标； ②点M为线段DE 的中点，当点 C，M，O三点在同一直线上时，求 的值. 26.(12分)如图,抛物线 与x轴交于点A(-3,0)和点 B,与y轴交于点C(0,3),点D在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式. (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点 D 的坐标. (3)在直线BC上是否存在点 P，使△OPD是以PD 为斜边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. A卷 1. B 2. D 3. D 4. C 5. A 6. C 7. B 8. B 9.-1 10.1811. y=3x²-6x 12. k>- 13.8元或10元 14.(1)【解】 顶点坐标是(-2,4),对称轴是直线x=-2. (2)【解】把点 A(1,0),B(-1,0),C(0,-2)分别代入 得 解得 ∴二次函数的表达式为 ∴抛物线 的顶点坐标为(0,-2). 15.【解】(1)设抛物线的顶点式为 由题意可知,h=1,k=-4. 将点C(0,-3)代入式子,得-3=a-4,解得a=1. ∴抛物线的表达式为 (2)令y=0,即( 解得 ∴B(3,0),A(-1,0). 16.【解】(1)令x=0,则.y=-5a. 又∵OC=5,∴-5a=-5,解得a=1. ∴二次函数的表达式为 (2)由(1)，得抛物线的表达式为 令y=0,则( 解得x=1或x=5. ∴AB=5-1=4. 又OC= 17.【解】(1)设y与x的函数关系式为y= kx+b. 将点(16,30),(17,27)代人,得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-3x+78(14≤x≤21). (2)设利润为W 万元. 根据题意，得 114x-936=-3(x-19)²+147元. ∵-3<0,14≤x≤21, ∴当x=19时,W取最大值,最大值为147, 故当x为 19 时，总利润最大，利润的最大值为147万元. 18.【解】(1)∵抛物线 经过A(-1,0),B(3,0)两点, 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为(1,-4). ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∴当x<1时，y的值随x值的增大而减小，当x>1时，y的值随x值的增大而增大， ∴当0<x<3时,当x=1时,y有最小值为-4. 又∵当x=3时, 当x=0时,y= ∴当0<x<3时,y的取值范围为-4≤y<0. ②∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4. ∵抛物线顶点坐标为(1,-4),∴yp=12. 当 yp=12时, 解得 ∴点 P 的坐标为(-3,12)或(5,12). B卷 19.9 20. 21.2 22.3或-2 23.①②④ 24.【解】(1)设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a-20)元. 根据题意，得 解得a=50. 经检验，a=50是方程的解， 此时a-20=30, ∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元. (2)由题意,得当x=52时,每天可售出180盒,当猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)时，每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+ +1000. ∵-10<0,52≤x≤70, ∴当x=60时,y取最大值,最大值为1000,故y关于x 的函数关系式为 -35 000(52≤x≤70),y的最大值为 1000. 25.【解】(1)对于y=-2x+8,令x=0,则y=8,令y=0,则x=4. ∵直线 y=-2x+8与抛物线 交于A，B两点,点 B在x轴上,点 A在y轴上， ∴B(4,0),A(0,8). 将点B(4,0),A(0,8)代入抛物线 中，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为 (2)①∵C是直线AB 上方抛物线上一点,且 CD∥x轴,CE∥y轴, ∴△CDE∽△OBA, 设点 ,则E(t,-2t+8), ∵A(0,8),∴OA=8. 解得t=1或t=3.∴C(1,9)或C(3,5). ②由①知,∠DCE=90°. 又∵M为线段DE 的中点，C，M，O三点在同一直线上,∴DM=CM=EM,∴∠MDC=∠MCD,∠MCE=∠MEC. ∵CE ∥ y 轴, CD ∥x 轴, ∴ ∠MCE = ∠MOA,∠MEC= ∠MAO, ∠MDC = ∠MBO, ∠MCD=∠MOB, ∴∠MOA=∠MAO,∠MBO=∠MOB,∴AM=OM,BM=OM,∴AM=BM, ∴M是AB 的中点,∴M(2,4), ∴直线OM的函数表达式为y=2x. 由 解得 ∵C是直线AB上方抛物线上一点，∴点C的横坐标为2 故 的值为 26.【解】(1)把A(-3,0),C(0,3)代入. c,得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)如图1,过点 D作DK ∥y轴交AC于点K. 由A(-3,0),C(0,3),得直线 AC的解析式为y=x+3. 设. ,则K(t,t+3), ∵△ACD的面积为 即 解得t=-1或t=-2, ∴点 D 的坐标为(-1,4)或(-2,3). (3)在直线 BC上存在点 P,使△OPD是以PD 为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在 中,令y=0得 解得x=-3或x=1,∴A(-3,0),B(1,0). 由 B(1,0),C(0,3),得直线 BC的解析式为y=-3x+3, 设P(m,-3m+3),D(n,-n²-2n+3). 过点 P 作 PN⊥y轴于点 N,过点 D作 DM⊥y轴于点M. ①∵OA=OC=3, ∴当P与C 重合,D与A 重合时(如图2),△OPD 是等腰直角三角形， 此时P(0,3). ②如图3，当点 P 在第一象限，点D在第四象限时， ∵△OPD是以PD 为斜边的等腰直角三角形， ∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. 又∵∠DMO=∠PNO=90°, ∴△DOM≌△OPN(AAS),∴DM=ON,OM=PN, 解得 (n 小于 0, 舍去)或(一) ∴点 P 的坐标为 ③如图4，当点 P 在第四象限，点D在第三象限时， ∵△OPD是以PD 为斜边的等腰直角三角形， ∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. 又∵∠DMO=∠PNO=90°, ∴△DOM≌△OPN(AAS),∴OM=PN,DM=ON. 同理可得， 解得 (n大于 0,舍去). ∴点 P 的坐标为 ④如图5，当P在第四象限，点D在第一象限时， ∵△OPD是以PD 为斜边的等腰直角三角形， ∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. 又∵∠DMO=∠PNO=90°, ∴△DOM≌△OPN(AAS),∴OM=PN,DM=ON, 解得 (舍去)或 ∴点 P 的坐标为 综上 所 述,点P 的 坐 标 为 (0,3)或 或 或 学科网（北京）股份有限公司 $