第一章特殊平行四边形 单元进阶卷 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

单元进阶卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．互相垂直且相等 2．菱形 ABCD 的两条对角线 ，，则菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．菱形 ABCD 的边长为 ，一条对角线的长为 ，则菱形的高为（　　） A． B． C． D． 4．在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 ，连接 AF，CE，AC，EF．给出下列结论：①四边形 AECF 是平行四边形；②若 ，则四边形 AECF 是菱形；③若 ，则四边形 AECF 是矩形；④若四边形 AECF 是正方形，则 ．其中正确结论有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的长恰好是边 AB 的 倍，若 ，则 BC 的长为（　　） A． B． C． D． 6．在矩形 ABCD 中，，，DE 平分 交对角线 AC 于点 E，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 x 轴正半轴上，，，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 ，，将正方形绕点 C 按逆时针方向 旋转 ，点 A，B 的对应点分别为 E，F，则点 E 的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形 ABCD 中，，E 为边 BC 的中点，P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 M，N 是对角线 BD 上的两点，且 ，连接 AM，CN，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 交 BC 于点 E．若 ，，则 EC 的长为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 ， 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标是______． 13．如图，在矩形 ABCD 中，，点 E 是边 AD 上一点，连接 BE，CE，且 ，，则矩形 ABCD 的面积为______． 14．如图，在菱形 ABCD 中，，，E 是边 BC 的中点，连接 AE，则 AE 的长为______． 15．如图，在矩形纸片 ABCD 中，，，将矩形沿 AM 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 E 处，则折痕 AM 的长为______． 16．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 上一动点，将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点为 F，连接 FC，则 FC 的最小值为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 C 作 ，过点 B 作 ，CE 与 BE 相交于点 E． (1) 求证：四边形 OBEC 是矩形； (2) 若 ，，求四边形 OBEC 的面积． 18．（6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是边 BC，DC 的延长线上的点，且 ，连接 AE，AF． (1) 求证：； (2) 求证：． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，垂足为 O，连接 AF，CE． (1) 求证：四边形 AFCE 是菱形； (2) 若 ，，求菱形 AFCE 的边长． 20．（6 分）如图，在 中，AD 平分 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E， 交 AB 于点 F． (1) 求证：四边形 AEDF 是菱形； (2) 若 ，四边形 AEDF 的面积为 ，求点 D 到 AB 的距离． 21．（6 分）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．如图1，在菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，连接 EB，EC，则折线 BEC 叫做菱形 ABCD 的折中线．已知在菱形 ABCD 中，，，E 是边 AD 的中点，连接 EB，EC． (1) 如图1，折中线 BEC 将菱形 ABCD 的面积分为三部分，直接写出 ，， 的面积之比； (2) 如图2，求折中线 BEC 的长． 22．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，，，将菱形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 ，点 B 的对应点恰好与点 D 重合，点 C，D 的对应点分别为 F，G，连接 AC，AF，CF． (1) 求证： 是等边三角形； (2) 求线段 CF 的长． 23．（8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 ，连接 AE，BF 交于点 G，连接 CG． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 若 ，，求 BG 的长． 24．（8 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 上一动点，连接 AE，过点 D 作 于点 F． (1) 求证：； (2) 当点 E 为 BC 的中点时，求 DF 的长； (3) 连接 DE，当 的值最小时，求 BE 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元进阶卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．互相垂直且相等 【答案】 D 【解析】 设原四边形 ABCD 各边中点依次为 E，F，G，H，由三角形中位线定理， 且 ， 且 ； 中点四边形 EFGH 是正方形，所以 且 ； 所以 且 ，即原四边形的两条对角线互相垂直且相等．选 D． 【解题提示】中点四边形的边平行于原四边形的对角线且等于其一半，正方形的「边等且角直」对应回对角线的「等且垂直」． 2．菱形 ABCD 的两条对角线 ，，则菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 设 AC 与 BD 交于点 O．菱形的对角线互相垂直平分， 所以 ，，； 在 中，．选 C． 【解题提示】菱形半对角线 3、4 与边长构成勾股数． 3．菱形 ABCD 的边长为 ，一条对角线的长为 ，则菱形的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 设对角线 AC，BD 交于点 O，，则 ； 菱形的对角线互相垂直平分，在 中，，所以 ； 菱形面积为 ； 设菱形的高为 h，由 得 ．选 A． 【解题提示】半对角线勾股出另一条对角线，面积两用：对角线乘积的一半 = 底乘高． 4．在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 ，连接 AF，CE，AC，EF．给出下列结论：①四边形 AECF 是平行四边形；②若 ，则四边形 AECF 是菱形；③若 ，则四边形 AECF 是矩形；④若四边形 AECF 是正方形，则 ．其中正确结论有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 C 【解析】 由 且 ，，得 且 ，所以四边形 AECF 是平行四边形，①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，②正确； 仅由 不能得出 四边形 AECF 的角是直角，③错误； 四边形 AECF 是正方形则必是矩形，矩形的对角线相等，即 ，④正确； 综上，正确的有 3 个．选 C． 【解题提示】先证平行四边形「底座」，再按菱形、矩形、正方形各自的判定条件逐级加码． 5．在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的长恰好是边 AB 的 倍，若 ，则 BC 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由题意 ； 矩形的四个角都是直角，所以 是直角三角形，； 由勾股定理，．选 B． 【解题提示】矩形藏直角，「对角线是边的 2 倍」直接进勾股． 6．在矩形 ABCD 中，，，DE 平分 交对角线 AC 于点 E，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 过点 E 作 于 M， 于 N，由 DE 平分 得 ，四边形 DEMN 是正方形； 设 ，由 得 ，所以 ，即 ，解得 ； 所以 ，； 由 得 ．选 B． 【解题提示】角平分线出等距，作双垂线后用相似把比转成方程． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 x 轴正半轴上，，，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 菱形的四条边相等，所以 ； 过点 C 作 轴于点 H，在 中，，所以 ； 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，； 由勾股定理 ； 所以点 C 的坐标为 ．选 B． 【解题提示】菱形边等加 60° 角，转化为含 30° 角的直角三角形． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 ，，将正方形绕点 C 按逆时针方向 旋转 ，点 A，B 的对应点分别为 E，F，则点 E 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由 ， 知正方形边长为 2，，； 旋转前后对应线段相等、对应角相等，，且 ；CB 竖直向下，逆时针旋转 后 CF 水平向右，所以 ； 同理 且旋转后点 D 的对应点恰与点 B 重合，四边形 BCFE 是边长为 2 的正方形； 所以点 E 的坐标为 ．选 A． 【解题提示】水平竖直方向的边旋转 90° 后仍落在水平竖直方向，逐边追踪即可． 9．如图，在正方形 ABCD 中，，E 为边 BC 的中点，P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 连接 AP．因为 BD 是正方形 ABCD 的对角线，点 A 与点 C 关于直线 BD 对称，所以 ； 所以 ，当 A，P，E 三点共线时取等号； E 为 BC 的中点，； 在 中，； 所以 的最小值为 ．选 D． 【解题提示】将军饮马：利用对称轴把折线化为直线段． 10．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 M，N 是对角线 BD 上的两点，且 ，连接 AM，CN，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CM．菱形的对角线互相垂直平分，点 A 与点 C 关于直线 BD 对称，所以 ； 过点 C 作 ，且 ，连接 EN，则四边形 CMNE 是平行四边形，所以 ； 所以 ，当 A，M，E 三点共线时取等号； 菱形中 ，，所以 是等边三角形，，，； 又 ，，所以 ； 在 中，．选 A． 【解题提示】对称加平移：把两条分散的线段拼成一条折线，再用两点之间线段最短收尾． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 交 BC 于点 E．若 ，，则 EC 的长为______． 【答案】 【解析】 平行四边形中 ，所以 ； 又 AE 平分 ，所以 ，； 所以 ． 【解题提示】角平分线加平行线出等腰三角形． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 ， 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标是______． 【答案】 【解析】 过点 C 作 轴于点 E； 正方形中 ，，所以 ；又 ，所以 ； 又 ，，所以 ； 所以 ，，； 所以点 C 的坐标为 ． 【解题提示】一线三垂直：过正方形顶点向坐标轴作垂线构造全等． 13．如图，在矩形 ABCD 中，，点 E 是边 AD 上一点，连接 BE，CE，且 ，，则矩形 ABCD 的面积为______． 【答案】 【解析】 矩形中 ，，又 ，所以 ，； 因为 ，，所以 是等腰直角三角形， 为斜边，，即 ，； 在 中，，； 所以矩形 ABCD 的面积为 ． 【解题提示】等腰定中点，等腰直角定斜边关系，两段勾股收尾． 14．如图，在菱形 ABCD 中，，，E 是边 BC 的中点，连接 AE，则 AE 的长为______． 【答案】 【解析】 过点 A 作 ，交 CB 的延长线于点 F； 因为 ，所以 ，； 在 中，，； E 是 BC 的中点，，所以 ； 在 中，． 【解题提示】120° 外角补出 60°，作高构造含 30° 角的直角三角形． 15．如图，在矩形纸片 ABCD 中，，，将矩形沿 AM 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 E 处，则折痕 AM 的长为______． 【答案】 【解析】 矩形中 ，，由勾股定理得 ； 由折叠的性质，，，，所以 ； 设 ，则 ，； 在 中，，即 ，解得 ； 在 中，． 【解题提示】折叠等边等角加勾股方程，先求 BM 再求折痕 AM． 16．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 上一动点，将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点为 F，连接 FC，则 FC 的最小值为______． 【答案】 【解析】 由折叠的性质，，所以点 F 在以点 A 为圆心、4 为半径的圆弧上运动； 连接 AC，则 ，当点 F 落在线段 AC 上时取等号； 正方形中 ； 所以 FC 的最小值为 ． 【解题提示】折叠保距定圆弧轨迹，圆外一点到圆上距离最小转化为「距离减半径」． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 C 作 ，过点 B 作 ，CE 与 BE 相交于点 E． (1) 求证：四边形 OBEC 是矩形； (2) 若 ，，求四边形 OBEC 的面积． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为 ，，所以四边形 OBEC 是平行四边形； 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ，即 ； 所以平行四边形 OBEC 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； (2) 因为四边形 ABCD 是菱形，，， 所以 ，； 所以矩形 OBEC 的面积为 ． 【解题提示】两组对边分别平行出平行四边形，菱形对角线垂直出直角． 18．（6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是边 BC，DC 的延长线上的点，且 ，连接 AE，AF． (1) 求证：； (2) 求证：． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ，； 所以 ； 又 ，所以 ，所以 ； (2) 由 (1) 知 ，所以 ； 所以 ； 即 ． 【解题提示】正方形边等角直开全等，转角用「等量代换」凑出 90°． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，垂足为 O，连接 AF，CE． (1) 求证：四边形 AFCE 是菱形； (2) 若 ，，求菱形 AFCE 的边长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为 EF 垂直平分 AC，所以 ，； 因为四边形 ABCD 是矩形，，所以 ，； 所以 ，； 所以四边形 AFCE 是平行四边形（对角线互相平分）； 又 ，所以平行四边形 AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； (2) 由 (1) 知 ．设 ，则 ，； 在 中，，即 ，解得 ； 所以菱形 AFCE 的边长为 ． 【解题提示】垂直平分线出对角线互垂互平，菱形边长交给勾股方程． 20．（6 分）如图，在 中，AD 平分 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E， 交 AB 于点 F． (1) 求证：四边形 AEDF 是菱形； (2) 若 ，四边形 AEDF 的面积为 ，求点 D 到 AB 的距离． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为 ，，所以四边形 AEDF 是平行四边形； 因为 ，所以 ； 又 AD 平分 ，所以 ，； 所以平行四边形 AEDF 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； (2) 由 (1) 知菱形 AEDF 的边长 ； 以 AF 为底边，点 D 到 AB 的距离即为该底边上的高 h； 由 ，得 ； 所以点 D 到 AB 的距离为 ． 【解题提示】双平行出平行四边形，角平分线加平行线出邻边相等；面积除以底边即得高． 21．（6 分）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．如图1，在菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，连接 EB，EC，则折线 BEC 叫做菱形 ABCD 的折中线．已知在菱形 ABCD 中，，，E 是边 AD 的中点，连接 EB，EC． (1) 如图1，折中线 BEC 将菱形 ABCD 的面积分为三部分，直接写出 ，， 的面积之比； (2) 如图2，求折中线 BEC 的长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 设菱形 ABCD 中 AD 边上的高为 h； 因为 E 是 AD 的中点，， 所以 ，同理 ； 又 ，所以 ； 所以 ； (2) 连接 BD．因为四边形 ABCD 是菱形，，， 所以 是等边三角形，； 因为 E 是 AD 的中点，所以 ，； 因为 ，所以 ，即 ； 在 中，； 所以折中线 BEC 的长为 ． 【解题提示】新定义先翻译成「中点加连线」；等边三角形三线合一出垂直，折线两段各用勾股． 22．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，，，将菱形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 ，点 B 的对应点恰好与点 D 重合，点 C，D 的对应点分别为 F，G，连接 AC，AF，CF． (1) 求证： 是等边三角形； (2) 求线段 CF 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 由旋转的性质，，旋转角 ； 所以 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）； (2) 设 AC 与 BD 交于点 O． 菱形 ABCD 中 ，， 所以 是等边三角形，，； 菱形的对角线互相垂直平分，在 中，， 所以 ； 由 (1) 知 是等边三角形，所以 ． 【解题提示】旋转保距加 60° 转角出等边；菱形 60° 内角拆成等边三角形求对角线． 23．（8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 ，连接 AE，BF 交于点 G，连接 CG． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 若 ，，求 BG 的长． 【答案】 (3) 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ，； 又 ，所以 ，所以 ； (2) 由 (1) 知 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 在 中，，即 ； (3) 在 中，，， ； 由 (2) 知 ，所以 ； 所以 ． 【解题提示】正方形十字模型：全等出等线，转角出垂直，等面积法出斜边上的高． 24．（8 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 上一动点，连接 AE，过点 D 作 于点 F． (1) 求证：； (2) 当点 E 为 BC 的中点时，求 DF 的长； (3) 连接 DE，当 的值最小时，求 BE 的长． 【答案】 (1) 见解析；(2) ；(3) 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ，即 ； 又 ，所以 ，在 中 ； 而 ，所以 （同角的余角相等）； (2) 当 E 为 BC 的中点时，； 在 中，； 因为 ，且 ，所以点 E 到直线 AD 的距离等于 ； 所以 ； 又 ，所以 ； 所以 ； (3) 作点 A 关于直线 BC 的对称点 A'，连接 A'E，A'D； 则 ，所以 ，当 A'，E，D 三点共线时取等号，此时点 E 为 A'D 与 BC 的交点； 由对称性 ，且 ；又 ，（对顶角）， 所以 ，所以 ． 【解题提示】第(1)问用「同角的余角相等」证角相等，；第(2)问用等面积法由 反解 ；第(3)问是将军饮马，作对称点拉直折线，再用 AAS 全等求分点． 学科网（北京）股份有限公司 $