精品解析：天津市南开中学2026-2027学年九年级上学期阶段性诊断练习数学试卷（9月份）

2026-2027学年天津市南开中学九年级（上）阶段性诊断练习数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 5. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（     ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 8. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ） A. 3m B. m C. 4m D. 9m 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则______  ． 14. 二次函数的对称轴是___________． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 16. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是______． 17. 如图为二次函数的图象，结合图象回答下列问题： （1）方程的解为______  ，______  ； （2）当时，的取值范围为______  ； （3）当时，的取值范围是______  ． 18. 二次函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；⑤．其中正确的结论有_________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少 （1）填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 四、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 21. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出当时，函数值的取值范围． 22. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年天津市南开中学九年级（上）阶段性诊断练习数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2）进行判断即可． 【详解】解：选项A：是一元一次方程，不符合题意； 选项B：，可化为，是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； 选项C：，不是整式方程（分母含未知数），不是一元二次方程，不符合题意； 选项D：，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得． 3. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于是解决此题的关键． 先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：将变形为 根据根与系数的关系：， 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况． 【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2， ∵（k-1）2≥0， 即△≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由单循环赛问题的解法，找准等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解：设应邀请个队参赛，则每支球队都需要与其他球队赛场，结合2队之间只有1场比赛，可列方程为． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对A、C、D进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断即可求解． 【详解】A、a＝2，则抛物线y＝2x2−3的开口向上，所以A选项错误； B、当x＝2时，y＝2×4−3＝5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误； C、抛物线的对称轴为直线x＝0，所以C选项错误； D、当x＝0时，y的最小值是，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知y=ax2+k的性质． 8. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，解题的关键在于从图象中获取正确的信息．由图象可知，，，，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．图象与轴有两个交点，则，故符合题意； B．由题意得，，则，且，可得，故不符合题意； C． 由题意得，，则，，且，可得，故不符合题意； D．由题意得对称轴，故，故不符合题意； 故选：A． 10. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ） A. 3m B. m C. 4m D. 9m 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：由已知知： 点的横坐标为. 把代入 得 即水面离桥顶的高度为 故选D. 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则______  ． 【答案】 【解析】 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 14. 二次函数的对称轴是___________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 16. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 17. 如图为二次函数的图象，结合图象回答下列问题： （1）方程的解为______  ，______  ； （2）当时，的取值范围为______  ； （3）当时，的取值范围是______  ． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）先解方程得，，即或时，函数值为，然后结合函数图象写出时，的取值范围； （3）利用配方法得到顶点式为，则当时，有最大值，再计算出时，；时，，然后结合函数图象和二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】解：（1） 即 或 ，； （2）当时，， 解得，， 当时，的取值范围为； （3）， 当时，有最大值，最大值为， 时，；时，， 当时，的取值范围是． 18. 二次函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；⑤．其中正确的结论有_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据二次函数经过点和对称轴为直线，可推导出a、b、c的符号和关系，进而判断各结论的正误． 【详解】解：对于二次函数图象与x轴的一个交点坐标为， ，故③正确； 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故②不正确； ， 抛物线开口向上， ， ， ∵二次函数对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线与x轴的两个交点在y轴两侧，开口向上， 抛物线与y轴的负半轴相交， ， ，故①正确； 二次函数图象与x轴交点坐标为和， 关于x的一元二次方程的两根分别为和1，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y有最小值， 当时，函数值， ， 当时，，说法⑤没有说明，故⑤说法不正确． 综上，①③④说法正确． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少 （1）填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），， （2）当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元 【解析】 【分析】（1）根据利润售价成本；月销售量原来的销售量减少的数量；总利润单个利润总数量进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论将二次函数配方成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润为元，月销售量可以表示为， ∴月销售利润y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：， ， 当时，y最大为，此时的销售价（元）， 当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元． 四、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用解一元二次方程：直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程：因式分解法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： 移项得：， 两边直接开方得：， 解得： 【小问2详解】 解： 解得： 【点睛】本题考查了解一元二次方程一直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 21. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 22. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+， ∴S△APC=PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=， ∴P（，）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=． ∴直线DN′的解析式为y=﹣x+． 当x=3时，n=+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $