精品解析：天津市南开中学2025-2026学年上学期九年级数学第二次月考试卷

南开中学2025～2026学年度第一学期数学学科阶段监测 考试时间：100分钟；考试分满分：120分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是，是不可能事件； B、画一个三角形，其内角和为，是必然事件； C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件； D、从装满红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件； 故选：C． 3. 如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 4. 某市2021年年底有用户20万户，计划到2023年年底全市用户数达到万户．设全市用户数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全市用户数的年平均增长率为x，根据该市2021年年底有用户20万户，计划到2023年年底全市用户达到万户，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设全市用户数的年平均增长率为x， 依题意，得：， 故选：B 5. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 6. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴∠ODC=∠A=∠OFA=90°， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为2． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ） A. 30° B. 36° C. 54° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】是的直径，五边形是的内接正五边形， ，，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数)的图像是双曲线，当时，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数图像的性质解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象在二、四象限上，且在每一个象限y随x的增大而增大， ∴在第二象限，即； 在第四象限，且y随x的增大而增大，， ∴． 故选B． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出是等边三角形是解题的关键． 10. 如图，为半圆的直径，点为上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为半圆的直径得，即得，进而由角平分线可得，得到，即得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 又由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，可得，，进而求得，判定，即可求得，进而求解； 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 又， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 故选项A一定正确， 由已知条件无法一定得出B、C、D正确， 故选：A 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 13. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】用列举法列出全部的等可能结果，共有3种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：随机地抽取一张卡片有，，共有种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的结果有种， 抽取的卡片数字是负数的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能的结果，并且根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解是解决本题的关键． 14. 如图，，交于点E，，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若的面积为5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，根据点在反比例函数的图象上，轴于，由反比例函数比例系数的几何意义得，然后根据的面积为可得出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴； 连接， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在边长为7的正方形中，点，分别是，的中点，与交于点，则的长度为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过点 D 作 交​的延长线于点 G，过点 C 作 ，交的延长线 于点 H，利用正方形性质得出长相等，角相等，通过三角形全等：  ，得出 和 ，再证四边形  是矩形 ，和，求得和，最后在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：过点 D 作 交​的延长线于点 G，过点C作，交的延长线 于点 H，则， 在正方形中，，， 在中，， 在中，， 分别是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是矩形， , ， ，即， ， ，即， ， 又， ， ，即， 解得，， ， 在中，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了正方形的性质 ，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线，通过相似三角形相似判定和性质和矩形的性质求线段的长是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点． （1）__________； （2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 ①. ②. 取与网格线的交点G、H，连接交于点O，根据可知为的直径，则点O为圆的圆心， 连接并延长交于点E，延长，与网格线交于点F，结合网格图可知，连接，交于点M，点即为所求 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可得到答案； （2）取与网格线的交点G、H，连接交于点O，根据可知为的直径，则点O为圆的圆心， 连接并延长交于点E，延长，与网格线交于点F，结合网格图可知，连接，交于点M，点即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）如图所示： 取与网格线的交点G、H，连接交于点O，根据可知为的直径，则点O为圆的圆心， 连接并延长交于点E，延长，与网格线交于点F，结合网格图可知，连接，交于点M，点即为所求． 证明：连接， 结合网格图可知，可得为的中位线，即有；根据可得，即有，进而可证明，再证明，即可得，问题得证． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作切线，圆周角定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键． 三、解答题 19. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】（1） （2）两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20. 已知：如图，是上一点，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明： ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由两直线平行内错角相等可得，再结合已知条件，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得，据此即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵ ， ∴， 即：， ∴． 21. 已知：正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是2， （1）当时，求反比例函数的值； （2）当时，反比例函数的取值范围是______； （3）当正比例函数值大于反比例函数值时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由已知一个交点的纵坐标，利用点在直线上的坐标特征可求得此点的横坐标，从而得该点的坐标，则可求得反比例函数的解析式，进而求得当时的反比例函数值； （2）分及，利用反比例函数的增减性即可求得函数值的取值范围； （3）利用对称性可求得点B的坐标，借助图像可求得结果． 【小问1详解】 解：由图像知，点A的纵坐标为2， 点A在直线上， ， ， 点在反比例函数的图像上， 即反比例函数的解析式， 则当时，； 【小问2详解】 解：当时，函数值y随自变量x的增大而减小， 当时，， ； 当，函数值y随自变量x的增大而减小， 当时，， ； 则当时，反比例函数的取值范围是或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：、两点关于原点对称性， 点B的坐标为， 当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图像位于反比例函数的图像上方，观察图像知：或； 即的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求反比例函数解析式及求反比例函数的函数值、函数值的取值范围，反比例函数的图像与性质，点在函数图像上的坐标特征等知识，注意数形结合思想的运用．其中反比例函数的图像与性质是关键． 22. 如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点，，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解； （）连接，证明可得，由垂径定理得，在中由勾股定理得，得到，即得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵于点， ， 又， ， ， ， 是的切线，点是切点， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， （）， ， 是的直径，于点，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【解析】 【分析】任务一：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】任务一： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 碗体的抛物线解析式为； 任务二： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG． （Ⅰ）如图①，求OD的长及的值； （Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′． ①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小； ②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣） 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°, BG′=2AB,可知sin∠AG′B=,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大. 【详解】（Ⅰ）如图1中， ∵A（0，1）， ∴OA=1， ∵四边形OADC是正方形， ∴∠OAD=90°，AD=OA=1， ∴OD=AC==， ∴AB=BC=BD=BO=， ∵BD=DG， ∴BG=， ∴==． （Ⅱ）①如图2中， ∵∠BAG′=90°，BG′=2AB， ∴sin∠AG′B==， ∴∠AG′B=30°， ∴∠ABG′=60°， ∴∠DBG′=30°， ∴旋转角α=30°， 根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°， 综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°． ②如图3中，连接OF， ∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为 ∴BF′=2， ∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2， 此时α=315°，F′（+，﹣） 【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； （3）若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；B（3，0）； （2）E（1，）； （3）①；②P（2，3），最小值为 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，把A（-1，0）代入，解得a=-1，求得抛物线的解析式及点B坐标； （2）连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小，先求得直线BH解析式为，再把x=1代入解得y=，得到点E坐标； （3）①设对称轴上点F（1，1），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，根据得，又得到，整理得到，由任意一点P（m，n），与n无关得到，求出t的值，得到点F的坐标； ②根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点D（1，4），与x轴交于点A（-1，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4， 把A（-1，0）代入，解得a=-1， ∴y=-（x-1）2+4， ∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3， 令y=0，可得-（x-1）2+4=0，解得x1 =-1，x2 =3， ∴B（3，0）； 【小问2详解】 如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小， 设直线BH解析式为y=kx+b，把B（3，0），H（0，）代入， 解得k=，b=， ∴直线BH解析式为， 把x=1代入解得y=， ∴E（1，）； 【小问3详解】 ①如图②，设对称轴上点F（1，t），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN， ，， ，， ， ， ， ∵抛物线上任意一点P（m，n）， ， ， ， ， 整理可得：， ∵任意一点P（m，n），与n无关.， ， ， ； ②：如图③， ∵抛物线上任意一点P（m，n）满足PF=PN， ∴FP +GP = PN +GP. 根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， ∵G（2，0）， ∴把x=2代入y=-x2+2x+3. 解得y=3. ∴当P（2，3）此时FP+GP的值最小，最小值为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、两点间距离公式、以及线段和最小问题，表示出PN和PF的长度，并进行整体变形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $