精品解析：河南省新乡市第一中学少儿班2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

新乡一中少儿班八上第一次月考 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键. 由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 2. 二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（ ） A. 2，4 B. 2， C. ，4 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵ 图象经过点和， ∴ 代入解析式 得， ， 解得 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 3. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 4. 小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ） 0.56 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0， 方程的一个近似根为：． 故选：C． 5. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得． 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 7. 若二次函数的图象经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由两点横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征，得二次函数对称轴为y轴，结合二次项系数不为0求解． 【详解】解：∵二次函数图象过点与， ∴其对称轴为直线，即对称轴为y轴， ∴， ∴， 解得或， ∴． 8. 若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点的横坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是． 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 【详解】解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 10. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 若函数是一次函数，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，需满足的次数为，且一次项系数不为，列条件求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得或， ∵一次项系数不为，即，得， ∴的值为． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 【答案】 三 【解析】 【分析】提取一次函数的系数和常数项，根据系数符号判断图象经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、二、四象限． ∴ 图象不经过第三象限． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图像与不等式的关系，熟练掌握“抛物线在直线上方时对应的x取值范围即为不等式的解集”是解题的关键． 将不等式变形为抛物线表达式大于直线表达式的形式，结合图像中抛物线在直线上方的x取值范围求解． 【详解】解：∵不等式可变形为，抛物线与直线的交点为、， 从图像可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为： 14. 已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给二次函数解析式，得出抛物线的开口向上，且对称轴为直线，进而得出抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大，据此可解决问题． 【详解】解∶ 二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线． 距离对称轴越远，函数值越大． ， ，，，即点距离对称轴两个单位长度，B点距离对称轴一个单位长度，C点距离对称轴四个单位长度． ． 故答案为：． 15. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数）；其中正确的序号是________． 【答案】 ①② 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不全大于0， ∴当时，不全大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的有①②. 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 【答案】（1）且． （2），． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵   ， ∴  ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； 【小问2详解】 当时，原方程为，  ∴ ，  ，  ，  ， ∴ ，． 17. 已知二次函数，其中自变量的取值范围为，求的取值范围． 【答案】的取值范围是 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向下， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：． 18. 按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． （1）抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； （2）抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； （3）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入，计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴． 19. 二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有一正一负两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）方程的两个根为 ， （2）不等式的解集为  （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，所以直接读取图象与x轴交点的横坐标即可． （2）不等式的解集对应二次函数图象在x轴下方部分的x的取值范围，因为抛物线开口向上，所以取两个交点之间的区间． （3）方程的根是二次函数与直线交点的横坐标，若要有一正一负两个不相等的实根，那么直线需和抛物线有两个交点，且两个交点分别在y轴两侧，结合图象中抛物线与y轴交点的纵坐标以及顶点纵坐标确定k的范围． 【小问1详解】 解： 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的实数根． 从图中可以直接读出抛物线与 轴交于  和 ， ∴方程的两个根为 ，． 【小问2详解】 解：不等式的几何意义是：找函数值对应的的范围。 图中抛物线开口向上，在两个与轴交点之间的部分图象位于轴下方（即）， ∴解集是． 【小问3详解】 解：方程可变形为，它的实根的几何意义是抛物线与直线的交点横坐标： 从图中可得抛物线与轴交于，顶点纵坐标为，且对称轴为； 要求方程的两个根一正一负， 即抛物线和直线的两个交点的横坐标一个为正、一个为负： 结合图象，当直线位于点上方时，直线和抛物线的左交点横坐标小于0、右交点横坐标大于0，同时保证有两个不相等的实根； 因此的取值范围是． 20. 如图，抛物线其中为常数且经过点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形面积，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点和，设抛物线的解析式为，再把点坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点D，交于点E．设点P的坐标为，则点E的坐标为，则，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意知抛物线与轴的交点为和， ∴设抛物线的函数解析式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E． 设直线的解析式为．将代入，得 解得 直线的解析式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ． ，开口向下 当时，有最大值，此时点P的坐标为． 故答案为： ． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】（1） 证明：二次函数的图象经过点， ， ； （2）①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 22. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【答案】（1） （2）鸡场的长与宽分别为16米、10米； （3）鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ 【小问2详解】 令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； 【小问3详解】 对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 23. 项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“帮小明妈妈选择更合适的手机资费套餐”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 元 分钟 元/ 元/分钟 B 元 分钟 元/ 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究每月手机资费与流量的关系： ①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是___________元； ②根据函数的概念，综合实践小组首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：表示问题中的___________，表示问题中的___________，并求出A套餐和B套餐分别对应的函数解析式 （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐所对应函数的图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3） 应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出套餐选用建议． 【答案】（1）①180；②每月手机流量，每月手机资费；； （2） （3）解：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐． 【解析】 【分析】（1）①用月费流量超出费计算即可；②根据表格提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据函数解析式画图即可； （3）结合函数图象提出建议即可． 【小问1详解】 解：①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用套餐，这个月她的手机资费是（元）； ②表示问题中的每月手机流量，表示问题中的每月手机资费， 当时，；当时，； 则； 当时，；当时，， 则； 【小问2详解】 解：当时，；当时，； 当时，；当时，； 函数图象如答图； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡一中少儿班八上第一次月考 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. 5 C. 3 D. 2. 二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（ ） A. 2，4 B. 2， C. ，4 D. ， 3. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 4. 小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ） 0.56 A. B. C. D. 5. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 7. 若二次函数的图象经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 10. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 若函数是一次函数，则m的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 14. 已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为___________． 15. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数）；其中正确的序号是________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 17. 已知二次函数，其中自变量的取值范围为，求的取值范围． 18. 按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． （1）抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； （2）抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； （3）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 19. 二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有一正一负两个不相等的实数根，求的取值范围． 20. 如图，抛物线其中为常数且经过点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 22. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 23. 项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“帮小明妈妈选择更合适的手机资费套餐”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 元 分钟 元/ 元/分钟 B 元 分钟 元/ 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究每月手机资费与流量的关系： ①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是___________元； ②根据函数的概念，综合实践小组首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：表示问题中的___________，表示问题中的___________，并求出A套餐和B套餐分别对应的函数解析式 （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐所对应函数的图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3） 应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出套餐选用建议． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $