北京市海淀区中国人民大学附属中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习2参考答案 一、选择题（共16分，每题2分） 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B B D 0 二、填空题（共16分，每题2分) 9.（-2,-3),10.-2:1.-1;12.4<h<h: 25 13.12;14.20:15.8 16.-1<t<0或2<t<3.(答对其中一段，且无错误答案，给1分) 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25 题7分，第26题6分，第27-28题，每题7分) 17.解：x2-4x=5 x2-4x+4=5+4...... …1分 (x-2)}=9 …2分 x-2=3 …3分 x1=5x2=-1 …5分 18。(1):AP绕点A顺时针旋转60°得到线段A迴 ·∠PAQ=60°且AP=AQ …1分 :△ABC为等边三角形 ∴.∠BAC=60°且AB=AC 又∠PAQ=∠PAB+∠QAB,∠BAC=∠PAB+∠PAC LQAB=∠PAC. …2分 .△PAC≌△QAB(SAS) .CP=BQ.… …3分 (2)24+9V3 …5分 19.m是方程x2+x-5=0的个根m2+m=5…。 …1分 (m+1)+(m+2)(m-2)=m2+2m+1+m2-4 …3分 =2m2+2m-3..。 …4分 当m+m=5时，原式=2(m+m)小-3=2×5-3=7 …5分 20.（1)1;4… …2分 (2)0<y≤4（端点与不等号须同时正确，对1个得1分）… 4分 (3)-1<x<0或2<X<3.. …6分 21. 1)证明：“A=4-4(4-m2) 1分 =4m2≥0 方程总有实数根。…2分 (2)解：方程可化为[x-(2+m)][x-(2-m)】=0 解得=2+m,七2=2-m …4分 2+m≥1 两根均不小于1， 2-m≥1 .-1≤m≤1.… …5分 22.(1)①如图… …2分（画对1个顶点，给 ②y=x(过原点的直线均可) …3分 (2)-4≤a<-2或-2<a≤0.... …5分 23.解：设原正方形队列每行x人，总人数人，7名同学出列后有(t-7)人， 出列后其余同学组成的 长方形队列每列(2x-3)人，每行（化-5)人，列方程得 。。。。。。。。 …1分 (2x-3)(x-5)=x2-7 3分 三门X2=2（舍)）…4 .总人数为121人，不能分解成两个大于1的不等正整数相乘，即这个计划不能实现 …5分 6 1 .x=- x= 24.解：(1) 2a 抛物线对称轴为直线2a…1分 .h=0且h=n-m∴.n=m 又抛物线y=ar-(a≠0)经过点4(-l,m）和点B(3,） 1 .a= x=1与X=3关于直线2a对称“2☑2 X= 2 …2分 (2)当x=-1时，y=a+a;当x=3时，y=9a2-3a h=n-mh=(9a2-3a）-(a2+a）=8a2-4a …3分 1 a= ∴h是关于a的二次函数，且开口向上，对称轴为直线4（满足a≠0的条件）， 1 1 a= .当4时，h有最小值2… …5分 25.(1)x≠0.. …1分 17 (2)①2 …2分 ②如图… …3分（关于原点中心对称) y 0 (3)X=2.x2=-2 …5分（对1个，给 0K27分 (4)k<0或 26.1)M(0,a-),y=a(x-1}+a-1 …2分 <2)M(i,at-1),y=a(x-t)'+at-1 当x=0时，y=ar+at-l即抛物线过(0，ar+at-) …3分 =- 记c=at+at-1,即c是关于t的二次函数，且开口向上，对称轴为直线 2 1八、1 2时，c随t的增大而增大… …4分 又当t=1时，c=2a-1;t=2时，c=6a-1 .当1<t<2时，2a-1<c<6a-1 :当1<t<2时，抛物线C均不经原点0当1<t<2时，c≠0即C>0或C<0 a 1 .1 .2a-1≥0或6a-1≤0 .0<a≤ 22或 6.… 6分 27.(1)AP=2AC,证明如下：… …1分 过点A作AC'⊥DP于点C,又∠C=90° B ∴.∠C=∠ACD=90° :△ABD为等腰直角三角形·AB=AD 又∠ADP=∠ABC=a .△ADC'2△ABC(AAS)… …2分 ∴.AC=AC .0=60° .在Rt△ADP,∠P=90°-∠ADP=30° 在Rt△ACP中，AP=2AC'=2AC3分 （2)①；证明如下：…4分 过点A作AC⊥DP于点C,过点A作EF的垂线交EF的延长线于点H,过点A作EG的垂线交EG的 延长线于点H',连接AG,AF D 由(1)得，△ADC'≌△ABC(AAS)AC=AC5分 DB∥EF.∠AEH=∠ADB=45°即△AEH为等腰直角三角形 :AE=2AH,yAE =2AC AH AC=AC' 又∠H=∠AC'F=90°且AF=AFRt△AFC'≌Rt△AFH(HL).FC'=FH 同理Rt△AGC'≌Rt△AGH'(HL)∴GC'=GH 又∠H=∠H'=∠HEH'=90°.四边形AHEH'为矩形 又AH'=AH=AC矩形AHEH'为正方形EH=EH'=AH=AC'=AC=1 CAEFG =EF+EG+GF=EF+EG+CG+CF =EF+EG+FH+GH'=EH +EH'=2AC=2.......... …7分 28.(1)(0,0) 。。。。。。。。。。。。。。 …2分 (2)-2<f<0」 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 …4分 (3)2≤t<3或3<t≤4 …7分 2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习2 2026.10 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间110分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线的表达式为 A． B． C． D． 3．1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为 A． B． C． D． 4．已知二次函数（）的图象如图所示，则下列说法正确的是 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．2026年9月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从2023年的1.59亿元快速增长至2025年的17.08亿元，设该企业营业收入从2023年到2025年的年平均增长率为x，则下列所列方程正确的是 A． B． C． D． 6．下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是 x 1.1 1.2 1.3 1.4 14.41 15.84 17.29 18.76 A． B． C． D． 7．清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅100~，二级、三级150~，辉锅每锅200~． 某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如下表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 8．如图，在平面直角坐标系中，点C是反比例函数（）上一个动点，过点C作坐标轴的垂线，x轴上的垂足为点A，y轴上的垂足为点B，函数（）的图象与线段交于点M，与线段交于点N（M，N不重合），连接，．将线段绕点O逆时针旋转得到线段，将线段绕点O逆时针旋转得到线段（点，分别是点M，N的对应点）．给出下面四个结论： ①四边形的面积可能为3； ②可能是等边三角形； ③点一定在反比例函数的图象上； ④连接点M、N、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为__________． 11．如果关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，那么m的值为__________． 12．为了让学生以更好的状态迎接体考，学校安排了模拟训练．小海参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为，，，则，，的大小关系为__________．（用“<”连接） 13．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中a，b，c表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为__________． 14．老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是__________N． 15．如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是__________． 16．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且与一次函数的图象交于点，若，记，则t的取值范围是__________． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题7分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．解方程：． 18．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，，直接写出四边形的面积__________． 19．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 20．如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． （1）__________，__________； （2）根据图象，当时，y的取值范围是__________； （3）当时，x的取值范围是__________． 21．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为任何实数，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求实数m的取值范围． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． （1）若时， ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； （2）点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 23．学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 24．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． （1）若，求a的值； （2）h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值，若不存在，说明理由． 25．小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量x的取值范围是__________； （2）小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）直接写出方程的根：__________； （4）当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 26．在平面直角坐标系中，点M为直线（）上的一动点，抛物线C：的顶点为M，点M的横坐标为t． （1）若，则点M的坐标__________（用含a的式子表示）；抛物线C的表达式__________（用含a的式子表示）； （2）当时，抛物线C均不经原点O，求a的取值范围． 27．在中，，，（），以为腰构造等腰直角三角形，，，在的延长线上取点P，使得． （1）如图1，若，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，延长至E，使得，过E作的平行线交于点F，过E作的垂线交的延长线于点G，下面有三个结论，其中所有正确结论的序号是__________，并对你选择的正确结论加以证明． ①的周长不变； ②线段与的长度和不变； ③的面积不变． 28．对于给定的不重合的两个点B，C，存在点A，，，S，使得点绕点A旋转（）得到点，点B绕点S旋转（）得到点C（A，B，C不共线），连接，的中点为K，若，，S，K四点共线，且点S恰为的中点，则称点A为点B，C的旋心，点S为点A，B，C的转心． 在平面直角坐标系中， （1）如图1，，，点B，C的旋心为点，则点A，B，C的转心的坐标为__________； （2）如图2，，当点E，F的旋心为点时，若点D，E，F的转心落在线段上（不包含端点），直接写出点F横坐标f的取值范围__________； （3）已知，，点P，Q均为点M，N的旋心，点、分别为点P，M，N和点Q，M，N的转心，点P，Q关于原点对称，且，若存在点M，N，P，Q，使得为直角三角形，直接写出t的取值范围__________． 学科网（北京）股份有限公司 $