第18章 分式单元检测卷（提升卷） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十八章 分式 提升卷（解析版） 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．在 ， ， ， 中，是分式的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 2 ．已知某新型感冒病毒的直径约为 0.00000823 米，将 0.00000823 用科学记数法表示为 ( ) A ．8.23× 10-6 B ．8.23× 10-7 C ．8.23× 106 D ．8.23× 107 3 ．阅读所给的材料．并解决问题： x 一2 3 m 0 分式 的值（其中a, b 为常数） 无意义 0 4 n 则下列结论中错误的是 ( ) A ．a = 2 B ．b = 6 C ．m = 7 D ．n = 一3 4 ．解分式方程 3 时，去分母后变形为 ( ) A ．2 一 (x + 2) = 3 (x 一1) B ．2 一 (x 一 2) = 3 C ．2 一 (x 一 2) = 3 (x 一 1) D ．2 + (x + 2) = 3 (x 一1) 5 ．下列说法正确的是 ( ) A ． 是分式 B ．分式的分子为 0 ，则分式的值为 0 C ．将式子(a +b)÷ c 写成分数的形式是 D ．对于任意实数， 总有意义 6 ．下列分式计算错误的是 ( ) 7 ．施工队铺设 3000 米的下水管道，每天比原计划多施工 50 米，结果提前 3 天完成任务．设原计 划每天施工x 米，所列方程正确的是 ( ) 一 B ． 一 C ． 一 一 = 3 D ． 一 = 3 8 ．已知 一 其中A、B 为常数，则4A 一 B 的值为 ( ) A ．7 B ．9 C ．13 D ．52 9．若a ≥ 一4 ，且关于 x 的分式方程一 + 3 =有正整数解，则满足条件的所有 a 的取值之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 10 ．对于正数x ，规定 则 的值为 ( ) A ．2024.5 B ．2023 C ．2024 D ．2023.5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 12 ．若x + y = 2，xy = -2 ，则 的值为 ． 13 ．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简其中“◆ ”处被弄污了， 但他知道这道题的化简结果是 ，则“◆ ”处的式子为 ． 14 ．关于 x 的方程 的解是正数，则实数 a 的取值范围是 ． 15．对于任意两个非零实数a，b ，定义新运算“*”如下 例如 若x*y = 2 ， 则 的值为 ． 16 ．若关于 x 的方程无解，则 a 的值是 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．计算： 18 ．计算 (1)先化简，再求值 其中x = -1 ． 第十八章 分式 提升卷（学生版） 第 2 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．定义关于☆的一种新运算 是实数，且x ≠ y ），例如☆ (1)求(-3) ☆ (-2) 的值． (2)是否存在 x 的值，使得x☆1 = 1☆x + 3成立？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． 20 ．观察以下等式： 第 1 个等式 第 2 个等式 第 3 个等式 第 4 个等式 第 5 个等式 ．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第 7 个等式； (2)写出你猜想的第n 个等式：_______________________（用含n 的等式表示），并证明． 21．乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电 动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购 置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求， 购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000 元 花费：30000 元 单价：x 元 单价：1.5x 元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多 4 个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的 单价； (2)在(1) 的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共 6 个，已知 单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10% ，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了 10% ，如果此次加购政府预备支出不超过 35500 元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22 ．已知 ． (1)化简分式 A． (2)若关于 x 的分式方程A+ B = 1 的解为x = 3 ，求 m 的值． (3)当 x 取什么整数时，分式 A 的值为整数？ 23 ．下面是一些方程和它们的解． 的解为x1 = 2 ， 的解为x1 = 3 ， 的解为x1 = 4 ， …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： 的解为______； (2)关于x 的方程 的解为______； (3)试求：关于x 的方程 的解． 第十八章 分式 提升卷（学生版） 第 4 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 24．新定义：如果两个实数 a，b 使得关于 x 的分式方程的解是成立，那么我们就把 实数 a ，b 组成的数对[a, b] 称为关于 x 的分式方程 +1 = b 的一个“关联数对” ．例如：a = 2，b = -5 使 得关于 x 的分式方程 的解是成立，所以数对[2, -5] 就是关于 x 的分式方程 +1 = b 的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于 x 的分式方程 +1 = b 的“关联数对”有________．（填字母） A：[3, -5] B：[1, -4] (2)若数对是关于 x 的分式方程 +1 = b 的“关联数对” ，求 n 的值． (3)若数对 且m ≠ 0, k ≠ -1）是关于 x 的分式方程 +1 = b 的“关联数对”，且关于 x 的方程 有整数解，求整数 m 的值． 25 ．请阅读如下材料，并解决问题： 材料 1 ：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式 为“和谐分式” ．例如： = - = + = 1 + , = = + = 2 + ，则 和 都是“和谐分式”． 材料 2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设 将等式右 边通分，得 依据题意，得 解得 所以 ①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知 则M = _________ ，N = _________． (2)如果分式 的值为整数，求满足条件的整数 x 的值． 如果 请用含有 a 和 b 的式子表示n2 - n ． 第十八章 分式 提升卷（学生版） 第 5 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） , , , 中，是分式的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键，判断分式的关键是看分母是否 含有字母，常数分母不是分式； 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各表达式的分母是否含有字母． 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母的式子； 对于 ，分母是 2 ，不含字母，故不是分式； 对于 分母是x +1 ，含有字母x ，故是分式； 对于 ，分母是 π , 是常数，不含字母，故不是分式； 对于 ，分母是a -b ，含有字母a 和b ，故是分式； ∴共有 2 个分式；故选：B. 2 ．已知某新型感冒病毒的直径约为 0.00000823 米，将 0.00000823 用科学记数法表示为 ( ) A ．8.23× 10-6 B ．8.23× 10-7 C ．8.23× 106 D ．8.23× 107 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤a <10 ，n 为整数．对于 小于 1 的数，n 为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解： ∵0.00000823 的小数点向右移动 6 位得到 8.23， ∴0.00000823 = 8.23× 10-6 ，故选：A． 3 ．阅读所给的材料．并解决问题： x -2 3 m 0 分式 的值（其中a, b 为常数） 无意义 0 4 n 则下列结论中错误的是 ( ) A ．a = 2 B ．b = 6 C ．m = 7 D ．n = -3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出a 的值，将(3, 0) 代入求出b 的值，进而可求m, n 的值． 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 6 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： ∵x = —2时分式无意义， ∴ —2 + a = 0 ，即a = 2 ， 将a = 2 ，(3, 0) 代入得 解得：b = 6 ， 将a = 2 ，b = 6 代入 则分式为： ． 将(m, 4) 代入得 解得：m = —7 ， 经检验，m = —7 是原分式方程的解； 将(0, n) 代入得 解得：n = —3， 则 C 结论错误，故选：C． 4 ．解分式方程时，去分母后变形为 ( ) A ．2 — (x + 2) = 3 (x —1) B ．2 — (x — 2) = 3 C ．2 — (x — 2) = 3 (x — 1) D ．2 + (x + 2) = 3 (x —1) 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，找出最简公分母是解题的关键．根据方程的最简公分母为x —1， 分式方程两边同时乘以(x —1) 即可得到答案． 【详解】解：将方程变形为 方程两边同时乘以(x —1) ，得2 — (x — 2) = 3(x —1) ，故选：C． 5 ．下列说法正确的是 ( ) 是分式 B ．分式的分子为 0 ，则分式的值为 0 ( c )C ．将式子(a +b)÷ c 写成分数的形式是a + b D ．对于任意实数， 总有意义 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质 逐一分析判断即可． 【详解】解：A 、 不是分式，原说法错误； B 、分式的分子为 0 ，分母不为 0 ，则分式的值为 0 ，原说法错误； C 、将式子(a +b) ÷ c 写成分数的形式是 原说法错误； D 、对于任意实数，1 + x2 > 0 ，分式总有意义，说法正确；故选：D． 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 7 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 6 ．下列分式计算错误的是 ( ) 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运 算进行排除选项即可． 解 计算正确，故不符合题意； 原计算错误，故符合题意； 计算正确，故不符合题意； 计算正确，故不符合题意；故选 B． 7 ．施工队铺设 3000 米的下水管道，每天比原计划多施工 50 米，结果提前 3 天完成任务．设原计 划每天施工x 米，所列方程正确的是 ( ) 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工(x + 50) 米．根据提前 3 天完成任务，即原计划天数比实际天数多 3 天，列出方程即可． 【详解】解：由题意得 故选：A． 8 ．已知 其中A、B 为常数，则4A - B 的值为 ( ) A ．7 B ．9 C ．13 D ．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关 键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得3x + 4 = (A - B)x +(A + 2B) ，根据方程两边恒等 可得 解得 ，代入4A - B 计算即可． 解 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 8 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 3x + 4 = A (x +1)- B(x - 2)， 3x + 4 = Ax + A - Bx + 2B ， 3x + 4 = (A - B)x +(A + 2B)， 则 解得： ， 故选：C． 9．若a ≥ -4 ，且关于 x 的分式方程有正整数解，则满足条件的所有 a 的取值之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程． 先解分式方程，得到 要求x 为正整数且x ≠ 2 ，结合a ≥ -4 ，求出所有符合条件的a 值， 然后求和． 解：方程 ， 原方程可以化为 方程两边同乘x-2 ，得： a + 3(x - 2) = - (x -8) ， 化简得： a + 3x - 6 = -x + 8 ， a + 4x = 14 ， : x 为正整数且 x ≠ 2 ， 为正整数，且 设 ，则a = 14 - 4k ，其中k 为正整数，且k ≠ 2 又: a ≥ -4 ， :14 - 4k ≥ -4 ， 解得：k ≤ 4.5 ， : k ≤ 4 （ k 为正整数）， : k = 1, 3, 4 （k ≠ 2 ）， 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 9 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 对应a 值： 当k = 1 ，a = 14 - 4× 1 = 10 ； 当k = 3 ，a = 14 - 4× 3 = 2 ； 当k = 4 ，a = 14 - 4× 4 = -2 ， 所以，所有a 值为 10, 2, -2 ， 其和为 10 + 2 +(-2) = 10 ，故选：A． 10 ．对于正数x ，规定 ，f (|( ,) = = ，则 的值为 ( ) A ．2024.5 B ．2023 C ．2024 D ．2023.5 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 将求和中的项配对，每对和为 1 ，最后单独计算 f (1) 即可． 【详解】解： ∵ f (x ) = ， ∴有 …… , 这样的组合共有 2025 - 2 +1 = 2024 对， 又 ∴ 原式 故选：A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 10 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 11 ．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ≠ 2026 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键．根 据分式有意义的条件列出不等式，然后再求解即可． 【详解】解：由题意得2026 — x ≠ 0 ，即x ≠ 2026 ．故答案为：x ≠ 2026 ． 12 ．若x + y = 2,xy = —2 ，则 + 的值为 ． 【答案】 —4 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 解 又∵x + y = 2 ，xy = —2 ， ∴ 原式 故答案为： —4 ． 13 ．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简其中“◆ ”处被弄污了， 但他知道这道题的化简结果是 ，则“◆ ”处的式子为 ． 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得 则“◆ ”处的式子为 故答案为： ． 14 ．关于 x 的方程 的解是正数，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】a < 8 ，且a ≠ 0 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用， 并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围， 可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解x > 0 ，求出 a 的取值范围． 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 11 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：两边都乘以x2 - 4 ，得：(x - 2)2 - a = x2 - 4 ，解得： ， ∵方程的解是正数， 且 解得：a < 8 且a ≠ 0 和a ≠ 16 ，故答案为：a < 8 ，且a ≠ 0 ． 15．对于任意两个非零实数a，b ，定义新运算“*”如下： 例如 若x*y = 2 ， 则 的值为 ． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得 从而可得x - y = 2xy ，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：: x * y = 2 ， :x - y = 2xy ， 故答案为：1013． 16 ．若关于 x 的方程无解，则 a 的值是 ． 【答案】1 或-2 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中 x 的系数为零时方程无解及分式方程的 分母为零时方程无解两种情况确定 a 的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 解 原方程去分母，得：ax + 4 = x - 2 ， :(a -1)x = -6 ， 当x - 2 = 0 ，即x = 2 时，原分式方程无解， :2(a -1) = -6 ， 解得：a = -2 ， 当a -1 = 0 时，(a -1)x = -6 无解，即原分式方程无解， : a = 1 ， 综上，a 的值为-2或 1， 故答案为：-2或1. 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 12 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．计算 【答案】(1)-8 ；(2)- 【分析】本题主要考查了乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂方，分式的混合运算，解题的关 键是掌握以上运算法则． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先对分子和分母因式分解，并将除法转换为乘法，约分化简即可得到答案． 解 = -1+ 3 - 9 -1 = -8； 解 18 ．计算 (1)先化简，再求值 其中x = -1 ． 【分析】本题考查分式的化简求值和解分式方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先通分括号内的式子，然后根据平方差公式进行化简，再根据完全平方公式化简括号外的式 子进而化简即可，最后将 x 的值代入化简后的式子计算即可； （2）先去分母，再合并同类项和移项进行求解，最后进行验算即可． 解 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 13 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 x + 3 = , x - 3 将x = -1代入得， = = - ； 解 3 = 2 + (x -1) 3 = 2 + x -1 -x = 2 -1- 3 解得x = 2 ， 将x = 2 代入x -1中， 得x -1 = 2 -1 = 1 ≠ 0 ， ∴x = 2 是原方程的解． 19 ．定义关于☆的一种新运算 是实数，且x ≠ y ），例如☆ (1)求(-3) ☆ (-2) 的值． (2)是否存在 x 的值，使得x☆1 = 1☆x + 3成立？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)-6 ；(2)3 ，见解析 【分析】本题考查了实数的新运算与分式方程的求解，根据新运算的定义正确列出式子是解决本题 的关键． （1）根据☆的新运算定义计算即可； 第 14 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据☆的新运算先表示出x☆1与1☆x + 3 ，再由分式方程的解法求解并检验即可． 解： ☆ 解：x☆☆ ∵ x☆1 = 1☆x + 3 ， 即 去分母，得x + x = 3(x -1)， 解这个方程，得x = 3 ． 经检验x =3 是原方程的解． ∴原方程的解为x = 3 ． 20 ．观察以下等式： 第 1 个等式 第 2 个等式 第 3 个等式 第 4 个等式 第 5 个等式 ．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第 7 个等式； (2)写出你猜想的第n 个等式：_______________________（用含n 的等式表示），并证明． 证明见解析 【分析】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关 系是解题的关键． （1）根据前 5 个等式得出第 7 个等式即可； （2）通过观察分子和分母上的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第 7 个等式为 （2）解：猜想的第n 个等式 证明： ∵左边 右边， ∴等式成立． 第 15 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 21．乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电 动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购 置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求， 购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000 元 花费：30000 元 单价：x 元 单价：1.5x 元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多 4 个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的 单价； (2)在(1) 的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共 6 个，已知 单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10% ，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了 10% ，如果此次加购政府预备支出不超过 35500 元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的单价是 5000 元，双枪新能源充电桩的单价是 7500 元； (2)政府最少需要购买 4 个单枪新能源充电桩 【分析】（1）利用数量=总价 ÷ 单价，结合本次购买单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩 的数量多 4 个，列出关于 x 的分式方程，解方程即可； （2）设政府需要购买y 个单枪新能源充电桩，则需要购买(6 -y ) 个双枪新能源充电桩，利用总价= 单价× 数量，结合总价不超过 35500 元，列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值 即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正 确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：根据题意得 解得：x = 5000 ， 经检验，x = 5000 是所列方程的解，且符合题意， :1.5x = 1.5 × 5000 = 7500 ， 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 16 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 答：单枪新能源充电桩的单价是5000 元，双枪新能源充电桩的单价是 7500 元； （2）设政府需要购买y 个单枪新能源充电桩，则需要购买(6 -y ) 个双枪新能源充电桩， 根据题意得：5000× (1+10%)y + 7500× (1-10%)(6 -y ) ≤ 35500 ， 解得：y ≥ 4 ， : y 的最小值为4 答：政府最少需要购买 4 个单枪新能源充电桩． 22 ．已知 (1)化简分式 A． (2)若关于 x 的分式方程A + B = 1 的解为x = 3 ，求 m 的值． (3)当 x 取什么整数时，分式 A 的值为整数？ 当 x 取-2或 2 或 0 时，分式 A 的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握 相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将x =3 代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 解 （2） ∵ A + B = 1， 方程的两边同时乘以x -1 ，得x2 - 4x - (x2 - 2m) = x -1 ， 解得 ∵分式方程的解为x = 3 ， 解得m = 7 ． ∴ m 的值为 7． 解 且分式 A 的值为整数， ∴x -1 = ±3 或±1． ∴ x = 4, -2, 2, 0 ． 由题意，得x - 4 ≠ 0 且x2 -1 ≠ 0 ， 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 17 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴x ≠ 4且x ≠ ±1． ∴当 x 取-2或 2 或 0 时，分式 A 的值为整数． 23 ．下面是一些方程和它们的解． 的解为 的解为 的解为x1 = 4 ， …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： 的解为______； (2)关于x 的方程 的解为______； x n (3)试求：关于x 的方程 的解． 【答案】(1) x1 = 5 ，x2 = ；(2) x1 = n ， 或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于 x 的方程 的解是 故答案为 （2）解：猜想关于 x 的方程 的解是 故答案为 解 方程变形得 即 解得 或 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 18 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 24．新定义：如果两个实数 a，b 使得关于 x 的分式方程 + 1 = b 的解是成立，那么我们就把 实数 a ，b 组成的数对[a, b] 称为关于 x 的分式方程 + 1 = b 的一个“关联数对” ．例如：a = 2，b = -5 使 得关于 x 的分式方程+1= -5 的解是成立，所以数对[2, -5] 就是关于 x 的分式方程 + 1 = b 的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于 x 的分式方程 + 1 = b 的“关联数对”有 ．（填字母） A：[3, -5] B：[1, -4] (2)若数对是关于 x 的分式方程 + 1 = b 的“关联数对” ，求 n 的值． (3)若数对[2m +k, -k]（ m ≠ ± , 且m ≠ 0, k ≠ -1）是关于 x 的分式方程 + 1 = b 的“关联数对”，且关于 x 的方程 有整数解，求整数 m 的值． 【答案】(1)A；(2) 2 ；(3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求 解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程 的解及 列方程 求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程 的解及 列方程 解得 再由关于x 的方程有整数解，将k 代入恒等变形为 , 解出 进而得到2m -1 = 1 或2m -1= -1或2m -1 = 2 或 2m -1= -2 ，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当a = 3，b = -5 时，分式方程 解得 ， :[3, -5] 是“关联数对”； 当a = 1，b = -4 时，分式方程 解得 ， :[1, -4] 不是“关联数对”；故答案为：A； 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 19 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 ( （ 2 ）解： : 「| - n , - 1 + n 7 | 是关于 x 的分式方程 a + 1 = b 的 “ 关联数对 ” ， )L 3 」 x 解得 解得n = 2 ． （3）解：:[2m +k, -k] 是关于 x 的分式方程 +1 = b 的“关联数对”， 解得： 将kx - 2m +1 = 2m -1)2 x = (1- 2m)(1+ 2m)， : 关于 x 的方程kx - 2m +1 = ，x 有整数解，且m 为整数， :2m -1 = ±1或 ±2 ， 即2m -1 = 1 或2m -1= -1或2m -1 = 2 或2m -1= -2 ， 解得m = 0 或m = 1 或m = - （舍去）或m = （舍去）， : m ≠ 0 ， : m = 1 ． 25 ．请阅读如下材料，并解决问题： 材料 1 ：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式 为“和谐分式” ．例如 则 和 都是“和谐分式”． 材料 2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设 将等式右 边通分，得 依据题意，得 解得 所以 (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知 则M = _________ ，N = _________． 第十八章 分式 提升卷（解析版） 第 20 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)如果分式 的值为整数，求满足条件的整数 x 的值． (3)如果 = a ， = b ，请用含有 a 和 b 的式子表示n2 - n ． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3；-1；(2) x = -3 或-5或-1或-7 ； ①由 可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 即可判断是“非和谐分式”； ②由 可得M + N = 2 ，3M + 2N = 7 ，求出 M、N 即可； 由 的值是整数，可得x + 4 = 1 或x + 4 = -1或x + 4 = 3 或x + 4 = -3 ，求出 x 的值 即可； （3）由题分别得到 + = ， 两个式子消去可得 即可求 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 解 不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， : 分式是“非和谐分式” ，故答案为：“非和谐分式”； ∴ M + N = 2 ，3M + 2N = 7 ，解得M = 3 ，N = -1；故答案为：3 ，-1； 解 : 分式的值是整数， ∴x + 4 = 1 或x + 4 = -1或x + 4 = 3 或x + 4 = -3 ，解得x = -3 或-5或-1或-7 ； ∵ = b ， 由① - ② 得： - = - = - b ， 第 21 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $