第十八章 分式 单元自测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十八章 分式 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．在①；②；③；④中，正确的式子有（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1　　B．−2　　C．±1　　D．−1 3．方程的解是（    ） A．x=2 B．x=−2 C．x=4 D．x=−4 4．下列各式中，是最简分式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，青石板上创高产”的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代愚公”的光荣传统和优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五四青年节，学校的八年级学生去距学校的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（    ）． A．−= B．−= C．−= D．−= 6．分式有意义的条件是（　　） A．x≠3　　B．x≠−3　　C．x≠±3　　D．x≠0 7．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 8．化简的结果是（　　） A．x−2　　B．x+2　　C．2−x　　D．−x−2 9．某地区为落实振兴乡村计划，准备在农村修建一条长3600米的公路．甲工程队按原计划修了1200米后，为了让公路尽快投入使用，将工作效率提高了，共用了10天完成，则原计划每天修路（    ） A．280米 B．270米 C．260米 D．250米 10．若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x<−1　　B．x>1　　C．−1<x<1　　D．x<−1或x>1 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．约分：=________。 12．若分式有意义，则x的取值范围是__________． 13．计算：·=________。 14．五一节期间，小明一家从A城到青岛旅游，自驾轿车走高速的路程约为，坐动车去旅游的路程为．已知动车的平均速度是轿车的平均速度的3倍；而时间节省小时．设轿车的平均速度为，则列方程为：__________． 15．若x+y=3，xy=1，则+的值为________。 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）计算： (1)()³·()²； ÷。 17．（8分）解分式方程 (1) (2) 18．（8分）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 19．（7分）先化简，再求值：()÷，其中x=3。 20．（8分）解分式方程：=。 21．（8分） （1）分解因式：          （2）分解因式： （3）计算：                          （4）计算： 22．（9分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求原计划每天生产多少台机器。 23．（9分）春节临近，某超市预购进甲、乙两种礼盒，用400元购进的甲种礼盒的数量是用240元购进的乙种礼盒的数量的2倍，每件乙种礼盒的进价比甲种礼盒的进价贵10元。求甲、乙两种礼盒每件的进价。 第十八章 分式 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】A 解题步骤： ① (−1)⁰=1（非零数的零次幂等于 1），正确。 ② (−1)³=−1，正确。 ③ 3a⁻²=3×()=，不等于，错误。 ④ (−x)⁵÷(−x)³=(−x)²=x²，不等于 −x²，错误。 所以正确的式子有 ①②，选 A。 【知识点睛】零指数幂、负整数指数幂与同底数幂除法：a⁰=1（a≠0）；a⁻ⁿ=；同底数幂相除指数相减，偶次幂结果为正。逐式验算后确定正确个数。 2. 【答案】A 解题步骤： ① 分式值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0。 ② 令x−1=0，得x=1；此时分母x+2=3≠0。 ③ 所以x=1，选A。 【知识点睛】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；求出分子为0的x值后必须检验分母是否为0。 3. 【答案】A 解题步骤： ① 原方程=1−，因为 3−x=−(x−3)，所以=−。 ② 方程化为=1+。 ③ 两边同乘 (x−3)：2−x=(x−3)+1，得 2−x=x−2，解得 x=2。 ④ 检验：x=2 时，x−3=−1≠0，是原方程的解，选 A。 【知识点睛】解分式方程：先变形（注意 3−x=−(x−3) 的符号），去分母化为整式方程，解出后必须检验分母不为 0。 4. 【答案】C 解题步骤： ① 最简分式：分子、分母没有公因式。 ② A可约分：=：=x+1；D：=x−2，均可约分。 ③ C：分子分母无公因式，是最简分式，选C。 【知识点睛】最简分式：分子与分母没有公因式；判断时先对分子分母分解因式，看是否有公因式可约。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 骑车学生先出发 15 min，汽车后出发同时到达，所以骑车用时 − 汽车用时 =15 min=h。 ② 骑车速度 x ，汽车速度 2x 路程均为 10 km。 ③−=，选 C。 【知识点睛】列分式方程解行程问题：路程相同，时间差 = 慢者时间−快者时间。注意把 15 分钟化为小时，单位统一。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 分式有意义的条件：分母不等于0。 ② x²−9=0，即(x+3)(x−3)=0，x=±3。 ③ 所以x≠±3，选C。 【知识点睛】分式有意义的条件：分母不为0；分母是二次式时先因式分解，再求使分母为0的x值并排除。 7. 【答案】D 解题步骤： ① 设A=。当x取k的倒数时，代入化简得A₁==−A（互为倒数的两个数对应代数式值互为相反数）。 ② 所以互为倒数的每对结果之和为0（k=2，3，…，2019）。 ③ x=1时A=0，所以所有结果相加等于0，选D。 【知识点睛】代数式求值的对称性：互为倒数的两个数对应代数式值互为相反数，配对求和后中间项为0，整体和为0。 8. 【答案】B 解题步骤： ① =。 ② 约去公因式(x−2)，得x+2。 ③ 所以选B。 【知识点睛】分式约分：分子分母先分解因式，再约去公因式；约分前后分式值不变（x≠2）。 9. 【答案】A 解题步骤： ① 设原计划每天修 x 米，提高效率后每天修 (1+50%)x=1.5x 米。 ② 原计划修 1200 米用天，提高效率后修 3600−1200=2400 米用天。 ③ 共 10 天：+=10，即+=10，解得 x=280。 ④ 所以原计划每天修路 280 米，选 A。 【知识点睛】分式方程应用（工程问题）：工作量=效率×时间。先求出提速后的效率，再按“总时间=10 天”列方程求解。 10. 【答案】C 解题步骤： ① 分式值为负数：分子与分母异号。 ② x+1>0且x−1<0，即x>−1且x<1，得−1<x<1。 ③ 所以选C。 【知识点睛】分式值的符号由分子、分母的符号决定：异号得负；转化为不等式组求解。 11. 【答案】 解题步骤： ① 6a²b³与8a³b²的公因式是2a²b²。 ② ==。 ③ 所以约分结果为。 【知识点睛】分式约分：系数约去最大公约数，相同字母按指数相减约去；分子分母同除以公因式。 12. 【答案】x≠4 解题步骤： ① 分式要有意义，分母不能为0。 ② 令x−4=0，得x=4。 ③ 所以x的取值范围是x≠4。 【知识点睛】分式有意义的条件：分母不等于0；求取值范围时令分母为0求排除值。 13. 【答案】a+b 解题步骤： ① 先把(a²−b²)分解因式：(a²−b²)=(a+b)(a−b)。 ② 原式=·。 ③ 约去公因式a和(a−b)，得a+b。 【知识点睛】分式乘法：分子分母分别分解因式，再约分；a²−b²=(a+b)(a−b)是常用变形。 14. 【答案】−= 2.5 解题步骤： ① 轿车速度 x ，动车速度 3x 。 ② 轿车用时小时，动车用时小时。 ③ 坐动车节省 2.5 小时，所以−=2.5。 【知识点睛】列分式方程：路程÷速度=时间。分别表示两种出行方式的用时，用时差=2.5 小时列方程。 15. 【答案】3 解题步骤： ① +=通分）。 ② 代入x+y=3，xy=1：原式==3。 【知识点睛】分式通分求和：+=已知和与积，整体代入求值。 16. 【答案】(1) 8a⁴b；(2) 1 解题步骤： ① (1)()³=，()²=。 ② (1)原式=·=8a⁴b。 ③ (2)原式=·=1。 【知识点睛】分式乘方与乘除：先算乘方，除法变乘以倒数，分子分母分解因式后约分。 17. 【答案】(1) x=3；(2) 无解 解题步骤： ① (1) 去分母，两边同乘 x(x+1)：3(x+1)=4x，得 3x+3=4x，解得 x=3。 ② (1) 检验：x=3 时，x(x+1)=12≠0，所以 x=3 是原方程的解。 ③ (2) 去分母，两边同乘 (x+2)(x−2)：x(x+2)−(x²−4)=8，得 x²+2x−x²+4=8，解得 x=2。 ④ (2) 检验：x=2 时，x−2=0，分母为 0，所以 x=2 是增根，原方程无解。 【知识点睛】解分式方程：去分母（乘最简公分母）→ 解整式方程 → 检验（代回各分母是否为 0）。增根要舍去，若只有增根则原方程无解。 18. 【答案】(1) 400 套；(2) 13000 元 解题步骤： ① (1) 设第一批购进 x 套，第二批购进 3x 套，第一批进价元/套，第二批进价元/套。 ② (1) 第二批每套进价比第一批多 10 元：=+10，解得 x=100。 ③ (1) 经检验 x=100 符合题意，共购进 100+300=400 套。 ④ (2) 第一批进价 160 元/套，利润率为 25%，售价=160×(1+25%)=200 元/套；第二批进价 170 元/套，按同一售价 200 元出售。 ⑤ (2) 总利润=100×(200−160)+300×(200−170)=4000+9000=13000 元。 【知识点睛】分式方程应用（利润问题）：进价=总价÷数量；利润率=利润÷进价，售价=进价×(1+利润率)。两批玩具分别计算利润再求和。 19. 【答案】4 解题步骤： ① 括号内：==。 ② 原式=÷=·=x+1。 ③ 当x=3时，原式=3+1=4。 【知识点睛】分式混合运算：先算括号内（通分），除法变乘法（分子分母互换），分解因式约分，最后代入求值。 20. 【答案】x=7 解题步骤： ① 去分母：方程两边同乘(x−1)(x+2)，得2(x+2)=3(x−1)。 ② 展开：2x+4=3x−3，解得x=7。 ③ 检验：x=7时，(x−1)(x+2)=6×9≠0，所以x=7是原方程的解。 【知识点睛】解分式方程：去分母化为整式方程，解整式方程后必须检验，使最简公分母为0的根要舍去。 21. 【答案】(1) xy(x+y)；(2) (x−2)²(x+2)；(3) 1；(4) 解题步骤： ① (1) x²y+xy²=xy(x+y)（提公因式 xy）。 ② (2) x²(x−2)+4(2−x)=x²(x−2)−4(x−2)=(x−2)(x²−4)=(x−2)(x+2)(x−2)=(x−2)²(x+2)。 ③ (3)+==1。 ④ (4)+=+==。 【知识点睛】因式分解与分式加法：提公因式、平方差公式要连续运用；同分母分式直接加减，异分母先通分（注意 x²−4=(x+2)(x−2)），结果约分到最简。 22. 【答案】150台 解题步骤： ① 设原计划每天生产x台，则现在每天生产(x+50)台。 ② 列方程：=时间相等）。 ③ 解得600x=450(x+50)，即150x=22500，x=150；检验x=150时x(x+50)≠0。所以原计划每天生产150台。 【知识点睛】分式方程应用：工作量=工作效率×时间；时间相等建立等量关系列方程，解后检验是否符合实际。 23. 【答案】甲50元/盒，乙60元/盒 解题步骤： ① 设甲种礼盒每件进价x元，则乙种每件进价(x+10)元。 ② 由题意：=，即400(x+10)=480x。 ③ 解得x=50；检验x=50时x(x+10)≠0。乙种进价50+10=60元。答：甲50元/盒，乙60元/盒。 【知识点睛】分式方程应用：数量=总价÷单价；由数量之间的倍数关系列方程，解后检验并作答。 学科网（北京）股份有限公司 $