第三章 代数式--代数式求值问题 典型题型重点练（1） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章 代数式--代数式求值问题 典型题型重点练（1） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册 一、已知字母的值，求代数式的值 1．已知：，，，求的值． 2．已知是绝对值最小的数，的相反数是最大的负整数，的相反数是，求的值． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 4．已知，且 (1)求的值； (2)计算与． 二、整体思想求代数式的值（变系数） 5．已知，求代数式的值． 6．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 7．【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 三、整体思想求代数式的值（先拆分再合并） 8．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 9．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 10．【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，，求代数式的值． 四、程序流程图与代数式求值 11．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 12．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 14．如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 五、图形类规律探索 15．观察如图图形和对应表达式． (1)请在图中的框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式； (2)请直接写出第n个图形对应的表达式：________； (3)请用上面的规律计算：． 16．某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 17．综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 18．综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 参考答案 1．的值为或 【分析】根据绝对值和平方的性质，分别求出x与y的所有可能的值，根据确定x、y的对应取值，分别计算两种情况的的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴x与y异号，分为两种情况： 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 2．解：∵绝对值最小的数是，是绝对值最小的数， 故； ∵最大的负整数是，的相反数是，的相反数是最大的负整数， 故； 的相反数是，的相反数是， 故； 将、、代入， 得． 【分析】先根据相反数、绝对值概念求出、、的值，再代入代数式计算． 【详解】略 3．(1) (2)125 【详解】（1）当，时，． （2）当，时，． 4．(1) (2)， 【分析】（1）根据绝对值的含义，结合求解即可； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，． 5．7 【分析】本题考查代数式的化简与整体代入思想的应用．通过代数变形将原式转化为与已知条件相关的形式，避免了解方程的繁琐步骤，体现了代数运算中的技巧性与简洁性．关键在于合并同类项后识别出结构中的整体表达式． 【详解】解：原式= = =． 当时， 原式 ． 6．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 7．(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 8．（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 9．（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 10．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （3）将所求代数式变形为，然后整体代入求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ． 11．解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． 12．(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 13．(1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 14．(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的规律写出第5个图形对应的表达式即可； （2）总结题干中的规律写出第n个图形对应的表达式即可； （3）结合题意将变形为，再结合题干所总结的规律求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：因为第1个图形对应的表达式为：， 第2个图形对应的表达式为：， 第3个图形对应的表达式为：， …… 所以第n个图形对应的表达式为； （3）解：∵，， ∴原式 ． 16．(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 17．(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 18．(1)； (2) (3)； (4) (5) 【分析】根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 把原式转化为，再利用的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈个； ∵每层有小圆圈个，共有层, ∴共有小圆圈个； （2）解：∵图②中共有小圆圈个， ∴图①中共有小圆圈个， 即； （3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为； （4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：； （5）解：∵， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $