第三章 代数式全章高频重点题型突破（二大高频+二大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 用字母表示数与列代数式 题型2 代数式的值--直接代入与整体代入 核心提升：重难题型归纳 题型1 正反比例与实际问题中的代数式 题型2 代数式中的规律探索问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 用字母表示数与列代数式 1. 某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是_________．（用代数式表示结果） 【答案】 【分析】本题考查了代数式的应用． 根据平均速度是总路程与总时间的比值求解即可． 【详解】解：设上山路程为，则总路程为， 上山时间为，下山时间为，总时间为， 平均速度为． 故答案为：． 2. 一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 【答案】/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是:总价单价数量． 3. 请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义____________． 【答案】已知一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果和3个香蕉共需 元（答案不唯一）． 【分析】此题考查了代数式的实际意义，代数式 表示两个 与三个 的和，其实际意义取决于赋予字母 和 的具体含义．通过设计生活情境，如购物场景，可以解释该代数式表示总费用或总数量等． 【详解】解：例如，设一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果的费用为 元，购买3个香蕉的费用为 元，因此总费用为 元． 故答案为：购买2个苹果和3个香蕉共需 元． 4．填空： （1）学校图书馆原有图书a册，最近增加了，现在有图书_________册； （2）某煤矿预计今年比去年增产，达到年产煤60万吨，设去年产煤x万吨，则可列方程__________________； （3）某商品按定价的八折出售，售价为元，则原定价是_________元． 【答案】 【分析】（1）根据“现有图书量=原有图书量增长率)”计算结果， （2）根据“今年产量=去年产量增产率)”，结合已知今年产量列方程， （3）根据“实际售价=原定价×折扣”计算原定价． 【详解】解：（1）原有图书册，增加后，现有图书为 （2）设去年产煤万吨，今年比去年增产，则今年产煤量为万吨，已知今年产煤量为万吨，因此列方程得 （3）设原定价为元，八折即原定价的，根据题意得 系数化为得 ． 5.x的2倍的相反数”用代数式表示为 _________. 【答案】-2x 【详解】试题解析：x的2倍的相反数可以表示为：-2x. 6．将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成_______ ；     （2）S÷t应写成_________； （3），应写成______； （4）, 应写成______. 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． ◆题型2 代数式的值--直接代入与整体代入 7.已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 8.已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 9.已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． ◆题型1 正反比例与实际问题中的代数式 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．某校七年级同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数如下表所示： 每排的人数/人 40 25 20 10 … 排数/排 5 10 20 … 则表格中的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的实际应用，解决问题的关键是抓住总人数不变，利用每排人数排数总人数的等量关系求解． 【详解】解：∵总人数每排人数×排数 ∴由第一组数据得总人数为（人） ∵当每排人数为25人时，总人数不变 ∴， 故选：B． 3.学校图书馆计划将一批图书搬运到新馆存放，每小时搬运的本数与搬运所需的小时数之间的关系如下表． 每小时搬运的本数 30 20 15 6 搬运所需的小时数 4 6 8 20 (1)用式子表示与的关系，并说明与成什么比例关系； (2)若，求的值． 【详解】（1）由表格数据知30×4=120，20×6=120，15×8=120 所以成反比例关系。 （2） ◆题型2 代数式中的规律探索问题 4．如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先列举出前3个图案中圆的个数，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第1个图案中有3个圆，可以表示为， 第2个图案中有5个圆，可以表示为， 第3个图案中有7个圆，可以表示为， ……， ∴第n个图案中有个圆. 5．摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【答案】15 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成 6．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 【答案】 【分析】根据前几个图形的变化发现规律，进而可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图中有4个三角形，即， 第2个图中有7个三角形，即， 第3个图中有10个三角形，即， ， 第n个图中有个三角形． 7．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 【答案】184 【分析】根据表格中的已知数确定数字的变化规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：第一行第一个数是n，第二个数比前一个数大4即为，第二行第一个数比n大2即为，第二行第二个数是的结果， ∴当时，． 8.如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 【答案】22 【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为， 第2个图形中黑色棋子的个数为， 第3个图形中黑色棋子的个数为， ……， 以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为． 一、选择题 1万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 2．下列各对相关联的量中，一定成反比例关系的是（   ） A．跑步速度一定，跑步的路程和时间 B．圆的半径和它的面积 C．某班的总人数一定，班级里的女生人数和男生人数 D．长方形的面积一定，它的长和宽 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例关系的识别，根据反比例关系的定义，逐一分析各选项中两个量的数量关系，判断是否满足乘积为定值的条件即可． 【详解】解：∵反比例关系的定义是：两种相关联的量，若它们相对应的两个数的乘积为定值，则这两种量成反比例关系 A． ∵路程速度时间，速度一定时，路程与时间的比值为定值， ∴二者成正比例关系，不符合题意， B． ∵圆的面积，S与r的平方的比值为定值，与r的乘积不是定值， ∴二者不成反比例关系，不符合题意， C． ∵总人数女生人数男生人数，是和的关系，并非乘积为定值， ∴二者不成比例关系，不符合题意， D． ∵长方形的面积S长宽，面积一定时，长与宽的乘积为定值， ∴二者成反比例关系，符合题意． 故选：D 3．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 4．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 5.某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 6.已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 二、填空题 7.一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意先求出十位上的数字，再根据两位数的表示方法列出代数式，化简即可得到结果； 【详解】解：根据题意可知，个位数字为，十位上的数字为， 则这个两位数为； 8.下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 9.若，则______． 【答案】 【分析】先由绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件得出关于的方程求解，最后将值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，， ，， 解得，， ． 10.已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】由已知方程整理得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴， ， ， ． 11.如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入自变量的值为2，则最后输出因变量的值为_____． 【答案】 【分析】先将代入，求得的值为，小于，根据程序流程，将再次代入，求得的值为，大于，即可输出结果． 【详解】解：开始输入自变量的值为2，则， 需重新输入，则， 最后输出因变量的值为． 12.“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 三、解答题 13.修一条公路，每天修的长度（单位：米）和所需要的时间（单位：天）之间的关系如下表所示： 每天修的长度米 100 200 300 400 所需要的时间天 30 15 10 (1)每天修的长度与所需要的时间成反比例关系吗？请说明理由． (2)用式子表示与之间的关系． (3)若每天修500米，求多少天可以修完． 【答案】(1)每天修的长度和所需要的时间成反比例关系，见解析 (2)(或) (3)若每天修500米，则6天可以修完 【分析】本题考查的是反比例，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示是（一定），熟知反比例定义是解题的关键． （1）根据表格数据即可判断每天修的长度和所需要的时间的乘积为定值，故每天修的长度和所需要的时间成反比例关系； （2）根据表格数据即可求解； （3）根据，，即可求解时间． 【详解】（1）解：每天修的长度和所需要的时间成反比例关系，理由如下： 由表格数据可得，， ∴每天修的长度和所需要的时间的乘积为定值， ∴每天修的长度和所需要的时间成反比例关系； （2）解：由（1）可得(或)； （3）解：由题意得，（天）， 答：若每天修500米，则6天可以修完． 14.小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … (1)这本单词书一共有________个单词； (2)所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ (3)用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 【答案】(1)200 (2)所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200 (3) ，反比例关系， 理由：由（1）可知：， ∴t与m成反比例关系，因为每天背诵的单词数与所需天数的乘积是单词总数，为一个定值（200）． 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）由表格可直接进行求解； （3）根据反比例关系的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由表可得：（个）； 故答案为200； （2）解：由表可知：所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200； （3）略 15.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成． (1)若用200个山楂穿了b串冰糖动芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ，每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成 比例关系． (2)若每根竹签穿7个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成 比例关系． (3)若有a个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了b串冰糖葫芦，还剩余c个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ，当，，时，求每串冰糖葫芦的山楂个数为 ． 【答案】(1)，反 (2)，正 (3)， 【分析】本题考查了用字母表示数和正、反比例的判断． （1）根据题干中的关系列出代数式，再利用反比例的定义判断即可； （2）根据题干中的关系列出代数式，再利用正比例的定义判断即可； （3）根据题干中的关系列出代数式，再将a，b，c的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，每串冰糖葫芦的山楂个数是，此时每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成反比例关系． 故答案为：，反． （2）解：由题意知，每根竹签穿7个山楂，穿n串冰糖葫芦用到的山楂个数为，此时需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成正比例关系． 故答案为：，正． （3）解：由题意知，每串冰糖葫芦的山楂个数是， 当，，时，， ∴每串冰糖葫芦的山楂个数为8． 故答案为：，8． 16.如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 【分析】（1）根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可； （2）将代入计算即可； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 用字母表示数与列代数式 题型2 代数式的值--直接代入与整体代入 核心提升：重难题型归纳 题型1 正反比例与实际问题中的代数式 题型2 代数式中的规律探索问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 用字母表示数与列代数式 1.某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是_________．（用代数式表示结果） 2．一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 3．请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义____________． 4．填空： （1）学校图书馆原有图书a册，最近增加了，现在有图书_________册； （2）某煤矿预计今年比去年增产，达到年产煤60万吨，设去年产煤x万吨，则可列方程__________________； （3）某商品按定价的八折出售，售价为元，则原定价是_________元． 5．“x的2倍的相反数”用代数式表示为 _________. 6．将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成_______ ；     （2）S÷t应写成_________； （3），应写成______； （4）, 应写成______. ◆题型2 代数式的值--直接代入与整体代入 7．已知，则的值为________． 8．已知，那么代数式的值是 ___________． 9．已知，则代数式的值是________． ◆题型1 正反比例与实际问题中的代数式 1.下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 2．某校七年级同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数如下表所示： 每排的人数/人 40 25 20 10 … 排数/排 5 10 20 … 则表格中的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3.学校图书馆计划将一批图书搬运到新馆存放，每小时搬运的本数与搬运所需的小时数之间的关系如下表． 每小时搬运的本数 30 20 15 6 搬运所需的小时数 4 6 8 20 (1)用式子表示与的关系，并说明与成什么比例关系； (2)若，求的值． ◆题型2 代数式中的规律探索问题 4．如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 5．摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 6．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 7．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 8．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 一、选择题 1．万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 2．下列各对相关联的量中，一定成反比例关系的是（   ） A．跑步速度一定，跑步的路程和时间 B．圆的半径和它的面积 C．某班的总人数一定，班级里的女生人数和男生人数 D．长方形的面积一定，它的长和宽 3．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 5．某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 6．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 8．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 9．若，则______． 10．已知，则代数式的值为___________． 11．如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入自变量的值为2，则最后输出因变量的值为_____． 12．“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 三、解答题 13．修一条公路，每天修的长度（单位：米）和所需要的时间（单位：天）之间的关系如下表所示： 每天修的长度米 100 200 300 400 所需要的时间天 30 15 10 (1)每天修的长度与所需要的时间成反比例关系吗？请说明理由． (2)用式子表示与之间的关系． (3)若每天修500米，求多少天可以修完． 14．小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … (1)这本单词书一共有________个单词； (2)所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ (3)用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 15．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成． (1)若用200个山楂穿了b串冰糖动芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ，每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成 比例关系． (2)若每根竹签穿7个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成 比例关系． (3)若有a个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了b串冰糖葫芦，还剩余c个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ，当，，时，求每串冰糖葫芦的山楂个数为 ． 16.如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式全章高频重点题型突破 ◆题型1 用字母表示数与列代数式 1.【答案】 【分析】本题考查了代数式的应用． 根据平均速度是总路程与总时间的比值求解即可． 【详解】解：设上山路程为，则总路程为， 上山时间为，下山时间为，总时间为， 平均速度为． 故答案为：． 2.【答案】/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是:总价单价数量． 3.【答案】已知一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果和3个香蕉共需 元（答案不唯一）． 【分析】此题考查了代数式的实际意义，代数式 表示两个 与三个 的和，其实际意义取决于赋予字母 和 的具体含义．通过设计生活情境，如购物场景，可以解释该代数式表示总费用或总数量等． 【详解】解：例如，设一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果的费用为 元，购买3个香蕉的费用为 元，因此总费用为 元． 故答案为：购买2个苹果和3个香蕉共需 元． 4.【答案】 【分析】（1）根据“现有图书量=原有图书量增长率)”计算结果， （2）根据“今年产量=去年产量增产率)”，结合已知今年产量列方程， （3）根据“实际售价=原定价×折扣”计算原定价． 【详解】解：（1）原有图书册，增加后，现有图书为 （2）设去年产煤万吨，今年比去年增产，则今年产煤量为万吨，已知今年产煤量为万吨，因此列方程得 （3）设原定价为元，八折即原定价的，根据题意得 系数化为得 ． 5.【答案】-2x 【详解】试题解析：x的2倍的相反数可以表示为：-2x. 6.【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． ◆题型2 代数式的值--直接代入与整体代入 7.【答案】 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 8. 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 9.【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． ◆题型1 正反比例与实际问题中的代数式 1．【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的实际应用，解决问题的关键是抓住总人数不变，利用每排人数排数总人数的等量关系求解． 【详解】解：∵总人数每排人数×排数 ∴由第一组数据得总人数为（人） ∵当每排人数为25人时，总人数不变 ∴， 故选：B． 3．【详解】（1）由表格数据知30×4=120，20×6=120，15×8=120 所以成反比例关系。 （2） ◆题型2 代数式中的规律探索问题 4．【答案】 【分析】先列举出前3个图案中圆的个数，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第1个图案中有3个圆，可以表示为， 第2个图案中有5个圆，可以表示为， 第3个图案中有7个圆，可以表示为， ……， ∴第n个图案中有个圆. 5．【答案】15 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成 6.【答案】 【分析】根据前几个图形的变化发现规律，进而可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图中有4个三角形，即， 第2个图中有7个三角形，即， 第3个图中有10个三角形，即， ， 第n个图中有个三角形． 7.【答案】184 【分析】根据表格中的已知数确定数字的变化规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：第一行第一个数是n，第二个数比前一个数大4即为，第二行第一个数比n大2即为，第二行第二个数是的结果， ∴当时，． 8.【答案】22 【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为， 第2个图形中黑色棋子的个数为， 第3个图形中黑色棋子的个数为， ……， 以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为． 1．A 2．D 3．B 4．D 5. A 6. D 7. 8. (1) (2) (3)或 (4) 9. 7 10. 2 11. 42 12. / 13. (1)每天修的长度和所需要的时间成反比例关系，见解析 (2)(或) (3)若每天修500米，则6天可以修完 14. (1)200 (2)所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200 (3)，反比例关系， 15. (1)，反 (2)，正 (3)， 16. (1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $