精品解析：重庆凤鸣山中学教共体2026-2027学年九年级上学期第一次定时作业数学试题

重庆凤中教共体2026—2027学年度上期 初2024级 数学 定时作业（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，负数的绝对值是它的相反数， ∴. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数为整式、自变量最高次数为2的特征逐项判断． 【详解】解：选项A：，自变量最高次数为，不符合题意； 选项B： 不是整式，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，自变量最高次数为，不符合题意． 3. 若，，则对应边上的高之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，解答即可. 【详解】解：∵，， ∴对应边上的高之比为. 4. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：，若，， ， ． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 6. 细胞分裂是生物的重要增殖方式．某单细胞生物的细胞数量随分裂次数变化的规律如图所示（圆圈代表细胞）：一个细胞，分裂1次后有2个细胞，分裂2次后有4个细胞，分裂3次后有8个细胞……按照此规律，第6次分裂后，细胞的个数是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】通过前3个图形中圆的个数找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， ∴第6次分裂后，细胞的个数是． 7. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确第一周到第三周共经历2次增长，结合增长率关系列方程. 【详解】解：∵第一周借阅人次为500，周平均增长率为x， ∴第二周借阅人次为，第三周借阅人次为. ∵第三周借阅人次为845， ∴可列方程. 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，进而得到，再根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于点F，交于点M，若M为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，，可证四边形是正方形，根据中点的定义可知，可证，根据全等三角形的性质可证，，根据正方形的性质可得，利用勾股定理可以求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 是正方形的对角线， 平分， ， 四边形是正方形， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ． 10. 已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用为正整数的条件，结合系数和为4的限制，分类讨论各系数的可能取值，逐一判断说法正误． 【详解】解：由题设知，为自然数，为正整数，且． ①判断：为正整数， 当时，至少含和两项，不可能为单项式． 当时，， 若为单项式，则，此时，即，仅1个，故①正确． ②判断：当时， 为正整数， ， ． 当时，，对应整式为． 当时，，正整数解为，对应整式为，，． 所有整式的和为， 与不符，故②错误． ③判断：二次三项式需满足且含3项， 为正整数， 项与项必存在， 需，即． 结合，，，得可能的组合： 时，，对应整式，； 时，，对应整式． 共3个二次三项式． 配方判断非负性：，，， 均为非负数，共3个，与“共有2个”不符，故③错误． 综上，正确的个数为1． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】四部影片被选中的可能性相等，总共有种等可能结果，选中目标影片只有种结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从四部影片中随机选一部，所有等可能的结果共种，恰好选到《奥德赛》的结果只有种， ∴所求概率为． 12. 若是整数，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，且是整数， ∴． 13. x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=-2，再利用x1是方程x2+2x-3=0的根得到x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，则x12+3x1+x2=x12+2x1+x1+x2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根， ∴x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，x1+x2=-2， 则x12+3x1+x2 =x12+2x1+x1+x2 =3-2 =1. 故答案是：1． 【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义． 14. 若实数，同时满足，，则_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的非负性、解一元一次方程，负整数指数幂，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性．根据绝对值的非负性得，，进而得到，关于的一元一次方程，求出的值、的值，再根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解： 和 ， ，， ，， 即， 当 时，无解； 当 时，，原方程化为， 解得， ， ． 故答案为：． 15. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为零，满足，那么称这个四位数为“智慧数”．例如：四位数．因为，所以是“智慧数”；四位数．因为，所以不是“智慧数”．若一个“智慧数”为，则这个数为________；若一个“智慧数”能被7整除，则满足条件的数的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据“智慧数”定义列方程求解第一个数； （2）推导一般“智慧数”的数位关系，结合被7整除的条件，从最小千位开始枚举得到最小的符合条件的数． 【详解】解：① 求解 ∵是“智慧数”，根据定义得 整理得 ，解得 ∴这个数为． ② 求能被整除的“智慧数”的最小值 设任意“智慧数”，根据定义得： ， 移项整理得 ， 要得到最小的四位智慧数，优先让千位取， ， 可得：是的倍数， ， ， 其中只有是的倍数， ， ， ， ， 下面让百位最小， 当时，，不符合题意， 当时，，与重复，不符合题意， 当时，，得到四位数， ， 符合智慧数的定义， 是智慧数， ， 能被整除， 满足条件的数的最小值是． 16. 如图，在中，，，，点E为边上一点，连接，将沿折叠得到．延长交于点P，且，则________；过点B作于点H，交于点G，连接，则G到的距离为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，则，，在中，由勾股定理列式计算求得；在中，由勾股定理求得，利用等积法求得，证明，求得，由折叠的性质知G到的距离等于． 【详解】解：由折叠的性质知，，， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴； ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 由折叠的性质知， ∴G到的距离等于． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为：，不等式组的整数解为，0，1，2，3 【解析】 【分析】先分别求两个不等式的解集，然后求公共解，确定所有整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为，0，1，2，3． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 由， ∴原式． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 67，69，70，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，97，97，97，98，99，100． 抽取的对A、B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，240人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但B款评分数据的中位数为87.5比A款的中位数88.5低， 所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （或B款聊天机器人更受用户喜爱，B款评分数据的众数为97比A款的众数96高）； （3）估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有54人 【解析】 【分析】（1）首先求出抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”所占百分比，然后用1减去其他等级的百分比即可求出a的值；首先计算抽取的对A款聊天机器人的评分数据中每个等级的人数，然后根据中位数的定义求出b的值；根据众数的定义求出c的值； （2）根据平均数，中位数和众数判断即可； （3）利用样本估计总体的方法列式求解． 【小问1详解】 解：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”所占百分比为 ∴ ∴； 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数为（人） “比较满意”的人数为（人），“满意”的人数为6人，“非常满意”的人数为（人）， ∵共有20个数据， ∴中位数为第10个数据88和第11个数据89的平均数 ∴中位数； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据中97出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有54人． 20. 如图，在平行四边形中，于E． （1）尺规作图：过点C作于F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）如图，为所作； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为半径画弧，交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 【答案】（1）水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元 （2）小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球 【解析】 【分析】（1）设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元． 根据题意列二元一次方程组得，，解得． 答：水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元； 【小问2详解】 解：设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球， 根据题意列分式方程得，，解得． 经检验是原方程的解， 当时，（个） 答：小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球． 22. 如图，在矩形中，，，动点P以每秒的速度从点A出发，沿折线的方向运动，同时点Q以每秒的速度从点C出发沿射线方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动．设运动时间为x秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 性质：当时，随x增大而增大； 当时，随x增大而减小，（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）当点P在线段上，，当点P在线段上，，据此求出关于x的函数关系式即可；由勾股定理可得，过点D作于点E，根据三角形面积公式求出，再根据，求出，即可求出关于x的函数关系式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得：， 当点P在线段上时，此时，， ∴； 当点P在线段上时，此时，则， ∴； 综上所述，； 如图，过点D作于点E， ∵， 又∵， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立得：，即， 解得：或（舍去）； 联立得：，即， 解得：或（舍去）； ∴由函数图象可得，当时，x的取值范围为或． 23. 为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】（1）的长度为 （2）解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【解析】 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． （1）求直线的解析式； （2）点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； （3）在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的周长最小为； （3）点的坐标为或； ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后把A、B两点坐标代入函数解析式，求出k、b的值即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设，则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为，证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示： 则：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 根据解析（1）同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当的周长最小时，点F的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 在中，，，绕点顺时针旋转度得到． （1）如图，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图，若，平分交于点，连接．过点作，在射线上取点，使得，连接．求证：； （3）如图，若，点是线段上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）4 （2）证明：如图，连接，与交于点O， 绕点C顺时针旋转角度得到， ，， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，整理得：， ， ， ， ，，， ，，三点共线，且是等腰三角形， ， ， ． （3）5 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，可推出，从而求得两底角的度数，继而得到，利用正切的定义求出，最终得解； （2）连接，与交于点O，通过角平分线的性质得到，证明，进而证得是等腰直角三角形，由勾股定理得出，从而推出，，三点共线，且是等腰三角形，最后利用线段和差关系即可证得结论； （3）过点P作交于点K，交于点O，过点Q作交的延长线于点H，延长交于点N，延长至点I，使，过点A作交于点J，由已知条件得出，证明，得到，，设，通过线段间等量代换推出四边形是矩形，四边形是正方形，此时点B在上，接着证明，，推出点M与点O重合，得到四边形是平行四边形，进一步得出，当点A、N、I三点共线时，取得最小值，设与的交点为，此时证得，由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，最后由等腰求得其直角边，通过三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点P作交于点K，交于点O，过点Q作交的延长线于点H，延长交于点N，延长至点I，使，过点A作交于点J， ∵将绕点P逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点O为的中点， ∵点M为的中点， ∴点M与点O重合， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点A、N、I三点共线时，取得最小值， 设与的交点为， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆凤中教共体2026—2027学年度上期 初2024级 数学 定时作业（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则对应边上的高之比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 细胞分裂是生物的重要增殖方式．某单细胞生物的细胞数量随分裂次数变化的规律如图所示（圆圈代表细胞）：一个细胞，分裂1次后有2个细胞，分裂2次后有4个细胞，分裂3次后有8个细胞……按照此规律，第6次分裂后，细胞的个数是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 7. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于点F，交于点M，若M为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 12. 若是整数，满足，则的值为________． 13. x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝_____． 14. 若实数，同时满足，，则_______． 15. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为零，满足，那么称这个四位数为“智慧数”．例如：四位数．因为，所以是“智慧数”；四位数．因为，所以不是“智慧数”．若一个“智慧数”为，则这个数为________；若一个“智慧数”能被7整除，则满足条件的数的最小值是________． 16. 如图，在中，，，，点E为边上一点，连接，将沿折叠得到．延长交于点P，且，则________；过点B作于点H，交于点G，连接，则G到的距离为________． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 67，69，70，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，97，97，97，98，99，100． 抽取的对A、B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，240人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 如图，在平行四边形中，于E． （1）尺规作图：过点C作于F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 22. 如图，在矩形中，，，动点P以每秒的速度从点A出发，沿折线的方向运动，同时点Q以每秒的速度从点C出发沿射线方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动．设运动时间为x秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． （1）求直线的解析式； （2）点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； （3）在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，绕点顺时针旋转度得到． （1）如图，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图，若，平分交于点，连接．过点作，在射线上取点，使得，连接．求证：； （3）如图，若，点是线段上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $