陕西渭南市澄城县城关中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

城关中学高二年级2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试题 一、选择题 1.过点和点的直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.已知的顶点为,,,则BC边上的中线长为( ) A.4 B.5 C. D. 3.已知椭圆的一个焦点是,则( ) A. B.3 C.5 D. 4.圆与圆的公切线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.若直线:与:()平行,则与间的距离是( ) A. B. C. D. 6.已知,是椭圆C的两个焦点,焦距为6.若P为椭圆C上一点,且的周长为16,则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 7.直线与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 8.已知点,,若直线与线段相交(包含端点的情况),则实数m的取值范围是( ) A. B. 或 C. D.或 二、多项选择题 9.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 10.已知椭圆()的左右焦点分别、,过且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点,若为直角三角形,则该椭圆C的离心率( ). A. B. C. D. 11.已知直线与圆,设点,则下列说法正确的是( ) A.若点P在直线l上,则直线l与圆C相切 B.若点P在圆C外,则直线l与圆C相离 C.若点P在圆C内,且异于原点,则直线l与圆C相离 D.若点P在圆C上,则直线l与x轴,y轴围成的三角形面积的最小值为1 三、填空题 12.已知三条直线,,相交于一点,则. 13.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为. 14.过原点且圆心在x轴上的圆C与圆外切,则圆C的标准方程为. 四、解答题 15.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为,点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 16.已知的三个顶点分别是,,. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线l过点A,且与直线平行,求直线l的方程; (3)求BC边上的中线所在直线的方程. 17.已知圆. (1)过点作圆的切线l,求直线l的方程; (2)若圆与圆相交于A,B两点,求. 18.如图,贵阳红枫湖湖面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为1个单位长度,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程. (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处,正沿着北偏东方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险? 19.已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程; (2)过点的直线l与圆A相交于M,N两点,当时,求直线l的方程; (3)已知实数x,y满足圆A的方程,求的取值范围. 参考答案 1.答案:B 解析:由已知直线的斜率, 设直线倾斜角为 ,则,, 所以. 故选:B. 2.答案:B 解析:设BC的中点为D,因为,,所以,所以BC边上的中线长.故选B. 3.答案:D 解析:因为椭圆的一个焦点是, 所以焦点在x上,则,, 所以,则. 4.答案:D 解析:由,得,则圆心坐标为,半径为2;由,得,则圆心坐标为,半径为1. 故两圆的圆心距为4,半径之和为3, 因为,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条. 故选D. 5.答案:C 解析:因为与平行,所以,得, 所以:, 所以与间的距离为. 故选:C. 6.答案:C 解析:根据题意,焦距,根据椭圆定义,周长为,解得,.则离心率为.故选C. 7.答案:C 解析:直线即,过定点, 因为圆的方程为, 则, 所以点在圆内,则直线与圆相交. 故选:C 8.答案:D 解析:整理直线l的方程,可知直线l恒过定点, 所以直线的斜率为,直线的斜率为, 直线l与线段相交(包含端点),则直线l的斜率需或: 当时,直线l的方程为,即y轴,与线段交于点,符合条件; 当时,直线l的斜截式方程为,斜率为, 若,解得;若,解得或, 综上,m的取值范围是或. 9.答案:AC 解析:中,令得,令得,故与两坐标轴的交点坐标为,.A选项,的两焦点坐标为,又为一个顶点,A正确;B选项,的两焦点坐标为,B错误;C选项,的两焦点坐标为,且为一个顶点,C正确;D选项,的两焦点坐标为,D错误.故选AC. 10.答案:CD 解析:当时,设,则由于,,, ,,椭圆C的离心率为, 当时,设,则由于,,, ,,椭圆C的离心率为, 故选:CD. 11.答案:ACD 解析:由题意得圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离, 选项A:点在直线l上,则,此时, 直线l与圆C相切,故A正确. 选项B:点P在圆C外,则,此时, 直线l与圆C相交,故B错误. 选项C:点P在圆C内,则,此时, 直线l与圆C相离,故C正确. 选项D:点P在圆C上,则. 直线l与x轴交于(),与y轴交于(), 围成三角形的面积为.由,得,故, 当且仅当时取等号,面积最小值为1,故D正确. 故选:ACD 12.答案:3 解析:由和联立,解得, 依题意,点在直线上,解得. 故答案为:3. 13.答案: 解析:设点关于对称点, 则, 解得, 即, 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为: 14.答案: 解析:因为圆C的圆心在x轴上, 所以设圆C的圆心C坐标为,半径设为r, 因为圆C过原点,所以有,即. 因为圆C与圆外切,所以有, 所以有, 两边同时平方得:, 即, 当时,,即,不成立,舍去. 当时,,即, 则, 所以圆C的标准方程为. 15.答案:(1) (2) 解析:(1)因为AB边所在直线的方程为,且AD与AB垂直, 所以边AD所在直线的斜率为-3. 又点在边AD所在直线上, 所以AD边所在直线的方程为,即. (2)由,解得,即点A的坐标为. 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为, 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又矩形ABCD外接圆的半径, 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为. 16.答案:(1) (2) (3) 解析:(1)直线BC的斜率,则BC边上的高所在直线的斜率为3, 所以BC边上的高所在直线的方程为,即. (2)依题意,设直线l的方程为,而直线l过点, 则,解得,所以直线l的方程为. (3)依题意,BC边的中点为, 因此BC边上的中线所在直线的斜率, 所以BC边上的中线所在直线的方程为,即. 17.答案:(1)或 (2) 解析:(1)圆的方程可化为, 则圆心,半径为2, 由,可知点P在圆的外部,作出圆及过点P的切线如图所示, 由图可知,过点P的切线l的斜率存在,设l的方程为,即, 则圆心到直线l的距离为,解得或, 所以直线l的方程为或. (2)由 两式相减得直线AB的方程为, 则圆心到直线AB的距离, 所以. 18.答案:(1) (2)该船没有触礁的危险 解析:(1)依题意,A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处,则点, 又B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处,则. 设过O,A,B三点的圆C的方程为, 则解得 所以圆C的方程为. (2)船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处,则, 而船D沿着北偏东方向行驶,则船D的航线所在直线l的斜率为, 则直线l的方程为,即. 由(1)知,圆C的标准方程为, 则圆C的圆心为,半径, 则圆心C到直线l的距离, 则,所以该船没有触礁的危险. 19.答案:(1) (2)直线l的方程为或 (3) 解析:(1)由题意知点到直线的距离为圆A的半径r, 由点到直线的距离公式可得点A到直线的距离, 所以圆A的方程为. (2)因为直线l与圆A相交于M,N两点,且,利用垂径定理和勾股定理, 可得圆心A到直线l的距离. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,圆心A到直线l的距离为1,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为, 由题意可得,解得, 所以直线l的方程为,即. 综上所述,直线l的方程为或. (3)表示点到的距离的平方, 又圆心A到的距离, 所以点到的距离的最小值为,最大值为, 所以的最小值为,最大值为, 则的取值范围为. 学科网(北京)股份有限公司 $