精品解析：陕西西安市经开第一中学2026-2027学年高二上学期第一次综合评价数学试卷

经开一中2026-2027学年度第一学期第一次综合评价 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：李向东 审核人：位浩帅 （考试范围：人教A版数学课本选择性必修第一册第1页—第77页） 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果. 【详解】点关于坐标原点的对称点为，. 故选：B. 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 4. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为四点共面， 所以向量共面，即存在实数使得， 又，，， 所以， 所以，解得，则. 故选：A. 5. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 6. 如图，平行六面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，即可求解. 【详解】， , . 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的数量积以及向量模的求法，属于基础题. 7. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 8. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出直线的斜率，结合图象即可求解. 【详解】由，得到，所以直线过定点， 又，，所以，， 又直线与线段有公共点，结合图象可知，， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选的得0分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 10. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当，到直线距离相等时， B. 当时，直线的斜率不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为-2 D. 当时，直线与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】当，到直线距离相等时，或，A错误，直线斜率为，B错误，取，则，C正确，计算，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，解得或，错误； 对选项B：时，，直线斜率为，错误； 对选项C：时，，取，则，正确； 对选项D：时，，，不过A点，，，正确； 故选：CD 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分 12. 已知直线：，：，若满足，则________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由直线垂直条件直接列式计算． 【详解】直线与直线垂直， ，解得. 故答案为：. 13. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为 向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量，． （1）若，求x； （2）设，，求； 【答案】（1）. （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）由，利用即可求解； （2）由，得存在实数，使得，进而得，又由，解出即可求解； 【小问1详解】 由，所以，解得； 【小问2详解】 由，所以存在实数，使得，即， 又因为，所以，解得， 当时，，当时，； 16. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若两条直线互相垂直且斜率存在，则两条直线斜率乘积为，再利用点斜式求解； （2）若两条直线互相平行，则它们的斜率相等，再利用点斜式求解. 【小问1详解】 由题可知：过点且与直线垂直的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得：. 【小问2详解】 由题可知：过点且与直线平行的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得： 17. 已知直线经过点. （1）若点到直线的距离为1，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； 【小问2详解】 当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明:因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即; （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： . 【点睛】 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ． 则，，． 设平面的法向量是，则，即 令，则，．于是． ，． 又平面，平面． (2) ； (3)存在满足题意的点，且的值为，理由如下： 假设存在满足题意的点，且：， 设点N的坐标为，据此可得：， 由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 由题意可得： 解得：， 据此可得存在满足题意的点，且的值为. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为．则， 即据此可得平面的一个法向量, 设二面角的平面角大小为，易知： 则，即． 二面角的正弦值为． （3）略 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开一中2026-2027学年度第一学期第一次综合评价 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：李向东 审核人：位浩帅 （考试范围：人教A版数学课本选择性必修第一册第1页—第77页） 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 5. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选的得0分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当，到直线距离相等时， B. 当时，直线的斜率不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为-2 D. 当时，直线与直线平行 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分 12. 已知直线：，：，若满足，则________ 13. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量，． （1）若，求x； （2）设，，求； 16. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； 17. 已知直线经过点. （1）若点到直线的距离为1，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $