第5章 一次函数 期末单元复习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版（2024）数学八年级上册期末单元复习 第5章 一次函数 题型一　函数的有关概念及图象 【例1】　以固定的速度向如图所示的洗脸槽中连续放水，水槽内壁是曲面弧形设计，水槽上方有一出水孔，以限制最高水位．x表示注水时间，y表示水槽里水面的高度，下列图象能大致表示y与x之间的函数关系的是(　 　) (例1) 　　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【变式跟进】1．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，有下列说法：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．其中正确的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　一次函数的图象与性质 【例2】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若kb＜0，则该函数的图象可能是(　 　) 　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【变式跟进】2．对于函数y＝－3x＋1，下列说法中，正确的是(　 　) A．它的图象必经过点(－1，3) B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 3．直线y＝－2x－1向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的直线是____________． 题型三　求一次函数的表达式 【例3】已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，(1，3)． (1)求k，b的值． (2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为(a，0)，求a的值． 【变式跟进】4．已知一次函数的图象经过点(0，3)，(2，－1)． (1)求该一次函数的表达式． (2)将该一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点坐标． 题型四　一次函数与一元一次不等式、一次方程(组) 【例4】直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解在数轴上表示正确的是(　 　) (例4) 　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【变式跟进】5．如图，已知一次函数y＝x＋2和一次函数y＝ax＋6的图象相交于点P，点P的横坐标为2，则方程y＝x＋2和方程y＝ax＋6的公共解为(　 　) (变式跟进5) A. B. C. D. 题型五　一次函数的实际应用 【例5】某通信公司对移动电话采取不同的收费方式．其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内的通话费用分别为y1(元)，y2(元)，与每月(30天)的通话时间x(min)之间的函数关系如图所示． (例5) (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数表达式． (2)请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡更便宜． 【变式跟进】6．文具店出售书包和文具盒，书包的定价为每个30元，文具盒的定价每个5元．该店制定了两种优惠方案： 方案一：买一个书包赠送一个文具盒； 方案二：购买书包和文具盒按总价的九折付款． 某班学生需购买8个书包和若干个文具盒(不少于8个)，设购买x个文具盒，付款总金额为y元． (1)分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数表达式． (2)请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱. 【巩固练习】 1．已知一次函数y＝(k＋2)x－1，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是(　 　) A．k＞2 B．k＜2 C．k＞－2 D．k＜－2 2．已知方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则2a＋b的值为(　 　) (第2题) A．－5 B．3 C．5 D．－3 3．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数关系如图所示．下列说法中，错误的是(　 　) (第3题) A．甲的速度是60 km/h B．乙比甲早1 h到达 C．乙出发3 h后追上甲 D．乙在A地和B地的中点处追上甲 4．小明做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表所示(漏出的水量精确到1mL)，已知用于接水的量筒最大容量为100mL. 时间t/s 10 20 30 40 50 60 70 量筒内水量V/mL 4 6 8 10 12 14 16 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以(t，V)为坐标描出表中数据对应的点． (第4题) (2)用光滑的曲线连结各点，猜测V与t之间的函数表达式为_______________． (3)①小明同学所用的量筒开始实验前，有水_____________mL． ②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是_____________s． ③按此漏水速度，半小时会漏水____________mL． 5．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝－1时，y＝8. (1)求该一次函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴的交点分别是点A，B.求△ABO的面积． 6．某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100t到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，相关信息如下表所示： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/t 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式． (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案． (3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少的总运费． 7．根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48 h内，某水库记录的水位变化如下表所示： 时间x/h 0 12 24 36 48 水位y/m 40 40.3 40.6 40.9 41.2 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系． (1)在不泄洪的条件下，写出一个函数表达式描述水位y随时间x的变化规律． (2)当水库的水位达到43 m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪． ①下雨几小时后必须泄洪？ ②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05 m，若水库的水位达到43 m时立即泄洪，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数表达式，并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度． 8．如图，直线y＝－x＋1与x轴、y轴分别相交于点A，B. (第8题) (1)求点A，B的坐标． (2)以线段AB为直角边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限内，∠BAC＝90°.求点C的坐标． (3)在(2)的条件下，若以Q，A，C为顶点的三角形和△ABC全等(点Q不与点B重合)，求点Q的坐标． 【参考答案】 题型一　函数的有关概念及图象 【例1】　以固定的速度向如图所示的洗脸槽中连续放水，水槽内壁是曲面弧形设计，水槽上方有一出水孔，以限制最高水位．x表示注水时间，y表示水槽里水面的高度，下列图象能大致表示y与x之间的函数关系的是(　D　) (例1) 　　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【方法指导】解这类函数图象描述事物的变化规律问题，关键是正确分析事物的变化过程，理解函数图象的横、纵坐标的含义，同时要注意函数自变量的取值范围． 【变式跟进】1．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，有下列说法：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．其中正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　一次函数的图象与性质 【例2】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若kb＜0，则该函数的图象可能是(　C　) 　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【方法指导】一次函数y＝kx＋b的图象和性质与k，b的关系如下表所示： k＞0 k＜0 图象 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 【变式跟进】2．对于函数y＝－3x＋1，下列说法中，正确的是(　C　) A．它的图象必经过点(－1，3) B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 3．直线y＝－2x－1向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的直线是__y＝－2x－2__． 题型三　求一次函数的表达式 【例3】已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，(1，3)． (1)求k，b的值． (2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为(a，0)，求a的值． 解：(1)由题意，得解得 (2)由(1)可知，y＝x＋2，∴当y＝0时，x＝－2，即a＝－2. 【方法指导】(1)求一次函数的表达式都是把已知点的坐标代入表达式，运用待定系数法求出k，b的值． (2)当求函数图象与坐标轴的交点坐标时，根据坐标轴的坐标特征，令自变量或函数值为零，求出符合题意的解． 【变式跟进】4．已知一次函数的图象经过点(0，3)，(2，－1)． (1)求该一次函数的表达式． (2)将该一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点坐标． 解：(1)设该一次函数的表达式为y＝kx＋b， 把点(0，3)，(2，－1)的坐标分别代入， 得解得 ∴该一次函数的表达式为y＝－2x＋3. (2)由题意得，平移后的函数表达式为y＝－2x＋6. 当y＝0时，－2x＋6＝0，解得x＝3， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(3，0)． 题型四　一次函数与一元一次不等式、一次方程(组) 【例4】直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解在数轴上表示正确的是(　B　) (例4) 　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 【方法指导】在自变量取值相同的情况下，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值． 【变式跟进】5．如图，已知一次函数y＝x＋2和一次函数y＝ax＋6的图象相交于点P，点P的横坐标为2，则方程y＝x＋2和方程y＝ax＋6的公共解为(　B　) (变式跟进5) A. B. C. D. 题型五　一次函数的实际应用 【例5】某通信公司对移动电话采取不同的收费方式．其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内的通话费用分别为y1(元)，y2(元)，与每月(30天)的通话时间x(min)之间的函数关系如图所示． (例5) (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数表达式． (2)请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡更便宜． 解：(1)设y1＝kx＋b，把点(0，29)，(30，35)的坐标分别代入， 得解得∴y1＝x＋29. 同理易知y2＝x. (2)当y1＝y2时，x＋29＝x，解得x＝96， ∴当通话时间等于96 min时，两种卡的通话费用相等； 当通话时间少于96 min时，使用“如意卡”更便宜； 当通话时间多于96 min时，使用“便民卡”更便宜． 【方法指导】(1)建立题目中的两个变量之间的函数关系，用待定系数法求出函数的表达式． (2)联立不同方案的函数表达式，求出函数图象的交点坐标． (3)利用一次函数的性质进行方案的设计或选择． 【变式跟进】6．文具店出售书包和文具盒，书包的定价为每个30元，文具盒的定价每个5元．该店制定了两种优惠方案： 方案一：买一个书包赠送一个文具盒； 方案二：购买书包和文具盒按总价的九折付款． 某班学生需购买8个书包和若干个文具盒(不少于8个)，设购买x个文具盒，付款总金额为y元． (1)分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数表达式． (2)请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱. 解：(1)由题意得， 方案一：y＝30×8＋5(x－8)＝5x＋200(x≥8)； 方案二：y＝(30×8＋5x)×90%＝4.5x＋216(x≥8)． (2)当5x＋200＝4.5x＋216时，解得x＝32. 当5x＋200＞4.5x＋216时，解得x＞32. 当5x＋200＜4.5x＋216时，解得x＜32. 答：购买32个文具盒时，两种方案付款相同； 购买文具盒超过32个时，方案二更省钱； 购买文具盒少于32个但不少于8个时，方案一更省钱． 【巩固练习】 1．已知一次函数y＝(k＋2)x－1，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是(　D　) A．k＞2 B．k＜2 C．k＞－2 D．k＜－2 2．已知方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则2a＋b的值为(　A　) (第2题) A．－5 B．3 C．5 D．－3 3．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数关系如图所示．下列说法中，错误的是(　C　) (第3题) A．甲的速度是60 km/h B．乙比甲早1 h到达 C．乙出发3 h后追上甲 D．乙在A地和B地的中点处追上甲 4．小明做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表所示(漏出的水量精确到1mL)，已知用于接水的量筒最大容量为100mL. 时间t/s 10 20 30 40 50 60 70 量筒内水量V/mL 4 6 8 10 12 14 16 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以(t，V)为坐标描出表中数据对应的点． (第4题) (2)用光滑的曲线连结各点，猜测V与t之间的函数表达式为__V＝t＋2__． (3)①小明同学所用的量筒开始实验前，有水__2__mL． ②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是__490__s． ③按此漏水速度，半小时会漏水__360__mL． 解：(1)如答图所示． (第4题答图) (2)如答图所示． 5．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝－1时，y＝8. (1)求该一次函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴的交点分别是点A，B.求△ABO的面积． 解：(1)设该一次函数的表达式为y＝kx＋b， 由题意，得解得 ∴该一次函数的表达式为y＝－2x＋6. (2)当y＝0时，－2x＋6＝0，解得x＝3，∴点A(3，0)． 当x＝0时，y＝－2x＋6＝6，∴点B(0，6)，∴S△ABO＝×3×6＝9. 6．某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100t到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，相关信息如下表所示： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/t 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式． (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案． (3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少的总运费． 解：(1)由题意，得6x＋5y＋4(20－x－y)＝100. 整理，得y＝－2x＋20. (2)由(1)可知，装运食品、药品、生活用品三种物资的车辆数分别为x，20－2x，x. 由题意，得解得5≤x≤7. ∵x为整数，∴x＝5，6，7，相应的20－2x＝10，8，6. 答：安排方案有3种． 方案一：装运食品5辆，药品10辆，生活用品5辆； 方案二：装运食品6辆，药品8辆，生活用品6辆； 方案三：装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆． (3)设总运费为W(元)，则W＝6x·120＋5(20－2x)·160＋4x·100＝16 000－480x. ∵－480＜0，∴W的值随x的增大而减小，故x＝7时，总运费最少，∴应采取方案3， ∴W最小＝16 000－480×7＝12 640(元)． 答：应采取的安排方案为装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆，最少的总运费为12 640元． 7．根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48 h内，某水库记录的水位变化如下表所示： 时间x/h 0 12 24 36 48 水位y/m 40 40.3 40.6 40.9 41.2 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系． (1)在不泄洪的条件下，写出一个函数表达式描述水位y随时间x的变化规律． (2)当水库的水位达到43 m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪． ①下雨几小时后必须泄洪？ ②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05 m，若水库的水位达到43 m时立即泄洪，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数表达式，并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度． 解：(1)观察表格易知y与x之间满足一次函数关系，∴设y＝kx＋b. 由题意，得解得 ∴y＝x＋40. (2)①当y＝43时，43＝x＋40，解得x＝120. 答：下雨120 h后必须泄洪． ②7×24＝168(h)． 当120≤x≤168时，由题意，得y＝43－0.05(x－120)＝－x＋49. 当x＝168时，y＝－×168＋49＝40.6， 当停止下雨(即x＞168)时，y＝40.6－×(x－168)＝－x＋53.2. 综上所述，y＝ 当y＝40时，－x＋49＝40，解得x＝180(不符合题意，舍去)． 或－x＋53.2＝40，解得x＝176，176－120＝56(h)． 答：泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度． 8．如图，直线y＝－x＋1与x轴、y轴分别相交于点A，B. (第8题) (1)求点A，B的坐标． (2)以线段AB为直角边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限内，∠BAC＝90°.求点C的坐标． (3)在(2)的条件下，若以Q，A，C为顶点的三角形和△ABC全等(点Q不与点B重合)，求点Q的坐标． 解：(1)令y＝0，则x＝，令x＝0，则y＝1，∴点A(，0)，点B(0，1)． (2)如答图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠BOA＝90°. (第8题答图①) 由(1)可知，OA＝，OB＝1，则AB＝＝2. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BAO＝∠ACD，∴△ABO≌△CAD(AAS)， ∴AD＝BO＝1，CD＝AO＝，∴OD＝OA＋AD＝＋1， ∴点C的坐标为(＋1，)． (3)分三种情况讨论： Ⅰ.当点Q在AC左上方时，如答图②， (第8题答图②) 当△CAQ1≌△ABC时， ∠CAQ1＝∠ABC＝45°， ∴易得∠AFC＝90°，即AQ1⊥BC， ∴点F平分BC和AQ1， ∴点F的坐标为. 又∵点A(，0)，∴点Q1的坐标为(1，＋1)； Ⅱ.当点Q在AC的右下方，∠CAQ＝90°时，如答图③，过点Q2作Q2G⊥x轴于点G. (第8题答图③) 当△AQ2C≌△ABC时，AQ2＝AB. ∵∠BAO＝∠Q2AG，∠AOB＝∠AGQ2＝90°， ∴△AOB≌△AGQ2(AAS)， ∴Q2G＝BO＝1，AG＝AO＝， ∴点Q2的坐标为(2，－1)； Ⅲ.当点Q在AC的右下方，∠ACQ＝90°时， 如答图④，过点C作CH∥y轴，过点Q3作Q3H∥x轴． (第8题答图④) 易得∠BOA＝∠CHQ3＝90°. 当△CQ3A≌△ABC时，CQ3＝AB. ∵CH∥y轴，∴∠OBC＋∠BCH＝180°. ∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠OBA＋∠ACH＝90°. 又∵∠HCQ3＋∠ACH＝90°， ∴∠OBA＝∠HCQ3，∴△BOA≌△CHQ3(AAS)， ∴Q3H＝AO＝，CH＝BO＝1. ∵点C(＋1，)，∴点Q3的坐标为(2＋1，－1)． 综上所述，点Q的坐标为(1，＋1)，(2，－1)，(2＋1，－1)． 学科网（北京）股份有限公司 $