专题17一次函数的实际应用问题5大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“建模-解模-用模”为主线，系统整合利润、方案等5类实际应用题型，提炼通法与题型模版，强化一次函数性质的综合应用，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利润问题|4题|利润公式+增减性求最值|建立利润与销量的一次函数关系| |方案问题|4题|多函数比较+区间最优选择|利用函数交点划分方案选择区间| |行程问题|4题|图象关键点分析+分段函数|路程-时间关系的函数图象表征| |分段计费|4题|分段函数建模+端点值处理|根据计费标准构建分段函数模型| |其他背景|4题|实际情境变量抽象+解析式求解|工程、温度等情境的一次函数应用|

专题17 一次函数的实际应用问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数实际应用-利润问题 题型2、一次函数实际应用-方案问题 题型3、一次函数实际应用-行程问题 题型4、一次函数实际应用-分段计费问题 题型5、一次函数实际应用-其它背景问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的实际应用问题，核心是把实际问题中的数量关系抽象为函数模型（通常设一次函数），再用待定系数法求解析式，最后利用函数性质（增减性、最值、交点等）解决具体问题。解题时要特别注意：①读懂题意，明确自变量与因变量的实际意义；②根据题意合理确定自变量取值范围；③分段函数要分段讨论，分段画图标出关键点；④利润、方案、行程、计费等问题常涉及最值或比较，要联系一次函数增减性及端点值进行分析；⑤方案设计与选择问题要列出不同方案的总费用或总量函数，通过比较函数值大小或图象交点确定最优方案。 ◆一次函数实际应用-利润问题 题型模版 题型特征：以商品销售、生产利润为背景，建立利润与单价、销量、成本之间的一次函数关系，求最大利润或盈亏条件。 解题方法：明确利润=收入-成本，或利润=单件利润×销量；设出一次函数解析式，代入已知条件求k、b；根据自变量范围结合增减性求最值。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 2．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 3．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 4．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）某景区一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)五·一长假期间，该超市推出两种优惠活动（游客只能享受其中一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品总数为件或件以上，赠送件甲种纪念品； 活动二：一次性购买纪念品总数为件或件以上，乙种纪念品打九折． 某游客需要（为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友，其中件甲种纪念品，其余全部是乙种纪念品．该游客结算时发现：活动二比活动一的付款方式更优惠． ①若选活动二比选活动一的花费能节省元，求的值； ②设活动二比活动一节省的金额为元，写出关于的函数表达式（要求注明自变量的取值范围），并求的最大值． 题型模版 题型特征：给出两种或多种收费、租赁、运输等方案，要求选择最省、最多或最优方案。 解题方法：分别写出各方案的费用（或总量）关于自变量的函数关系式；求函数交点，划分自变量区间；结合实际问题意义比较各区间最优方案。 5．某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 6．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 7．（25-26七年级下·山东烟台·期末）某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 8．新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 题型模版 题型特征：以运动、追及、相遇为背景，用一次函数图象或解析式描述路程、时间、速度关系。 解题方法：明确横、纵轴含义（通常为时间与路程/速度）；抓住起点、交点、转折点；分段写出函数关系式；利用交点坐标求相遇时间，利用斜率比较速度。 9．一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 10．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距的、两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． (1)求乙车的行驶速度； (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式； (3)求甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 12．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）请你帮小聪拟定游玩计划． 【信息1】：如图①所示为某风景区的游览地图． 【信息2】：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上从古刹出发． 【信息3】：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程（米）与时间（分）的函数关系如图②所示． 【信息4】：小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭． (1)确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速． (2)探究时间：求出小聪到达草甸的具体时刻． (3)拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次． 题型模版 题型特征：水费、电费、电话费、出租车费等按用量分段计价，要求计算费用或反求用量。 解题方法：读懂分段标准与对应单价，写出分段函数；根据用量所在区间选择对应解析式；注意端点值归属及“不超过”“超过”等关键词。 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 16．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 活动主题 图书购买方案的选择 活动背景 阅读是提升素养的重要途径，图书采购的性价比直接影响阅读资源的获取成本．某校综合实践小组以“图书购买方案选择”为主题开展项目学习，探究不同书店的购书费用与购买数量之间的函数关系，为班级图书角建设提供最优采购建议． 活动任务 探究甲、乙两个书店销售同一系列图书的费用（元）与购买数量（本）之间的函数关系． 研究步骤 ．采集数据：调研区域内甲、乙两个书店该系列图书的销售规则； ．描述数据：对收集的信息进行整理描述； ．信息分析：形成结论． 采集数据 信息（甲书店）：该系列图书售价为元/本，无论购买多少均无折扣． 信息（乙书店）：该系列图书的基础售价为元/本，但购买量超过本时，超出部分打折销售． 信息（乙书店小票统计）：部分购书记录如下表（验证计费规则合理性）： 购买量/本 … 付款金额/元 … 描述数据   根据信息表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图像，可以确定自变量在和的范围内都是的一次函数关系． 问题解决： (1)分别写出在甲、乙两个书店购买该系列图书的付款金额（元）与购买数量（本）（且为整数）之间的函数关系式； (2)若班级计划购买一批该系列图书（购买数量为正整数），请通过计算说明：如何选择书店更省钱？ 题型模版 题型特征：以工程、温度、高度、容积、几何等实际情境为背景，用一次函数描述变化过程并求解。 解题方法：提取关键数据，确定两个变量之间的线性关系；用待定系数法求解析式；注意单位统一和实际问题对自变量范围的限制。 17．某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式．现有一壶的水经过8分钟烧至后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温与时间（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． (1)求的值为______． (2)已知时，，求当时水温与时间之间的函数关系式，并求出的值． (3)当时，求此时电热水壶中水的温度是多少． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 20．浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：   套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 21．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则如图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（    ） A． B． C． D． 24．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（    ） A． B．15 C． D． 25．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某景区，两个景点相距14千米．每隔20分钟有一辆观光车从景点出发，匀速开往景点，去时需要35分钟，到景点时游客下车需要3分钟，观光车再从景点匀速返回景点，又需要28分钟． (1)观光车从景点出发，经过20分钟与景点相距______千米； (2)观光车从景点出发，经过分钟，离景点的距离为千米，写出往返一次与的函数关系式； (3)观光车从景点返回景点的途中，会与______辆观光车相遇，并求第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离． 26．（25-26八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 为弘扬“裴氏文化”，我县某学校计划组织八年级师生开展“裴氏家训润故土，崇文尚德兴闻喜”的研学活动．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用中型、大型两种型号的客车用于接送师生． 【实践信息】 信息①：该客运公司有中型、大型两种型号的客车共25辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示． 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 30 40 日租金（元/辆） 500 800 信息②：在这25辆客车都坐满的情况下，共载客900人． (1)求该旅游客运公司中型、大型两种型号的客车各有多少辆？ (2)该学校计划租用中型、大型两种型号的客车共12辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过8500元． ①至少要租用多少辆中型客车？ ②若八年级的师生共有420人，请直接写出最省钱的租车方案． 27．如表是某工厂生产的一种产品信息表．产品运输件数等于收到的订单数，多余的生产产品不需要运输． 生产信息表 出厂价每件1.2万元 处理方案 每吨废渣处理费 每次设备损耗费 流程 每件成本 生产 0.45万元 直接处理 0.05万元 10万元 运输 0.1万元 集中处理 0.1万元 0 废渣排放 平均原材料每生产1件产品产生1吨废渣 (1)为了节省资源，求出产品生产件数满足什么条件时，应选择直接处理废渣方案？ (2)工厂计划生产一批产品，现有资金110万，且全部用完． ①若产品生产件数比订单数多70件，废渣处理方案二选一，求出产品生产的件数是多少． ②为响应“碳达峰”，将两种废渣处理方案并行，为了利润最大化，且市场需求量大，则如何安排废渣处理方案可使得总利润最大？最大总利润为多少元？ 28．端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 (1)求关于的函数表达式． (2)已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某加工为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人积极性．工人每人加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线，如图所示． (1)求工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费； (2)求加工费y和加工个数x的函数表达式； (3)小王两天一共加工了60个零件，共得加工费220元．在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数． 30．（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 31．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）“烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江”武汉作为历史文化名城，近年来文旅产业蓬勃发展．某文创商店销售两款具有代表性的武汉特色纪念品“晴川阁模型”和“大桥书签”．该店先花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，很快销售一空；后又花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”．已知每个“晴川阁模型”的售价为35元，每盒“大桥书签”的售价为18元． (1)求每个“晴川阁模型”和每盒“大桥书签”的进价； (2)该店计划继续购进这两种纪念品共200件，其中购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元．设购进“晴川阁模型”个，销售这批纪念品的利润为元．购进这两种纪念品各多少元时，销售这批纪念品可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“大桥书签”出厂价下调了元（），且限定该店最多购进“晴川阁模型”100个．在（2）的条件下，若该店最终获得的最大利润是2500元，直接写出的值是_________． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（台） 乙型号（台） 总费用（万元） 第一次 4 2 42 第二次 3 5 49 已知甲型号服务器每台每月可产生数据处理收益10万元，乙型号每台每月可产生收益6万元． (1)求甲、乙两种型号的服务器每台采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过152万元，购买两种服务器共20台（两种型号均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于180万元．请为该公司设计合理的采购方案（写出所有可能的方案）． (3)如果公司决定投入130万元，恰好全部用于购买甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现最大收益的购买方案及最大收益金额． 33．“五一”假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到“三味书屋”参观，小区与“三味书屋”的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达“三味书屋”，图中折线OABC和线段分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据（图1）回答下列问题：    (1)直接写出甲在“三味书屋”参观的时间； (2)求图中点P（与交点）的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间的距离为y千米，当时，请在（图2）中画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象． 34．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： (1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ (2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． (3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 35．（25-26八年级下·广东广州·期末）某综合与实践小组为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，开展了以下研究． 【问题背景】 如图，某饮水机内有两个大小不同的长方体水箱，两水箱各配有一条注水速度相同的智能水管．当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱（此时乙箱水满）．当甲乙两箱的水位相同时，2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作（注水期间饮水机不对外出水）． 【问题分析】 该小组根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图所示． 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)函数图象①描述的是水箱 （填“甲”或“乙”）的水位变化情况； (2)求出图中的值； (3)直接写出函数图象②的解析式； (4)为节约能源，设定两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，已知加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟各耗电度，求图15整个注水过程中饮水机所消耗的电量． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 一次函数的实际应用问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数实际应用-利润问题 题型2、一次函数实际应用-方案问题 题型3、一次函数实际应用-行程问题 题型4、一次函数实际应用-分段计费问题 题型5、一次函数实际应用-其它背景问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的实际应用问题，核心是把实际问题中的数量关系抽象为函数模型（通常设一次函数），再用待定系数法求解析式，最后利用函数性质（增减性、最值、交点等）解决具体问题。解题时要特别注意：①读懂题意，明确自变量与因变量的实际意义；②根据题意合理确定自变量取值范围；③分段函数要分段讨论，分段画图标出关键点；④利润、方案、行程、计费等问题常涉及最值或比较，要联系一次函数增减性及端点值进行分析；⑤方案设计与选择问题要列出不同方案的总费用或总量函数，通过比较函数值大小或图象交点确定最优方案。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 ◆一次函数实际应用-利润问题 题型模版 题型特征：以商品销售、生产利润为背景，建立利润与单价、销量、成本之间的一次函数关系，求最大利润或盈亏条件。 解题方法：明确利润=收入-成本，或利润=单件利润×销量；设出一次函数解析式，代入已知条件求k、b；根据自变量范围结合增减性求最值。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 【答案】任务一： 任务二：，乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤 任务三：9.55元/斤 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 任务一：利用待定系数法求解即可； 任务二：根据题意，分别将甲、乙两种葡萄的进货量及各自的销售总额用含x的代数式表示出来，再根据“总利润甲品种葡萄的利润乙品种葡萄的利润”列式并化简，根据w随的变化情况和x的取值范围，确定当x为何值时w取最大值，并求出最大值，从而求出此时甲品种葡萄的进货量； 任务三：求出混合销售葡萄获得的利润及甲、乙两种品种葡萄的进货总金额，从而计算出成本，根据“销售定价（成本利润）销售数量”作答即可． 【详解】解：任务一：设直线函数解析式为, 将，代入，得 ， 解得， ∴直线函数解析式为． 任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为斤， 乙葡萄的利润， 甲葡萄的利润， ∴， ∵， ∴时，利润最大， 此时 ， 即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤． 任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤， 总成本（元）， 总利润（元）， 让利给购买者后的利润（元）， 总销售额为：（元）， 销售价（元/斤）， 即销售价应定为：9.55元/斤． 2．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （杯）， 制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 3．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，频数分布直方图，解题的关键是求出相应的解析式； （1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料80吨得到成品草莓酱的吨数即可解答， （3）根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为 （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨） 乙生产线分配到草莓原料80吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的销售总额（万元）； （3）解：当工厂与农场的路程距离，甲生产线减重率为0.05；设甲生产线的产品销售价格为，与距离的关系式为，把，，，代入得： ，解得：， 即当，甲生产线的产品销售价格为， 当工厂与农场的路程距离，由图象可知甲产品销售价格下降，收购价格增大，甲生产线减重率增大，变为0.10，故利润会降低，故选址应该. 设甲生产线分配到的草莓原料为x吨，则乙生产线分配到的草莓原料为吨， 则：甲生产线的生产成本（万元）为：，甲生产线的销售总额（万元）为：； 乙生产线的生产成本（万元）为：，乙生产线的销售总额（万元）为：； 采购成本为： 设总利润， ∴， ∴，s越大利润也大，即时，利润最大，， ∵甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍； ∴，， ∵随增大而增大， ∴时， 4．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）某景区一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)五·一长假期间，该超市推出两种优惠活动（游客只能享受其中一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品总数为件或件以上，赠送件甲种纪念品； 活动二：一次性购买纪念品总数为件或件以上，乙种纪念品打九折． 某游客需要（为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友，其中件甲种纪念品，其余全部是乙种纪念品．该游客结算时发现：活动二比活动一的付款方式更优惠． ①若选活动二比选活动一的花费能节省元，求的值； ②设活动二比活动一节省的金额为元，写出关于的函数表达式（要求注明自变量的取值范围），并求的最大值． 【答案】(1)甲种纪念品的单价为元，乙种纪念品的单价为元 (2)①②（，且为整数），的最大值为 【分析】（1）设甲、乙纪念品单价为未知数，根据题干总价等量关系列二元一次方程组，解方程组得到两种纪念品单价． （2）①先分别表示出两种优惠活动的花费代数式，依据节省元的差价等量关系列一元一次方程，求解得到的值．②用活动一花费减去活动二花费得到节省的金额与的函数关系式，结合自变量取值范围，利用一次函数增减性求出的最大值． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价为元，乙种纪念品的单价为元，根据题意，得： ， 解得． 答：甲种纪念品的单价为元，乙种纪念品的单价为元． （2）解：设活动一的花费为元，活动二的花费为元． ①由题意，得：， ． ∵选活动二比选活动一的花费能节省元， ， 解得． ②（，且为整数）， 由一次函数的性质可知随的增大而增大． ，且为整数， ∴当时，最大，最大值为． ◆一次函数实际应用-方案问题 题型模版 题型特征：给出两种或多种收费、租赁、运输等方案，要求选择最省、最多或最优方案。 解题方法：分别写出各方案的费用（或总量）关于自变量的函数关系式；求函数交点，划分自变量区间；结合实际问题意义比较各区间最优方案。 5．某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 【答案】(1)①20；②租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆；720元 (2)60辆 【分析】（1）①根据车辆数和价格列出方程并解方程即可；②设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元．根据租金总额列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：①若A型观光车租用4辆，则B型观光车租用辆，C型观光车租用辆， 由题意可得， 解得， 即该单位一共租了辆观光车． ②解：设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元． 可得 ， 随x的增大而减小 当时，； 此时租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆； （2）由题意得， ， ，即， ， 又为4的倍数． 最大为． 6．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】(1)，， (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 (3)当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少， 【分析】（1）根据题意分别列出的函数关系式，根据题意列出不等式组求得的取值范围； （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，进而根据一次函数的性质，即可求解． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，结合一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：据题意得：， ． ， ． （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， ，随的增大而增大， 由，且要求无吨调配，均大于且为整数， 当时，， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， 当，即时，随的增大而减小， 由，要运费最少，取最大值（保证城运往乡）． 当时，． 当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期末）某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 【答案】(1)甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元 (2)共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株 (3)选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元 【分析】（1）设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）设成本为，得出关于的一次函数，结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元， 由题意得， 解得， ∴甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元； （2）解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的取值为，，， ∴共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株； （3）解：在（2）的前提下，设成本为， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最小为， 故选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元． 8．新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【分析】（1）设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人，根据“工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱”列方程组求解即可； （2）①根据“用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同”列方程求解即可； ②当时，，设购进中堂画m幅，则购进对幅条，根据题意，列不等式求出，设销售利润为w元，根据题意列出函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． ◆一次函数实际应用-行程问题 题型模版 题型特征：以运动、追及、相遇为背景，用一次函数图象或解析式描述路程、时间、速度关系。 解题方法：明确横、纵轴含义（通常为时间与路程/速度）；抓住起点、交点、转折点；分段写出函数关系式；利用交点坐标求相遇时间，利用斜率比较速度。 9．一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 【答案】(1) (2)第二次相遇时间为 (3)乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜 【分析】（1）最远距离的2倍即为比赛总路程； （2）第二次相遇是在到之间的两直线的交点处，利用待定系数法求出甲和乙的函数解析式，求出交点的横坐标即可； （3）乙组获胜需满足时间少于，用路程除以时间即可得到获胜的速度． 【详解】（1）解：比赛总路程为． （2）解：由图可知，第二次相遇是在到之间的两直线的交点处． 设， 把和代入中，得 ， 解得， ∴； 设， 把和代入中，得 ， 解得 ， 令， 解得． ∴第二次相遇时间为． （3）解：从函数关系图可知，乙比甲晚到：， 当乙组同学的速度为：时，两组同学同时到达． ∴乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜． 10．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距的、两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． (1)求乙车的行驶速度； (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式； (3)求甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围． 【答案】(1)乙车的速度是 (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式为 (3) 【分析】（1）根据速度公式，结合图象进行求解即可； （2）设刚出发时甲车的速度是，则再出发时速度为，根据总路程列出方程，求出a的值，再用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，再求出甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为，然后求出甲、乙两车之间的距离为时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 乙车的速度是； （2）解：设刚出发时甲车的速度是，则再出发时速度为，根据题意得： ， 解得：， ∴交通管制前甲车的速度为， ∴交通管制前行驶的路程为， 设甲行驶时的位置为点M， ∴M点的坐标为， 设甲车在交通管制前关于的函数表达式为，把代入得： ， 解得：， 甲车在交通管制前关于的函数表达式为； （3）解：设乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为，把，代入得： ， ∴乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，此时， 甲车刚出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，此时， 设甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为， ， 解得或（舍去）， ， 解得， 甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围是． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)线段，所在直线的函数表达式分别为、 (2)小明、小丽第二次相遇时的值为 (3)的值为或 【分析】本题考查一次函数与行程问题，准确理解题意以及掌握一次函数与行程问题的联系是解题的关键． （1）根据图象即题干信息，可得出线段所在直线为正比例函数表达式，结合点的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段对应的速度，即为一次函数中的值，结合点的坐标，可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点的横坐标，得其所对应的值； （3）根据题意，可得出当时，恰在线段所在范围内，故，解出对应的值即可． 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， 故段的速度也为， 根据题意可知，点， 故令线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值， 故， 得， 解得， 故小明、小丽第二次相遇时的值为． （3）解：当时，得 得此时， 故当时，恰在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得或， 故的值为或． 12．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）请你帮小聪拟定游玩计划． 【信息1】：如图①所示为某风景区的游览地图． 【信息2】：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上从古刹出发． 【信息3】：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程（米）与时间（分）的函数关系如图②所示． 【信息4】：小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭． (1)确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速． (2)探究时间：求出小聪到达草甸的具体时刻． (3)拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次． 【答案】(1)米/分 (2)点分 (3)小聪在草甸最多游玩分钟，坐第三趟车前往飞瀑，飞瀑最多游玩分钟，从第四趟车回古刹 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）结合图像，利用往返总路程除以时间即可得出答案； （2）确定第二趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为，当时，求出对应的的值即可； （3）先确定：首趟观光车于早上从古刹出发到中午一共运行：（趟），推出第五趟车到达飞瀑已是点，得出小聪必须从第四趟车从飞瀑出发，才能在前赶回古刹吃中饭，进一步确定第四趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为，当时，求出对应的的值，可得出答案． 【详解】（1）解：∵小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩， ∴（米/分） 即电动观光车的车速为米/分； （2）解：根据题意：电动观光车匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计）， 由图知：电动观光车从古刹到飞瀑需分钟，返回也是分钟， 由（1）知：第一趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为， 设第二趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为，过点，， ∴， 解得：， ∴第二趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为， 当时，， 解得：， ∴小聪到达草甸的具体时刻是点分； （3）解：由图可得：观光车来回一趟所需时间为分钟， ∵首趟观光车于早上从古刹出发，小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭， ∴（小时），（趟） ∴第五趟车到达飞瀑已是点， ∴小聪必须从第四趟车从飞瀑出发，才能在前赶回古刹吃中饭， 设第四趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴第四趟前往飞瀑的观光车与的函数关系式为， 当时，， 解得：， 即小聪离开飞瀑时间是第分钟， ∴小聪在草甸最多游玩分钟，坐第三趟车前往飞瀑，飞瀑最多游玩分钟，从第四趟车回古刹． ◆一次函数实际应用-分段计费问题 题型模版 题型特征：水费、电费、电话费、出租车费等按用量分段计价，要求计算费用或反求用量。 解题方法：读懂分段标准与对应单价，写出分段函数；根据用量所在区间选择对应解析式；注意端点值归属及“不超过”“超过”等关键词。 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 16．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 活动主题 图书购买方案的选择 活动背景 阅读是提升素养的重要途径，图书采购的性价比直接影响阅读资源的获取成本．某校综合实践小组以“图书购买方案选择”为主题开展项目学习，探究不同书店的购书费用与购买数量之间的函数关系，为班级图书角建设提供最优采购建议． 活动任务 探究甲、乙两个书店销售同一系列图书的费用（元）与购买数量（本）之间的函数关系． 研究步骤 ．采集数据：调研区域内甲、乙两个书店该系列图书的销售规则； ．描述数据：对收集的信息进行整理描述； ．信息分析：形成结论． 采集数据 信息（甲书店）：该系列图书售价为元/本，无论购买多少均无折扣． 信息（乙书店）：该系列图书的基础售价为元/本，但购买量超过本时，超出部分打折销售． 信息（乙书店小票统计）：部分购书记录如下表（验证计费规则合理性）： 购买量/本 … 付款金额/元 … 描述数据   根据信息表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图像，可以确定自变量在和的范围内都是的一次函数关系． 问题解决： (1)分别写出在甲、乙两个书店购买该系列图书的付款金额（元）与购买数量（本）（且为整数）之间的函数关系式； (2)若班级计划购买一批该系列图书（购买数量为正整数），请通过计算说明：如何选择书店更省钱？ 【答案】(1)甲书店：（且为整数）；乙书店：（且为整数） (2)当时，，选择甲书店更省钱， 当时， 由得， ，选择甲书店更省钱， 由得，， ，选择甲书店和乙书店的书钱一样多， 由得，， ，选择乙书店更省钱， 综上所述，当时，选择甲书店更省钱；当时，选择甲书店和乙书店的书钱一样多；当时，选择乙书店更省钱． 【分析】（1）甲书店：根据“无折扣，单价元/本”，直接由“总价单价数量”，写出一次函数关系式（且为整数）；乙书店：当时，按基础单价元/本，写出；当时，用待定系数法求出解析式，再合并写成分段函数； （2）分情况比较两家书店费用大小：当时，直接比较与，得甲书店更省钱；当时，通过比较与的大小，分别解不等式、等式、不等式，得出、、时对应的省钱方案，最后综合所有情况得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，甲书店：（且为整数）； 乙书店：当时，， 当时，设此函数的表达式为， 将，代入，得 ， 解得， 乙书店：（且为整数）； （2）略 ◆一次函数实际应用-其它背景问题 题型模版 题型特征：以工程、温度、高度、容积、几何等实际情境为背景，用一次函数描述变化过程并求解。 解题方法：提取关键数据，确定两个变量之间的线性关系；用待定系数法求解析式；注意单位统一和实际问题对自变量范围的限制。 17．某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式．现有一壶的水经过8分钟烧至后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温与时间（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． (1)求的值为______． (2)已知时，，求当时水温与时间之间的函数关系式，并求出的值． (3)当时，求此时电热水壶中水的温度是多少． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据保温模式工作原理，由重新加热到目标温度，结合图象可得值； （2）设当时水温与时间之间的函数关系式为，由工作模式可知，当时，水温降至，开始重新加热，当时，，利用待定系数法求出解析式，再求出时，的值即可解答； （3）由（1）（2）可知，每7分钟为一个循环，温度先从下降到，再从上升到，其中温度下降的过程为3分钟，温度上升的过程为4分钟，据此可求出第分钟的温度． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）设当时水温与时间之间的函数关系式为， 由题意知，当时，，当时，， ，解得， 当时水温与时间之间的函数关系式为， 当时，，解得，即； （3）设第一次降温时水温与时间的函数解析式为， 把，代入解析式得， ，解得， 第一次降温时水温与时间的函数解析式为， 当时，，解得， （分钟），（分钟）， 第二次降温时水温与时间的函数解析式为， 第二次保温时水温与时间的函数解析式为，第三次降温时水温与时间的函数解析式为， 当时，， 答：当时，电热水壶中水的温度是． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得； （2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为； （3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为． 【详解】（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程， 故当1分钟时，铁块高度为， 故答案为：8． （2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 令，得，解得， 所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为． （3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为， 所以水的总体积为， 所以每分钟甲容器中的水倒出， 所以乙容器1～3分钟水的体积增加了， 因为乙容器 1～3 分钟水面升高了， 所以乙容器的底面积为． 因为丙容器的底面积为， 所以当水面为高时，丙容器中水的体积为， 此时甲容器中剩余的水的体积为， 所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度． 故答案为：24． 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 【答案】(1)；8， (2)； 【分析】（1）设，根据待定系数法解答即可； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为d，则________． （2）根据,得，，，，，根据定义计算解答即可． 设优化后解析式为，根据定义，计算，后配方，利用非负性，确定最小值解答即可． 本题考查了待定系数法，新定义，配方法，实数的非负性应用，熟练掌握等等洗发水，非负性，配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 解：当时，，此时它与时观测值的偏差值记为d， 则， 故答案为：8，． （2）解：根据,得，，，，， 故． 设优化后的解析式为，由解析式过点，得， 故新解析式为， 根据题意，得，，，，， 故 而， 故当时，取得最小值， 此时， 解得， 故优化后的解析式为． 20．浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：   套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 【答案】任务一：（且为整数），（且为整数）；任务二：他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．任务三：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据购买任意种类包子6个，豆浆2碗，结合套餐中豆浆的数量，再选择购买方式即可； （3）分三种情况依次列不等式进行讨论即可． 【详解】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当且为整数时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意， 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元， 再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意， 选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意， ∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗． 任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包， ∴， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 选择B套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗， 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． ◆压轴挑战 21．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则如图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别计算出货车到达乙地的时间、小汽车到达乙地的时间以及小汽车返回甲地的时间，结合y表示离乙地的距离，据此分析图像的起点、终点及转折点即可解答． 【详解】解：∵甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时， ∴出发时，两车离乙地的距离均为180千米，即图像起点为， 小汽车到达乙地所需时间为（小时），此时，小汽车返回甲地所需时间也为2小时，即时，小汽车回到甲地，离乙地的距离； 货车到达乙地所需时间为（小时），此时， ∵， ∴小汽车先到达乙地（图像先触底），货车后到达乙地（图像后触底），最后小汽车返回甲地（图像回到最高点） 观察各选项，只有C选项符合题意． 22．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意判断出函数表达式是解题的关键． 对于，根据题意判断出函数表达式为，对当时、当时求出对应的变量值，即可判断正误；对于需要根据题意作逐步判断． 【详解】设时，存水量y与放水时间x的解析式为， 把、代入得， ， 解得：， 则解析式为：； 当时，升，故该项正确； 当时，，故该项错误； 由图可知，前2分钟排水量为1升，则每个学生接水量是升， 则个同学需接水升， 存水量升， ∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：（升）， ∴所用时间分钟， 故该项正确； ④当时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟饮水机的存水量， 这8分钟饮水机的流水量为：（升）， 则8分钟接水的人数为：， 则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：． 故课间10分钟最多有32人及时接完水， 故该项正确； 则正确的有共三个． 故选：C． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用与立体图形体积的计算，核心是通过分析图像的分段特征，分析不同阶段的注水体积的变化，利用方程思想求解未知量． 通过分析注水过程中水的体积的变化，利用方程组求解注水的速度和圆柱底面积，进而计算圆柱形水槽的容积． 【详解】解：由题意可得：秒时，水槽内水面的高度为， 秒后水槽内水面的高度变化趋势改变， 正方体的棱长为， 正方体的体积为， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意可得， 解得， 圆柱形水槽的容积为． 故选：． 24．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（    ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用，分过程探讨所需要的时间是解题的关键．根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可． 【详解】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为， 根据题意得：，， ， ， ， ，， 乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李， 此时，时间过去：， 行李离起点的距离为， 乘客找回行李所用时间为：， 此时，乘客离终点的距离为：， 乘客找行李后，走到终点，所用时间为：， 整个过程共耗时11分钟， ， 整理得：，即， 若该乘客直接走到终点，则所用时间为：， 将代入，得：， 行李到达终点所用时间为：， 将代入，得：， 还需要等待， 故选：A． 25．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某景区，两个景点相距14千米．每隔20分钟有一辆观光车从景点出发，匀速开往景点，去时需要35分钟，到景点时游客下车需要3分钟，观光车再从景点匀速返回景点，又需要28分钟． (1)观光车从景点出发，经过20分钟与景点相距______千米； (2)观光车从景点出发，经过分钟，离景点的距离为千米，写出往返一次与的函数关系式； (3)观光车从景点返回景点的途中，会与______辆观光车相遇，并求第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离． 【答案】(1)6 (2) (3)3；第一次相遇时观光车离景区的距离为千米 【分析】本题考查了分段函数的实际应用与行程问题中的相遇问题，解题的关键是根据观光车行驶的不同阶段建立分段函数模型． （1）先算出去程速度，再求出20分钟行驶的路程，最后用总距离减去已行驶路程，得到与景点B的距离． （2）将观光车往返过程分为去程、停留、返程三个阶段，分别计算每个阶段离景点B的距离，从而建立分段函数关系式． （3）先确定返程时间区间，再分析该区间内从A点发车的观光车的行驶状态，找出会相遇的车辆数量；第一次相遇时，根据两车离B点的距离相等列方程求解． 【详解】（1）解：去程速度：（千米/分钟） 20分钟行驶的路程：（千米） 与B景点的距离：（千米） 故答案为：6； （2）解：观光车往返一次的总时间：（分钟），分三段讨论 ①去程阶段：， 行驶路程为，离B的距离， ②停留阶段：， 到达B景点后停留3分钟，离B的距离不变，， ③返程阶段：， 返程速度：千米/分钟， 返程的行驶时间：， 返程行驶的路程：， 离B的距离， 综上，函数关系式为：； （3）解：观光车返程时间，从A出发的车发车时间，20，40，60， 当，车返程时间，和当前车同时间段返程，同向不相遇， 当：时，该车已行驶18分钟（去程），还在去程（），后续会和返程的车相遇， 当：时发车，去程，会和返程的车相遇， 当：时发车，此时返程车还有分钟到A，会相遇， 车辆相遇，共3辆； 第一次相遇（的车与返程车）， 设相遇时间为分钟， 返程车行驶时间：，离B的距离：， 的车行驶时间：，离B的距离： 则， 解得， 离B的距离：（千米）， 答：会与3辆观光车相遇，第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离为千米． 26．（25-26八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 为弘扬“裴氏文化”，我县某学校计划组织八年级师生开展“裴氏家训润故土，崇文尚德兴闻喜”的研学活动．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用中型、大型两种型号的客车用于接送师生． 【实践信息】 信息①：该客运公司有中型、大型两种型号的客车共25辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示． 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 30 40 日租金（元/辆） 500 800 信息②：在这25辆客车都坐满的情况下，共载客900人． (1)求该旅游客运公司中型、大型两种型号的客车各有多少辆？ (2)该学校计划租用中型、大型两种型号的客车共12辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过8500元． ①至少要租用多少辆中型客车？ ②若八年级的师生共有420人，请直接写出最省钱的租车方案． 【答案】(1)中型客车10辆，大型客车15辆． (2)①至少租用4辆中型客车；②最省钱的租车方案为租用中型客车6辆，大型客车6辆． 【分析】（1）根据车辆总数和总载客量两个条件列二元一次方程组求解； （2）①根据总费用不超过预算列一元一次不等式，求出中型客车的最少租用数量； ②结合载客量要求得到所有可行方案，根据总费用随中型客车数量的变化规律得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设该旅游客运公司中型客车有辆，大型客车有辆， 根据题意得：， 解得． 答：该旅游客运公司中型客车10辆，大型客车15辆； （2）解：①设租用中型客车辆，则租用大型客车辆， 根据租车总费用不超过8500元得：， 解得， ∵是正整数， ∴的最小值为4， 答：至少要租用4辆中型客车； ②根据师生共420人，可得载客量要求：， 解得， 结合①可知， 设租车总费用为元，则， ∵， ∴随的增大而减小， 因此当取最大值6时，最小，此时． 答：最省钱的租车方案为租用中型客车6辆，大型客车6辆． 27．如表是某工厂生产的一种产品信息表．产品运输件数等于收到的订单数，多余的生产产品不需要运输． 生产信息表 出厂价每件1.2万元 处理方案 每吨废渣处理费 每次设备损耗费 流程 每件成本 生产 0.45万元 直接处理 0.05万元 10万元 运输 0.1万元 集中处理 0.1万元 0 废渣排放 平均原材料每生产1件产品产生1吨废渣 (1)为了节省资源，求出产品生产件数满足什么条件时，应选择直接处理废渣方案？ (2)工厂计划生产一批产品，现有资金110万，且全部用完． ①若产品生产件数比订单数多70件，废渣处理方案二选一，求出产品生产的件数是多少． ②为响应“碳达峰”，将两种废渣处理方案并行，为了利润最大化，且市场需求量大，则如何安排废渣处理方案可使得总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】(1)产品生产件数满足大于200时，应选择直接处理废渣方案 (2)①产品生产的件数为180件；②生产166件产品，158件产品产生的废渣直接处理，8件产品产生的废渣集中处理，可获得最大利润为元． 【分析】（1）设产品生产件数为x件，依题意及表格中的数据可得用含的代数式表示出的直接处理花费及集中处理花费，当直接处理花费大于集中处理花费时，可得关于的不等式，解不等式即可得出结论； （2）①设产品生产的件数为m件，根据直接处理花费、集中处理花费两种情况分别列出关于的方程，解方程即可得出符合题意的结论； ②设生产a件，其中b件产品产生的废渣直接处理，件产品产生的废渣集中处理，得到关于的函数，再由a，b均为正整数，且，可得若，则，解得，进而得当时，，解得，此时，可求得最大总利润． 【详解】（1）解：设产品生产件数为x件， 直接处理花费：万元， 集中处理花费：(万元)， 依题意有：， 解得． 答：产品生产件数满足大于200时，应选择直接处理废渣方案； （2）①解：设产品生产的件数为m件，依题意有： ， 解得（不合题意舍去）， 或， 解得． 答：产品生产的件数为180件； ②解：为了利润最大化，产品的生产件数与订单数一致，设生产a件，其中b件产品产生的废渣直接处理，件产品产生的废渣集中处理， ， 整理，可得， ∵a，b均为正整数，且，利润为万元， ∴a取最大值时利润最大，若，则，解得， ∴当时，，解得，此时，最大总利润为(万元)， 又∵万元元， ∴生产166件产品，158件产品产生的废渣直接处理，8件产品产生的废渣集中处理，可获得最大总利润为元． 28．端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 (1)求关于的函数表达式． (2)已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)①片；②加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元 【分析】（1）根据表格信息，可得，整理即可求解； （2）①设用去绒布片，根据题意列出不等式组，可得，，再根据一次函数的性质，即可求解；②设总利润为元，则，根据题意列出不等式组，可得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，， ， 则关于的函数表达式为； （2）解：①设用去绒布片， 根据题意，得，解得， ， ， 随的增大而减小， 当最大取100时，取得最小值，为片， 则至少要用去绒布片； ②设总利润为元， 则， ， ， 当时，，随的增大而减小， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 当时，元， 当时，，随的增大而增大，，时，取得最大值为元， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 综上可知：当，时，取得最小值为元；当，当时，取得最大值为元； 则加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某加工为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人积极性．工人每人加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线，如图所示． (1)求工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费； (2)求加工费y和加工个数x的函数表达式； (3)小王两天一共加工了60个零件，共得加工费220元．在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数． 【答案】(1)3元 (2) (3)10个 【分析】此题考查一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，函数图象和性质，分类讨论，是解题的关键． （1）当时，由图象可知加工20个零件，加工费是60元，由此得出每个零件的加工费； （2）用待定系数法求当时，；当时，；当时，； （3）设小王第一天加工零件a个，则第二天加工零件个，由可知，其中加工费为3元的20个，加工费4元的20个，加工费5元的个，根据每一段中，加工一个零件的费用，列方程求解. 【详解】（1）解：（1）由图象可知， 当时， 每个零件的加工费为元． 即工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费为3元． （2）解：当时， 由（1）知，． 当时， 设， 将，代入， 得． 解得． ∴． 当时， 设y与x的函数关系式为（）， 将代入， 得． 解得． ∴y与x的函数关系式为． ∴． （3）解：设小王第一天加工零件a个， 则第二天加工零件个， 依题意，得， 解得， 答：小王第一天加工零件的个数为10个. 30．（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【答案】(1) 如图． (2)在同一条直线上， (3) 【分析】（1）直接在平面直角坐标系中描点； （2）利用待定系数法求解，并检验； （3）先求出增中一个型碗增加的度数，再结合（2）求得的一次函数表达式求解． 【详解】（1）略 （2）观察发现描出的各点在同一条直线上， 设这条直线的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：. 这条直线对应的函数表达式为； 检验：当时，； 当时，． 表中所有数据都满足函数，所以这些点在同一条直线的图象上； （3）∵把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm， ∴每增加一个型碗，高度增加为（）， ∴个型碗增加的高度为（）， ∴一个型碗的高度为（）， ∵由（1）可知型碗满足函数， ∴把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，这些碗的总高度为（）． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，描点法画一次函数的图象，待定系数法求一次函数的表达式，根据一次函数表达式求函数值等知识点，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． 31．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）“烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江”武汉作为历史文化名城，近年来文旅产业蓬勃发展．某文创商店销售两款具有代表性的武汉特色纪念品“晴川阁模型”和“大桥书签”．该店先花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，很快销售一空；后又花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”．已知每个“晴川阁模型”的售价为35元，每盒“大桥书签”的售价为18元． (1)求每个“晴川阁模型”和每盒“大桥书签”的进价； (2)该店计划继续购进这两种纪念品共200件，其中购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元．设购进“晴川阁模型”个，销售这批纪念品的利润为元．购进这两种纪念品各多少元时，销售这批纪念品可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“大桥书签”出厂价下调了元（），且限定该店最多购进“晴川阁模型”100个．在（2）的条件下，若该店最终获得的最大利润是2500元，直接写出的值是_________． 【答案】(1)每个“晴川阁模型”的进价为20元，每盒“大桥书签”的进价为10元 (2)当购进“晴川阁模型”2000元、“大桥书签”1000元时，销售这批纪念品可获得最大利润，最大利润为2300元 (3)2 【分析】（1）设每个“晴川阁模型”的进价为m元，每盒“大桥书签”的进价为n元，根据花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”建立方程组求解即可； （2）根据利润计算公式列出w关于x的一次函数关系式，根据数量限制和总金额限制列不等式组，确定x的取值范围，据此利用一次函数的性质求解即可； （3）同（2）列出w关于x的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个“晴川阁模型”的进价为m元，每盒“大桥书签”的进价为n元， 由题意得，， 解得， 答：每个“晴川阁模型”的进价为20元，每盒“大桥书签”的进价为10元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元， ∴， 解得，且x为整数， ∵在中，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：当购进“晴川阁模型”2000元、“大桥书签”1000元时，销售这批纪念品可获得最大利润，最大利润为2300元； （3）解：由题意得，， 由（2）得，且x为整数， 当时，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得； 当时，，此时不符合题意； 当时，则， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得，不符合题意； 综上所述，． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（台） 乙型号（台） 总费用（万元） 第一次 4 2 42 第二次 3 5 49 已知甲型号服务器每台每月可产生数据处理收益10万元，乙型号每台每月可产生收益6万元． (1)求甲、乙两种型号的服务器每台采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过152万元，购买两种服务器共20台（两种型号均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于180万元．请为该公司设计合理的采购方案（写出所有可能的方案）． (3)如果公司决定投入130万元，恰好全部用于购买甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现最大收益的购买方案及最大收益金额． 【答案】(1)甲型号服务器每台采购价格为8万元，乙型号服务器每台采购价格为5万元． (2)共有三种采购方案：方案一：购进甲15台，乙5台；方案二：购进甲16台，乙4台；方案三：购进甲17台，乙3台． (3)最大收益的购买方案为购进甲15台，乙2台，最大收益为162万元． 【分析】（1）设甲型号服务器每台采购价格为x万元，乙型号服务器每台采购价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买甲型号服务器a台，则购买乙型号服务器台，根据题意列出一元一次不等式组求解； （3）设购买甲型号服务器m台，乙型号n台，m，n为正整数，根据题意得，，表示出，求出，设总收益为w，表示出w，然后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲型号服务器每台采购价格为x万元，乙型号服务器每台采购价格为y万元， 根据题意得， 解得 答：甲型号服务器每台采购价格为8万元，乙型号服务器每台采购价格为5万元； （2）解：设购买甲型号服务器a台，则购买乙型号服务器台， 根据题意得， 解得 ∵a为正整数， ∴，16，17 ∴共有三种采购方案：方案一：购进甲15台，乙5台；方案二：购进甲16台，乙4台；方案三：购进甲17台，乙3台； （3）解：设购买甲型号服务器m台，乙型号n台，m，n为正整数， 根据题意得，， ∴ 解得， 设总收益为w， 根据题意得， ∵ ∴w随m的增大而增大， ∵m，为正整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为 ∴， 答：最大收益的购买方案为购进甲15台，乙2台，最大收益为162万元． 33．“五一”假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到“三味书屋”参观，小区与“三味书屋”的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达“三味书屋”，图中折线OABC和线段分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据（图1）回答下列问题：    (1)直接写出甲在“三味书屋”参观的时间； (2)求图中点P（与交点）的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间的距离为y千米，当时，请在（图2）中画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象． 【答案】(1)甲在“三味书屋”参观的时间为20分钟； (2)P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米； (3)见解析． 【分析】（1）由函数图象可知甲在“三味书屋”参观时间为20分钟； （2）分别求出直线和直线的函数表达式，联立解方程组可得点P的坐标，得到实际意义； （3）根据特殊点的意义画出函数图象即可． 【详解】（1）由图象可知，甲在“三味书屋”参观的时间为（分钟）， 故答案是20分钟； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， 即， ∴直线的函数表达式为； 当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为， ∵， ，解得， 直线的解析式为， ，                                解得． 当时，． ．                     答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． 故答案是：当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． （3）如图，即为y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．        【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数解析式是关键． 34．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： (1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ (2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． (3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 【答案】(1)每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人 (2)当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元 (3)该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用 （1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据素材2列二元一次方程组求解即可； （2）由素材3求出a的取值范围，求出总租金的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，根据题意列出二元一次方程，得到，结合题意得到或，求出n的值，进而判断是否符合n为整数且即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 由素材2得：， 解得：， ∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 由素材3得：， ， ， ， ∵a为整数， ∴， 总租金， ∵，R随a增大而增大， ∴当时，R最小， 此时B型车数量为辆， （元）， ∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元； （3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生， 由题意：， ， ∵n为整数，且（B型车最多搭载20人）， ∴为整数，是23的因数， ∵23为质数， ∴或， 即或， 当时，，不合理， 当时，，合理， 学生数， ∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动． 35．（25-26八年级下·广东广州·期末）某综合与实践小组为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，开展了以下研究． 【问题背景】 如图，某饮水机内有两个大小不同的长方体水箱，两水箱各配有一条注水速度相同的智能水管．当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱（此时乙箱水满）．当甲乙两箱的水位相同时，2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作（注水期间饮水机不对外出水）． 【问题分析】 该小组根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图所示． 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)函数图象①描述的是水箱 （填“甲”或“乙”）的水位变化情况； (2)求出图中的值； (3)直接写出函数图象②的解析式； (4)为节约能源，设定两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，已知加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟各耗电度，求图15整个注水过程中饮水机所消耗的电量． 【答案】(1)甲 (2) (3) (4)整个注水过程中饮水机所消耗的电量为0.35度 【分析】（1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得函数图象①描述的是水箱甲的水位变化情况； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值； （3）利用待定系数法分段进行求解即可； （4）分三种情况算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量加热的时间两根水管工作的8分钟的用电量即可求出答案． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴函数图象①描述的是水箱甲的水位变化情况． （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． （3）解：当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 综上可知，函数图象②的解析式为： （4）解：当时，若，则，解得； 当时，若，则，解得；     当时，若，则，解得． 当，时，饮水机启动加热． 整个注水过程中饮水机所消耗的电量为： 答：整个注水过程中饮水机所消耗的电量为0.35度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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