四川成都市树德中学2026-2027学年高一上学期数学素养训练（二）

成都树德中学高2026级高一上期数学素养训练（二） 时间：60分钟 班级：___________姓名：___________ 一、选择题：本题共5 小题，每小题 5 分，共25 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 2．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 5. ，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 6．下列说法中，正确的是（     ） A．的近似值的全体构成一个集合 B． C．在整数集中，若，则 D．若，则且 7．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 8．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 9. 已知实数满足，则的最小值为______. 10．已知，则的取值范围是 11．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 四、解答题：本题共3 小题，共 42分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12．(本题12分) 已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 13.（本题15分） (1)若，求函数的最小值，并求此时的值； (2)设，求函数的最大值； (3)若，求的最小值． 14．(本题15分) ．笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 成都树德中学高2026级高一上期数学素养训练（二）答案 一、单选题 【答案】D 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 2．【答案】C 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题，当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且，综上，实数的取值范围为. 3．【答案】D 【详解】因为，，所以，A错误；取，，，则，B错误；因为，所以，C错误；因为，所以，所以，D正确. 4. 【答案】B 【详解】由于，且， 而，则， 即，所以，即. 5.【答案】B 【详解】由， 即，而， 则， 即，得，所以. 二、多选题 6．【答案】BCD 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合，显然，故B正确； 对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确. 7．【答案】AD 【详解】对于A：由题意，，.所以，.当且仅当，即，，取等号，故A正确；对于B：，由（1）知，所以，即，故B不正确；对于C：.所以，故C错误；对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 8．【答案】BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确，又，即，当且仅当时等号成立，故D正确，由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，因为，由，得，即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 三、填空题： 9. 【答案】36 【详解】已知实数满足，即， 所以，当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 10．【答案】 【详解】设，则，解得，故.由，， 得，，两式相加得，即的取值范围为. 11．【答案】 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则，要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 四、解答题： 12．(本题12分) 【详解】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得，综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则，则，即，则， ，，即，故实数的取值范围为. 13.（本题15分）【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立．因为，所以函数的最大值为. （3）因为都是正实数，，所以 ，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为18； 14．(本题15分) 【详解】（1）因为，且， 所以，； （2），，且为质数，，或，， 当，时，则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号，又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时，则由新定义可知：，，，当且仅当，即时取等号； 综上可知. 4 学科网（北京）股份有限公司 $