专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合中元素的个数问题 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【解题思路】根据题意得到，再结合求解即可. 【解答过程】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为__________. 【答案】 【解题思路】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【解答过程】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【解答过程】（1）证明：若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）证明：假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合， ， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 题型2 根据元素与集合的关系求参数 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 7．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【解题思路】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【解答过程】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C. 8．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为___________． 【答案】 【解题思路】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【解答过程】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 9．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 10．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【解答过程】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 题型3 有限集合子集、真子集的确定 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 12．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）满足条件⫋ 的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用列举法，列举满足题意的集合，即可得解. 【解答过程】由已知可得集合中至少有个元素，且其中一定有，两个元素， 则满足题意的集合有，，，，，，， 共有个， 故选：C. 13．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为____________． 【答案】14 【解题思路】解不等式并应用列举法确定集合中元素的个数，进而求非空真子集个数. 【解答过程】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14. 14．（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【解题思路】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)时，；时， (3)且 【解题思路】（1）根据条件得，即可求解； （2）分和两种情况，当时，直接求出，当时，根据条件得，即可求解； （3）根据条件得方程有两个不等实数根，即可求解. 【解答过程】（1）当时，由，即，解得或， 所以，则的所有子集为. （2）时，由，得，此时，符合题意， 时，由，解得， 由，即，解得，此时，符合题意， 故时，；时，. （3）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根， 所以，解得且， 综上，实数的取值范围为且. 题型4 集合间的关系中的参数问题 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【解题思路】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【解答过程】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B. 17．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【解答过程】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 20．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)当时，可以为任意实数；当时，. 【解题思路】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【解答过程】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 题型5 集合的交、并、补集混合运算 21．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解不等式化简集合，由补集和交集的定义求. 【解答过程】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 故选：A. 22．（25-26高一上·广东清远·期末）设全集，则集合中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】先计算在中的补集，再与求交集，最后统计元素数量. 【解答过程】因为，所以. ，因此. ，故. 集合包含个元素. 故选：B. 23．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =____________. 【答案】 【解题思路】根据题设画出Venn图即可求解. 【解答过程】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：.    24．（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）根据集合交集、并集运算可直接得出结果； （2）由补集定义以及混合运算法则即可求出结果. 【解答过程】（1）集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . （2）依题意可得， ， 所以， . 25．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【解答过程】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 题型6 Venn图表达集合的关系和运算 26．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【解答过程】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以 . 故选：C. 27．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据交集、并集、补集的概念求出. 【解答过程】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 28．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________. 【答案】 【解题思路】由韦恩图可知阴影部分表示，根据集合间的运算直接可得解. 【解答过程】由韦恩图可知阴影部分表示， 又,，则， 所以. 故答案为：. 29．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 30．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)  ， 【解题思路】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：    . 题型7 容斥原理的应用 31．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 32．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【解答过程】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 33．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【解题思路】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【解答过程】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    34．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【解题思路】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 35．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【解题思路】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【解答过程】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 题型8 集合的基本运算中的参数问题 36．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 37．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 38．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【解答过程】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为：. 39．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【解答过程】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 40．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【解答过程】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 题型9 集合中的结构不良题 41．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【解答过程】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 43．（25-26高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)选择①，实数的取值范围是；选择②，选择③：的取值范围是：． 【解题思路】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出； 时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围． 【解答过程】（1）时，，， ∴； （2）若选择①，则， 时，，解得； 时，，解得：； 综上知，实数的取值范围是； 若选择②，则的子集，， 时，，解得； 时，或，解得：或 综上所述，的取值范围是：； 若选择③，则： 时，，解得； 时，或者解得：或 综上知，实数的取值范围是：． 44．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【解答过程】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述：. 45．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①或者选②或者选③， 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 题型10 集合新定义 46．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【解答过程】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C. 47．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【解答过程】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 48．（25-26高一上·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则___________. 【答案】 【解题思路】由集合新定义结合交集的运算可得. 【解答过程】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 49．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，或； (3) 【解题思路】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【解答过程】（1）证明：设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 50．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）根据集合的新定义计算即可； （2）根据集合的新定义计算，结合集合相等的条件即可得证； （3）设满足题意，，分析中那些必然不同的元素，得到，，进而可得，再找到中最小的元素为，最大的元素为，从而得到.利用不等式的传递性，可得，然后构造的例子，说明存在性即可得到的最大值． 【解答过程】（1）由集合，得，，， 因此，又，，，所以. （2）证明：由集合，， 得集合的元素在，，， 中产生， 且，， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为，，，，且与或或重复， 又，所以，即. （3）依题意，， 设满足题意，， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为，最大的元素为，， 因此，即，解得， ，. 则，，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合中元素的个数问题 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为__________. 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 题型2 根据元素与集合的关系求参数 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 7．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 8．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为___________． 9．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 10．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 12．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）满足条件⫋ 的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为____________． 14．（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 题型4 集合间的关系中的参数问题 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 17．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是____________． 19．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围. 20．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 题型5 集合的交、并、补集混合运算 21．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东清远·期末）设全集，则集合中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =____________. 24．（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 25．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 题型6 Venn图表达集合的关系和运算 26．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________. 29．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 30．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 题型7 容斥原理的应用 31．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 32．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 33．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 34．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 35．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 题型8 集合的基本运算中的参数问题 36．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 38．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 39．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 40．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 题型9 集合中的结构不良题 41．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 43．（25-26高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 44．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 45．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型10 集合新定义 46．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 48．（25-26高一上·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则___________. 49．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 50．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $