江苏省郑梁梅高级中学2026-2027学年高二上学期9月份学情调研数学试题

2026-2027学年度高二年级9月份学情调研 数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ） A． B． C．2 D． 2．若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．直线与直线所成角是（ ） A． B． C． D． 4．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 5若直线过点，则的最小值为（ ） A．7 B． C．6 D． 6．过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 8．A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B．若过点的直线的斜率是2，则 C．两平行直线与之间的距离为，则或 D．直线关于直线对称的直线为 10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A． B．圆关于直线对称 C．圆与y轴相切 D．的最大值为9 11．已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（ ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．点到直线的距离是___________． 13．已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 14．已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知的顶点，顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为 （1）求直线AB的方程； （2）若AC边上的中线所在的直线方程为，求m的值． 16．已知两直线 （1）求直线和的交点P的坐标； （2）若过点P作圆的切线有两条，求m的取值范围； （3）若直线与不能构成三角形，求实数a的值． 17．已知圆C的圆心在直线上，且经过点 （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．已知表示圆C的方程． （1）求实数m的取值范围； （2）当圆C的面积最大时，求过点圆的切线方程； （3）为圆上任意一点，已知，在的条件下，求的最小值． 19．设，圆过三个点． （1）求圆的方程； （2）设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆相交于两点不与原点重合，直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 2026-2027学年度高二年级9月份学情调研数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1．【答案】D【详解】由题知，所以直线的斜率为． 2．【答案】A 【解析】由题意可得，直线过圆心，则，解得． 故选：A 3．【答案】B 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果． 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以． 故选：B 4．【答案】B 【解析】【分析】本题考查了由直线与圆的位置关系求参数，是基础题． 首先根据题意得到曲线表示半圆，再结合图象即可得到直线与曲线有且仅有一个公共点时的取值范围． 【解答】 解：将方程变形为． 当直线与曲线相切时，满足， 即，解得． 由图可知，当或时， 直线与曲线有且仅有一个公共点． 故选：B． 5【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得，代入目标函数并化简得： ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为6． 6．【答案】A 法一：留一代一 法二：留一代一 【分析】作出辅助线，得到点共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】 如图所示，连接， 由平面几何知，，点共圆，且为直径． 因为，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即． 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为． 故选：A 7．【答案】D 【分析】把坐标代入两条直线和得， 求出，再用两点式方程求过点的直线的方程． 法一：同构 法二：【详解】把坐标代入两条直线和，得 ， 过点的直线的方程是：， ，则， ， 所求直线方程为：． 故选：D 8．【答案】C 【解析】解：设的中点的坐标为， 因为是圆上两点，， 所以， 所以，即的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 因为在圆上存在点恰为线段的中点， 则的轨迹与圆有公共点， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为． 故选：C． 设的中点的坐标为，由圆的弦长公式求出的轨迹，通过的轨迹与圆有公共点建立不等式组，求解即可． 本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于中档题． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9．【答案】CD 【解析】解：，令，解得， 令，解得， 直线在两坐标轴上的截距相等， 则，解得，故错误； 过点的直线的斜率是2， 则，解得，故B错误； 直线与平行， 则， 两平行直线与之间的距离为， 则，解得或-2，故C正确； 直线， 则，由反函数的定义可知，， 故直线关于直线对称的直线为，故D正确． 故选：CD． 结合截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，即可求解． 本题主要考查截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，是基础题． 10．【答案】ABD 【解析】解：方程表示以（2，-4）为圆心，4为半径的圆， 故它的标准方程为，故，故A正确； 由于圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 由于圆心到轴的距离为2，小于半径4，故圆和轴相交，故C错误， 结合圆心到点的距离为5， 而表示圆上的点到点的距离， 故的最大值为，故D正确， 故选：ABD． 把圆的一般方程和标准方程作对比，可得的值，再利用两点间的距离公式，得出结论． 本题主要考查圆的一般方程和标准方程，两点间的距离公式，属于中档题． 11．【答案】AD 【分析】，当时有最小值， 求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于可以任意接近可以任意接近，从而可判断B； 设点，求出直线的方程， 整理得， 由可得直线过的定点可判断； 直线所过定点为，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D． 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即， 此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点在直线上运动时，的取值范围是， 因此 的值可以趋近于可以无限接近0，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，则， 易知在点处的切线方程分别为， 将点分别代入两切线方程得， 所以直线方程为，整理得， 代入得， 解方程组得 所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时， 则的最小值为，故选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】2 【解析】点到直线的距离． 故答案为：2． 13．【解析】【分析】 本题考查两圆的公切线条数，满足条件的直线条数的求法，是中档题． 由已知得直线与以为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以为圆心，2为半径的圆相切， 即直线是圆与圆的公切线，由圆心距离， 得两圆相外切，从而求出满足条件的直线有3条． 【解答】 解：点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 14．【答案】9 【解析】令，则． 设点的坐标为，点坐标为， 则， 整理得， 而该圆的方程为， 则，解得 故点的坐标为， 所以． 如图，过点作垂直于于点，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】． 【解析】（1）因为的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为， 依题意，直线的斜率为2， 又，所以直线的方程为， 即； （2）由点在轴上，设， 则线段的中点， 由点在直线上，得， 解得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为-6． （1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线0上求出值． 本题考查两条直线互相垂直的性质的应用及两点的中点坐标的求法，属于基础题． 16．【答案】解：（1）联立方程组 即直线和的交点的坐标； （2）由题意知点在圆外，， 的取值范围为； （3）若直线与不能构成三角形，则或或过点， 当时，则，，满足题意； 当时，，，满足题意； 当过点时， ， 故实数的值为． 【解析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与不能构成三角形的情况即为或或过点，由此可求得的值． 本题考查了直线的交点问题，涉及到直线间的平行关系，属于基础题． 17．【答案】解：（1）设圆的方程为， 则， 联立解得，满足， 圆的方程为，即． （2）直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则，满足． 直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 由题意可得， 解得， 直线的方程为，即． 综上可得，直线的方程为：． 【解析】本题考查了求圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交问题、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （1）设圆的方程为， 可得 ，联立解得，即可得出圆的方程． （2）直线的斜率不存在时，直接验证是否满足． 直线的斜率存在时，设直线的方程为， 求出圆心到直线的距离，根据题意，解得，即可得出直线的方程． 18．【答案】解：（1）由题可知：， 该方程表示圆，则， 即，解得， 则实数的取值范围为； （2）令，开口向下， 对称轴为，当时，圆的面积取得最大值， 此时圆的方程为， 当切线方程斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径长，即， 解得； 当切线斜率不存在，切线方程为，与圆相切于点，满足题意． 即切线方程为，即；另一条切线方程为； （3）设，则 ， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， 由知，又因为， 则点在圆外面， 所以， 则 ， 则可知的最小值为． 19．【答案】解：（1）由题意可得，圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，，线段的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即，又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上， 依题意该圆与圆有两个交点， 即两圆相交，又， 则，解得． （3）设直线的方程为， 由得， 所以， 所以 ， 所以，所以直线方程为， 令，解得，即直线过定点． 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $