精品解析：上海市建平中学2026-2027学年高一第一学期阶段评估高一数学试题

建平中学2026学年第一学期阶段评估 高一数学试题 说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分； （2）请认真答卷，并用规范数学语言书写． 一、填空题：考生应在答题纸的相应位置填写结果（本大题共有12题，每题3分，共36分）． 1. 若，则实数________． 2. 关于的不等式的解集是________． 3. 已知集合满足，则所有满足条件的集合个数为______． 4. 已知全集．若，，，则______． 5. 设，，则的最小值为________． 6. 若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是________． 7. 已知对任意实数，不等式都成立，则的取值范围是________． 8. 已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则________． 9. 若集合，则______（用“、、、、”其中一个填空）． 10. 已知，，，，则下列结论正确的有__________（填序号）． ①的取值范围为；②；③的取值范围为；④． 11. 设、是集合的两个子集（、可以相等），对于，定义：，，若存在，使得，已知，则满足条件的集合的个数为______________． 12. 定义表示实数，中的较大值．若，，是正实数，则的最小值是__________． 二、单选题：每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑（本大题共有4题，每题3分，共12分）． 13. 设，则的关系是 A. B. C. D. 14. 设，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 16. 对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 不存在实数，使得 D. 恰存在1个实数，使得 三、解答题：解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤（本大题共有4题，共52分）． 17. （1）已知，用作差法证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 18. 已知集合，，， （1）若，求实数的取值范围： （2）若，求实数的取值范围． 19. 某文具企业生产笔记本，在某市原有年销售量为10万本．现委托代理商销售，代理商收取销售额的作为代理费．为保证厂家利润不变，每本笔记本售价调整为元． 受涨价影响，年销售量减少万本． （1）若代理商每年获得的代理费不少于2万元，求的取值范围； （2）是否存在正数，使得代理商每年获得的代理费超过厂家委托代理商之后自身实际到手的收入？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 20. 已知集合中的元素均为正整数，且集合至少有个元素．若存在整数，使得对任意的正整数，，当时，恒成立，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，求的值； （3）求证：对任意整数，不存在具有性质的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2026学年第一学期阶段评估 高一数学试题 说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分； （2）请认真答卷，并用规范数学语言书写． 一、填空题：考生应在答题纸的相应位置填写结果（本大题共有12题，每题3分，共36分）． 1. 若，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得或，解得或， 当时，符合题意； 当时，，不满足集合元素互异性，舍去； 综上：实数. 2. 关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式等价于， 即，即， 解得或， 所以不等式的解集为 3. 已知集合满足，则所有满足条件的集合个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素个数分类写出集合，可得集合的个数. 【详解】①当中含有3个元素时，为，，； ②当中含有4个元素时，为，，； ③当中含有5个元素时，为． 故满足条件的集合为，，， ，，，，共有个. 4. 已知全集．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，； 又，故，即，； 由，得，，故，； 又全集， 所以. 5. 设，，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【详解】， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 6. 若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由“”是“”的必要非充分条件，故. 7. 已知对任意实数，不等式都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分为和结合二次函数的图象即可求解. 【详解】当时，不等式等价于，恒成立，符合题意； 当时，若对任意实数，不等式恒成立， 则，解得， 综上，的取值范围是. 8. 已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可得与的值，再由代入计算，即可得到的值，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，且，即， 又，即，解得， 所以. 9. 若集合，则______（用“、、、、”其中一个填空）． 【答案】 【解析】 【详解】当，，时，，因此， 但当，时，，所以，不能填等号， 故. 10. 已知，，，，则下列结论正确的有__________（填序号）． ①的取值范围为；②；③的取值范围为；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式的性质，对命题①②③④逐一分析判断，即可求解. 【详解】因为，，两式相加得，所以，故命题①正确， 由，得到，所以，又， 两式相加得，得到，故命题②正确， 因为， 又，，所以，故命题③错误， 因为，又，， 所以，故命题④正确. 11. 设、是集合的两个子集（、可以相等），对于，定义：，，若存在，使得，已知，则满足条件的集合的个数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即可得，再计算出满足且的集合的可能数及集合的全部子集个数即可得解. 【详解】由题意可得，即存在，使得且，故， 若集合满足且， 则为集合的子集，即集合的可能有种， 又集合的全部子集个数为个， 故满足条件的集合的个数为. 12. 定义表示实数，中的较大值．若，，是正实数，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为分界分成两种情况，对每一项的最大值做下界放缩，分别使用基本不等式求出表达式最小值，最终得到整体最小值． 【详解】设， 当时，， 已知是正实数， 所以， 当且仅当，，时，等号成立； 当时，， 已知是正实数， 所以， 若，则，， 此时，与矛盾， 所以等号无法取得． 则的最小值是． 二、单选题：每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑（本大题共有4题，每题3分，共12分）． 13. 设，则的关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵∴P为数集Q为点集，故． 考点：集合的运算 14. 设，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】应用作差法计算判断大小关系及特殊值法，最后结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】当时，，所以，所以“”是的充分条件； 当时，满足，不满足，所以“”是的不必要条件； 则“”是的充分不必要条件. 故选：A. 15. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A和C，根据条件，通过作差法，即可求解；对B，通过取特殊值进行检验，即可求解；对D，利用基本不等式可得，即可求解. 【详解】对于A，因为， 又，所以，则，即，所以A正确， 对于B，取，显然满足，但，所以B错误， 对于C，因为，又，则， 所以，则，故C正确， 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以，故D正确. 16. 对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 不存在实数，使得 D. 恰存在1个实数，使得 【答案】D 【解析】 【分析】本题解题核心是分式为 0 需满足分子为 0 且分母不为 0，要剔除增根.结合根与系数的关系得到二次方程两根的和与积，根据增根是否出现分情况确定集合元素，再对各选项逐一验证，容易忽略增根带来的集合元素变化，造成和、积计算错误. 【详解】分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0，分子的根为以及二次方程的两根，由根与系数的关系得，分母限制，需要剔除等于的根. 对于选项 A，取为增根舍去，集合，元素之和，故 A 正确； 对于选项 B，当无增根时，令得，验证无增根，存在这样的，B 正确； 对于选项 C，若，则，代入分子得，但时分母，为增根，0 不能属于集合，故不存在使，C 正确； 对于选项 D，当无增根时令得；当时舍去，集合，，得到两个满足条件的； 当是二次方程的根且不等于52时，令，解得，验证符合条件，因此存在3个满足条件的，D 错误. 【点睛】分式方程求根务必注意分母不为 0 带来的增根剔除，集合元素具有互异性，分类讨论不能遗漏增根情形. 三、解答题：解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤（本大题共有4题，共52分）． 17. （1）已知，用作差法证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）由 ， 因为，所以， 所以，即. （2）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当或时，不等式解集为或 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法直接作差证明即可； （2）直接分类讨论求解分式不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由，可得且， 令，得或， 则当时，可得且，所以， 当时，可得且，所以， 当时，，可得或， 当时，，可得或， 当时，，可得或， 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当或时，不等式解集为或. 18. 已知集合，，， （1）若，求实数的取值范围： （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知，分与讨论，结合包含关系运算求解即可； （2）将集合化简，再结合条件可得集合中的元素都不在区间内，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可知， 且集合，， 当时，即，解得，此时成立； 当时，即，解得， 此时要使，需满足，解得，结合，可得； 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由可得，解得或， 所以， 又，且， 所以集合中的元素都不在区间内， 即且， 若且，解得； 若且，解得； 综上所述，实数的取值范围是或. 19. 某文具企业生产笔记本，在某市原有年销售量为10万本．现委托代理商销售，代理商收取销售额的作为代理费．为保证厂家利润不变，每本笔记本售价调整为元． 受涨价影响，年销售量减少万本． （1）若代理商每年获得的代理费不少于2万元，求的取值范围； （2）是否存在正数，使得代理商每年获得的代理费超过厂家委托代理商之后自身实际到手的收入？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由题意得，进而求解即可； （2）先求出代理商每年获得的代理费和厂家委托代理商之后自身实际到手的收入，进而列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 则的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，代理商每年获得的代理费为， 厂家委托代理商之后自身实际到手的收入为， 由，得，又，即，则， 因此，存在正数，使得代理商每年获得的代理费超过厂家委托代理商之后自身实际到手的收入， 所有满足条件的的取值范围为. 20. 已知集合中的元素均为正整数，且集合至少有个元素．若存在整数，使得对任意的正整数，，当时，恒成立，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，求的值； （3）求证：对任意整数，不存在具有性质的集合． 【答案】（1）具有性质.理由如下： 对任意正整数，，当时， 由得只有， 所以只能是， 此时， 满足条件，具有性质； 不具有性质.理由如下： 存在正整数，，使得， 当时，，不是正整数， 则出现反例，所以不具有性质. （2） （3）假设存在满足条件的集合，元素都是正整数，，具有性质，， 设是集合里最小元素，因为至少有两个正整数元素，故存在且， 取，则， 根据性质得，， 由元素均为正整数得，即， 将作为新的重复上述操作， 最终必得到使得，与是的最小正整数元素矛盾， 故假设不成立，即对任意整数，不存在具有性质的集合. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接判断即可； （2）根据题意，讨论满足条件的的值即可； （3）利用反证法找到矛盾即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得是正整数，，， 则只要，就必须有， 因为，为正整数，所以可能取值为或， 当时，正整数，不能取值； 当时，设，， 则， 先取， 由得或，舍去， 检验，， 则，只有， 则为，，满足， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：集合的新定义综合题目，常涉及解决问题方法有：阅读理解题意，反证法证明等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $