精品解析：安徽省宁国市第一初级中学2025～2026学年上学期九年级数学第三次月考试卷

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 2. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 3. 二次函数的顶点式为，则p的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点坐标公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点横坐标为：，顶点式为，即顶点横坐标为2， ∴， 故选：B． 4. 如图，已知直线，直线m和直线n分别交，，于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P，若，，，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．由题意得：，解得；即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得； ∵， ∴； 故选：C 5. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴； 故选D． 6. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（    ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 7. 如图，中，点在上，交于点，若．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质证明是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段比即可． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选． 8. 如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若点、都在该二次函数的图象上，则 D. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出、的正负，从而可判断A选项；当时，， 从而可判断B选项；易得抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，根据 抛物线的对称性及增减性，从而可判断C选项；由图可知：与轴有两个交点，从而可判断D选项． 【详解】解：， 由图象可知：抛物线开口向下， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ，， ， 故选项A错误，不符合题意； 由图象知，当时，， 即， 故选项B错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ， ， ∴点较点更靠近对称轴， ，故选项C错误，不符合题意； 由图可知：与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根，故选项D正确，符合题意． 故选：D ． 10. 如图，在中，于点，于点，为中点，连接，，现有以下结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算；设，，，根据得到，， 则，， ，，再证明得到，再中由得到，整理得，即可判断①②正确；再由为中点结合斜边中线性质得到，得到为等边三角形，③正确；当时，得到，即，整理得，最后根据判断④结论错误． 【详解】解：设，，， ∵，于点，于点， ∴， ∴，， ∴，，， ，， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵中， ∴， 整理得， ∴ ∵， ∴， 故①说法正确； ∵为中点，，， ∴， ∴为等边三角形， 故③正确； 当时，， ∴， ∴， 整理得， ∴， 故④结论错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12. 如果将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，进行解答即可． 【详解】解：抛物线， 平移后所得新抛物线的表达式是：， 即：， 故答案为：． 13. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，巧设点的坐标是解答本题的关键．设点A的坐标为则，，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设点A的坐标为则，，， ，， ， ， ， 解得， 故答案为： 14. 如图，已知，点D在线段上运动． （1）______； （2）点P为线段的中点，连接，在点D运动的过程中，当取得最小值时， ______． 【答案】 ①. 90 ②. 【解析】 【分析】（1）利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到即可； （2）由为线段的中点推出，得到当最小时，最小，再利用相似三角形的比值关系得到最小时，最小，垂线段最短得到时，最小，求出此时的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）由（1）知： ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， ∵ ∴， ∴， ∵与都为定值， ∴最小时，最小， ∴当时，为边上的高，最小，此时最小， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：96． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，斜边上的中线，勾股定理，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知， 故， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 19. 如图，在中，是边上的高，点E为线段上一点（不与点C，点D重合），连接，作与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ； （2） 证明：， ， ， 又∵， ， ∴， 即． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由及即可证明； （2）由得到，又由即可证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】（1）62海里 （2）0.08小时 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【小问1详解】 解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ， 在中，， ， ， （海里）． 答：游艇每小时航行62海里． 【小问2详解】 解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， （小时）． 答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，勾股定理求两点距离，等腰三角形的性质，解一元二次方程； （1）根据中点坐标公式先求出点坐标，再代入反比例函数求； （2）由（1）已得：，求出点坐标，最后用面积公式得出，根据为中点，即可求解； （3）根据，利用等腰三角形性质和反比例函数解析式求点坐标，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； 【小问2详解】 解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为3，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴的面积为 【小问3详解】 解：存在点，使得是以为底的等腰三角形 当时 ， 设，，则， 解方程， 解得：或（时与重合舍去）或（舍去）或（舍去）， 此时． 22. 如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，，分别交于点M，N，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证明，可得，在证，即可求解， （2）通过证明，可求，由等腰直角三角形的性质和锐角三角函数可求，的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知抛物线过点． （1）求的值和抛物线与轴的交点坐标． （2）将抛物线进行平移得到抛物线，若点，分别在抛物线，上， ①若，且直线与抛物线只有一个交点，求直线的表达式． ②若，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式求解，一次函数解析式的求解，一次函数与二次函数方程联立，求出a的值，即可知抛物线与的解析式，联立一次函数与二次函数是解决本题的关键． （1）根据抛物线过点，将点代入抛物线方程中即可求解a的值，再令即可求解抛物线与轴的交点坐标； （2）①设出直线方程，将点和点代入直线方程结合可求解k的值，再根据直线与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线方程由判别式为零可求解b的值，即可得直线方程； ②根据可表示点，，再表示，由二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线方程为， 令，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：①由（1）知，， ∴， 设直线的表达式为， ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，， 又∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴联立直线与抛物线： ，消y得，， 整理得，， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 即，解得， ∴直线的表达式为； ②∵， ∴点，， ∵点，分别在抛物线，上， ∴，， 则 ， 令，是一个开口向下的二次函数，在对称轴处取得最大值， 对称轴， 将代入中，得： ， ∴的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点式为，则p的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 如图，已知直线，直线m和直线n分别交，，于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P，若，，，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 5. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（    ） A. B. C. 3 D. 2 7. 如图，中，点在上，交于点，若．则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若点、都在该二次函数的图象上，则 D. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 10. 如图，在中，于点，于点，为中点，连接，，现有以下结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，，，则由小到大的顺序为______． 12. 如果将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为________． 13. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为______． 14. 如图，已知，点D在线段上运动． （1）______； （2）点P为线段的中点，连接，在点D运动的过程中，当取得最小值时， ______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 18. 如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 19. 如图，在中，是边上的高，点E为线段上一点（不与点C，点D重合），连接，作与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，，分别交于点M，N，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知抛物线过点． （1）求的值和抛物线与轴的交点坐标． （2）将抛物线进行平移得到抛物线，若点，分别在抛物线，上， ①若，且直线与抛物线只有一个交点，求直线的表达式． ②若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $