江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学2026-2027学年第一学期高二10月份联合测试数学试卷

高二年级10月测试 数学试题 命题人：贾龙彬审核人：何爱军 一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.(1+5i)i的虚部为 () A.-1 B.0 C.1 D.6 2.“a=-3”是“直线11：m+3y+1=0与直线2：2x+（(a+1)y+1=0互相平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3过点A(21),B(3)的直线的倾斜角α的取值范围是（牙，买）》则实数m的取值范围是() A.0<≤2 B.0<<4 C.2≤m<4 D.0<<2或2<<4 4.下列说法正确的是 () A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示 B.方程x+y-2=0(∈R)表示经过(0,2)的所有直线 C.直线y-2=tana(x-1)的倾斜角为a D. 经过两点B(飞，乃(，)k≠)的直线方程为y-=-业(x-) x2-X1 5.从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标 系中，下列直线系方程（其中日为参数，0∈R)能形成这种效果的是 () A.x+ysin 0-3=0 B.xcos0+y+3sinθ=0 C.xcos 0+vsin 0-3-0 D.xcos 0+v-3=0 6.1471年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题-“米勒问题”，其核心是：“设点M,N 是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P,使得∠MPN最大.”其结论是：点 P为过M,N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点.根据以上结论解决以下问题：在平 面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上 A 移动， 当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是 A.1 B.-7 C.1或-7 D.2或-7 M B ·1… 7.过动点P(a,b)(a≠0)作圆C:x2+(y-4W3)2=3的两条切线，切点分别为A,B,且∠APB=60°， 则b的取值范围是 () a A.[-√3，√3] [] c(-m-9]u[9+ D.(-o,-√3]U[√5，+∞) 8.圆M:(x-4?+（y-6)}=16,过x轴上的点P(x,0)存在圆M的割线PAB,使得PA=AB,则x的取 值范围 () A.[-6√2,6√2] B.[-6w3,6√3] C.[4-6W2,4+6W2]D.[4-6W3,4+6v3] 二，选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线1：(m+2)x-y+-2=0,下列说法正确的是 () A.若二3，则直线1的倾斜角为135 B.若直线1的在两坐标轴的截距相等，则=.3 C.直线1与直线x+y=0垂直，则m=-1D.若直线l不过第二象限，则m∈(（-2,2)， 10已知应数：满足1.记w=引，则 A.o为纯虚数 B.lol≤1 C.若o=1,则z一定为纯虚数 D.业=p 币w2 11.己知集合P={(x,y)1(x-cos)2+(y-sin)2=4,0≤≤π}.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴 影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴.给出下列结论，正确的有 () A.白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+√3： B.在阴影部分任取一点M,则M到坐标轴的距离小于等于3； C.阴影部分的面积为8π： D.白色“水滴”图形的面积是上元 6π-v3 B 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知m∈R,复平面内表示复数(2-2m-3)+(2-4)i的点位于第三 象限内，则的取值范围是一 A 13.如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=4,E,F分别是边AD,BC上的 动点，且DE=BF,则CE+DF的最小值为 14.己知圆A:(x+2)2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=2,直线3x+4y+t=0上 存在点P,过点P向圆A引两条切线PC和PD,切点是C和D,再过点P向圆B引两条切线PE 和PF,切点是E和F,若∠CPD=∠EPF,则实数t的取值范围为 ·2… 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.己知圆M:x2-4x+y2-4y+m=0. (1)求的取值范围. (2)己知直线1：x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AB=2W2. 求过点(4，-2)的圆M的切线方程 16.(①)复数=2-√3i,2=√3+i(a∈R),若至为纯虚数，求 21 (2).设a和B是关于x的方程x2-4x+m=0的两个虚数根，若a、B、-1在复平面上对应的点构 成直角三角形，求实数m? 17.直线1过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点. (1)若直线1与2x+3y-2=0的法向量平行，写出直线1的方程： (2)求△AOB面积的最小值： (3)如图，若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点B E,F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求M 证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标. ·3· 18.①圆心C在直线1：2x-7y+8=0上，圆C过点B(1,5):②圆C过直线1：3x+5y-8=0和圆x2+y +6y-16=0的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.已知圆C 经过点A(6,0),且 (1)求圆C的标准方程： (2)过点P(0,1)的直线1与圆C交于M,N两点 ①求弦MN中点Q的轨迹方程： ②求证PM·P为定值. 19.在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于 点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P,Q两点间的距离有最小值，且 最小值恰好为d,则称点P为图形W的关联点”？. ·P2 A P P30 G •P4 图1 图2 (1)如图1，图形W是矩形AOBC,其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，则d= 在点B(-1,0),(2,8),(3,1),P(-√2I,-2)中，矩形AOBC的“关联点”是 ； (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG,其中D点的坐标为(1,1).若直线y=x+b上 存在点P,使点P为正方形DEFG的关联点”，求b的取值范围： (3)己知点M(1,0),N(0,√3).图形W是以Tt,0)为圆心，1为半径的⊙T.若线段N上存在 点P,使点P为⊙T的关联点”，求出t的取值范围 ·4高二年级10月测试 数学试题 一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.D8.D 2.D 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为M(4,6),半径r=4,如图所示： 连接PM,交圆M分别点C,D,易证△PCB一△PAD 则|PA·PB=|PC·PD=PM+r)(PM-r)=|PMP-2=|PMP-16, 因为PA=|ABL,故PB=2ABL,|PMP=(o-4)2+6= (x0-4)2+36, 所以|PA·|PB=2ABP=(-4)2+36-16=(0-4)P+20, 又AB≤2r=8, 所以(c0-4)2+20≤128， 解得-6√+4≤x0≤6√3+4. 故选：D 二.选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分) 3.AC 4.ACD 5.ABD 【分析】由“水滴”形状性质可得其与y轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利 用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部 分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确 【详解】对于A,由于(x-cos6)P+(y-sinP=4,令x=0时，整理得2sin0=y-3∈ [0,2], 解得y∈[-√，-1]∩[√，3]，“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A, 则点A的坐标为(0，√)，点B(0,一1)， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为AB=1+√，故A正确； x=2cosa+cos 对于B,由于(x-cos0)P+(y-sin0)2=4,整理得： y-2sina+sind' 所以M(2cosa+cos,2sina+sin6),所以M到坐标轴的距离为2cosa+cosd或2sina+ sin, 因为cos0∈[-1,1]，sin0∈[0,1]， 所以|2cosa+cosd≤|2cosa+cosd≤2+1=3，|2sina+sind≤|2 sina+|lsin≤2+1 =3, 所以M到坐标轴的距离小于等于3，故B正确； 对于C,由于(c-os2+(y-sin0)2=4,令y=0时，整理得2cos0=y-3∈[-22]， 解得x∈[-3，-1]∩[1,3]， 因为(x-cos0)2+(y-sin0)P=4表示以Q(cos6,sin0)为圆心，半径为r=2的圆， 则1=r-|OQ≤OP≤OQ+r=3, 且0≤0≤元，则Q(cosd,sin)在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以O为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外 边界是以O为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以M(-1,0)为圆心，半径为2的圆 弧， 设N(1,0),则AN=AM=MN=2,即AN所对的圆心角为， 同理Ad所在圆的半径为2，所对的园心角为胥， 阴影部分在第四象限的外边界为以N(1,0)为圆心，半径为2的圆弧， 设G3.0),H(-3.0),可得ON=1OD=3,∠0ND=号，DC所对的圆心角为2 3 同理DH所在圆的半径为2，所对的圆心角为2二 3 故白色“水滴”图形油一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组 成， 所以它的面积是S=5*题+2S形+3。=？×x×1+2×(写-3)+号 ×2×5=11π-√5. 6 轴上方的半圆（包合阴影和水滴的上半部分的面积为分x×3=号 元 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的 面积的和， 3π+③ 且等于号×元×22+号×V3×1- 21 所以期彩富分的面积为号+告+9)-告x+3=9x+2入8，故C错误； ,故D正确 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 6.【答案】：(0,3) 7.【答案】：4W2 8. 【答案】：[18-20W2,18+20W2] 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9.已知圆M:x2-4x+y-4y+m=0. (1)求m的取值范围 (2)已知直线U:x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且|AB=2W2 求过点(4，一2)的圆M的切线方程 【详解】（1)（方法一）由题意得M(x-2)+(y-2)2=8-m,则8-m>0, 得m<8,所以m的取值范围为(-∞，8) (2)由题意得M(2,2)到1的距离d=2+2-2 二2 12+19 则圆M的半径为√P+(1AB到=2=8-m, 得m=4. 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为x=4. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为y=k(x一4)一2，即kx-y一4一2=0： 由2-2一2-2，得k=-子 √2+1 所以所求的切线方程为y=一星十1，即3x+切-4=0， 综上，过点(4，-2)的圆M的切线方程为x=4或3x十4y一4=0. 10.(1)复数4=2-√i,=V3+mi(a∈R),若为纯虚数，求z! (2).设α和B是关于x的方程x2-4x+m=0的两个虚数根，若&、B、一1在复平面上对 应的点构成直角三角形，求实数m? 【答案】(1) (1)2=Y8+=5+m2+v3=2w5+3i+2mi+v3m2_ 2-√3i(2-√3)(2+√i) 7 (2W5-√3m)+(3+2m)i 7 若么为纯虚数，则23-V3m=0 13+2m≠0，解得m=2, 所以z2=√3+2i,z=√7. (2)设&=a十bi,a,b∈R,由实系数一元二次方程虚根成对定理可得B=a=a-bi, 由根与系数的关系可得a+B=2a=4,B=a2+b2=m, 整理得a=2,m=b2十4， 设、B、-1在复平面上对应的点分别为A(2,b)、B(2,-b)、C(-1,0), 则CA=(3,b),CB=(3,-b), 可知A,B关于x轴对称， 若复平面上a、B、-1对应点构成直角三角形，则CA⊥CB,， 即CA·CB=9-b=0,解得b=9, 所以m=b2+4=13. 故答案为：13. 11.直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点 (1)若直线1与2x+3y-2=0的法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线 段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点， 并求出该定点坐标 Y 12.(1)3x-2y-5=0 (2)12 (3)由题意，设A(a,0),B(0,b),因为AP=2PB,点P(3,2), 即(3-a,2)=2(-3,b-2)=(-6,2b-4), ·-下即8gA800 过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,则M(0,2) 直角梯形OAPM的顶点为O(0,0),A(9,0),P(3,2),M(0,2), 上底MP=3,下底OA=9,高为2， 梯形OAPM的面积S=12×(3+9)×2=12, 设动点E(c,2)(0≤c≤3)，F(d,0)(0≤d≤9)， 因为直线EF平分直角梯形OAPM的面积，所以四边形OEFM的面积为6， 四边形OEFM是梯形，其上底为ME=c,下底为OF=d,高为2， 所以8eav=2(e+d)×2=c+d=6,即d=6-c, 因此点F的坐标为(6-c,0), 直线EF经过点E(c,2)和F(6-c,0),其斜率k=2-0一 1 c-(6-c)c-31 直线E5的防程为：y-0-3e-(6-e1,化筒得y=。 c-3 去分母整理得c(y-1)-3y-x十6=0， 上式对任意c∈[0,3]恒成立，因此需满足 y-1=0 (-3y-c+6=0 ,解得/ampc=3 amp;y=1' 所以，直线F必过定点，该定点坐标为(3,1). 13.①圆心C在直线1：2x-7y+8=0上，圆C过点B(1,5);②圆C过直线l:3x+5y-8 =0和圆x2+y2+6y-16=0的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问 题中进行求解.已知圆C经过点A(6,0),且 (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(0,1)的直线l与圆C交于M,N两点 ①求弦MN中点Q的轨迹方程； ②求证PM·P为定值 【详解】（1)选①条件：设所求圆的方程为(x-a)尸+(y-b)P=r2, [(6-a)2+(0-b)2=2 由题意得{(1-a)2+(5-b)P=2解得a=3,b=2,2=13, 2a-7b+8=0 所以所求圆的方程是(x-3)P+(y-2)2=13 选②条件：因为圆C过直线3x+5y-8=0和圆x2+y2+6y-16=0的交点，所以设圆C 的方程为x2+y2+6y-16+(3x+5y-8)=0, 因为圆C过点A(6,0),将点A的坐标代入方程，解得入=一2， 所以圆C的方程是x2+y2-6c-4y=0,即(x-3)2+(y-2)2=13 (2)①设Q(c,y),圆心C(3,2) 由题意可知：C0·P☑=(x-3,y-2)·(c,y-1)=0得x2+y2-3c-3y+2=0 ②当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0交圆C得M(0,4),N(0,0),PM·PN=-3 当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kc+1,设M(x1,1),N(c2,y2) 则/-3+(g-2)=13 y=ka+1 消元得(1+)x2-2(3+k)x-3=0,其中△=(6+2k)2-4×(-3)(1+)>0 则中=9+，=1+ .P7·P=(h1-1)(c2,y-1) =01x2+(1-1)(y-1) =12+kc1ko2 =(1+k2)x1c2=-3 综上所述：PM.P=-3.PM·P为定值 14.在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记 为d.对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P,Q两点间 的距离有最小值，且最小值恰好为d,则称点P为图形W的“关联点” ·P2 P P3 图1 图2 (1)如图1，图形W是矩形AOBC,其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，则d 在点P(-1,0),P(2,8),P(3,1),P(-√2I,-2)中，矩形AOBC的“关联 点”是 (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG,其中D点的坐标为(1,1).若直线y=心 十b上存在点P,使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围； (3)已知点M(1,0),N(0,√3).图形W是以T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T.若线段MN 上存在点P,使点P为⊙T的“关联点”，求出t的取值范围 【分析】(1)求出d=5,然后分别根据定义判断是否是关联点； (2)求出关联点的轨迹，再由直线y=c+b与这个轨迹有公共点得b范围； (3)求出圆T的关联点的轨迹仍然是一个圆，由这个圆与线段MN有公共点可得参数范围. 【详解】(1)矩形AOBC的对角线长为√3+4=5，这也是矩形中任意两点距离的最大值， 所以d=5, 对P(-1,0),矩形AOBC中点O(0,0)到它的距离最小为1，不是关联点， 对P(2,8),矩形AOBC中的点到它的距离最小为8-3=5=d,是关联点， 对P(3,1),矩形AOBC中点到它的距离最小为0，不是关联点， 对P(-√21，-2)，中矩形AOBC中点O(0,0)到它的距离最小为√21+4=5=d,是关联 点，因此P,P是关联点； (2)由已知正方形的边长为2，对角线长为2W2,因此正方形DBC中，a2W2, 直线y=x+b与对角线DF平行， 由已知E(-1,1),F-1,-1),G(1,-1),设P(x,), C 当-1≤x≤1时，y=1+2√2或y=-1-2W2时，P到正方形DFG上点的距离的最小 值为2√2，为关联点， P P3。 当-1≤y≤1时，x=1+2W2或x=-1-2W2时，P到正方形G士点的距的最动 值为2W2,为关联点， •P4 当|x>1且|y>1时，如果P在第一象限，则P到正方形DFG上点的距离的最小值为 |PD=2√2，因此有(x-1)2+（y-1)P=8,即P在圆(x-1)P+（y-1)=8的一段弧上（x >1,y>1), 同理点P还在下列三段圆弧上：（x+1)2+(y-1)2=8(x<-1,y>1),(x+1)2+(y+1)2= 8(c<-1,y<-1),(x-1)2+(y+1)2=8(x>1,y<-1), 直线y=x十b与正方形的一条对角线DF平行， 直线y=x十b与图中正方形DEFG外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关 联点， 当直线y=x+b与第二象限的一段圆弧相切时， -1-1+6 √2 =22,b=6(-2舍去)， 同理当直线y=x十b与第四像限的一段圆弧相切时，b=一6， 所以b的取值范围是[-6,6]； y (3)圆T半径为1，因此d=2, V=x+b 点P到圆T上点的距离的最小值为2，则PT=2+1=3, 由题意以T为圆心半径为3的圆与线段MN在公共点， 该圆方程为(c-t)2+y=9, 当圆过M点时，有(1-t)2=9,t=4或t=-2, 当圆过N点时，有t2+（√3)？=9，t=士√6， 当M,N两点一个在外，一个在圆内时，有[(1-t)-9](t +3-9)<0,解得-6<t<-2或W6<t<4, 综上，t的取值范围是[-√6，-2]U[√6,4]. 珠 高二年级10月测试 数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． C 2. C 3．B 4. D 5. C　 6. A 7． D 8． D 8． D 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示： 连接，交圆分别点，易证△∽△ 则， 因为，故，， 所以， 又， 所以， 解得. 故选：D. 二．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. AC 10．ACD 11． ABD 【分析】由“水滴”形状性质可得其与轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A正确； 对于B，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确； 对于C，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故C错误； ，故D正确. 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】： 13. 【答案】： 14. 【答案】： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. 求过点的圆的切线方程. 【详解】（1）（方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （2）由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 16．（1）复数，，若为纯虚数，求. （2）．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，求实数？ 【答案】(1) （1）， 若为纯虚数，则，解得， 所以，. （2）设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 17．直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 17．(1) (2)12 (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 18．①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且 . (1)求圆C的标准方程； (2)过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点 ①求弦M N中点Q的轨迹方程； ②求证为定值. 【详解】（1）选①条件：设所求圆的方程为， 由题意得解得，，， 所以所求圆的方程是 选②条件：因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为， 因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得， 所以圆C的方程是，即 （2）①设，圆心C（3，2）     由题意可知：得 ②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C得， 当直线的斜率存在时，设直线：，设 则 消元得，其中 则，， ， 综上所述：＝－3∴为定值. 19．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. (1)如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ； (2)如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为.若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，.图形是以为圆心，为半径的⊙.若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围. 【分析】（1）求出，然后分别根据定义判断是否是关联点； （2）求出关联点的轨迹，再由直线与这个轨迹有公共点得范围； （3）求出圆的关联点的轨迹仍然是一个圆，由这个圆与线段有公共点可得参数范围． 【详解】（1）矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以， 对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点， 对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点， 对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点， 对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，因此是关联点； （2）由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，， 直线与对角线平行， 由已知，，，设， 当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点， 当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点， 当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，因此有，即在圆的一段弧上（）， 同理点还在下列三段圆弧上：，，， 直线与正方形的一条对角线平行， 直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点， 当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去）， 同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，， 所以的取值范围是； （3）圆半径为1，因此， 点到圆上点的距离的最小值为2，则，由题意以为圆心半径为3的圆与线段在公共点， 该圆方程为， 当圆过点时，有，或， 当圆过点时，有，， 当两点一个在外，一个在圆内时，有，解得或， 综上，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月测试 数学试题 命题人：贾龙彬 审核人：何爱军 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 4. 下列说法正确的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示经过的所有直线 C．直线的倾斜角为 D．经过两点，的直线方程为 5.从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程(其中θ为参数，θ∈R)能形成这种效果的是(　　) A．x＋ysin θ－3＝0　　　 　B．xcos θ＋y＋3sin θ＝0 C．xcos θ＋ysin θ－3＝0 D．xcos θ＋y－3＝0 6. 1471年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（    ） A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7 7．过动点作圆：的两条切线，切点分别为，，且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 若直线的在两坐标轴的截距相等，则 C. 直线与直线垂直，则 D. 若直线不过第二象限，则 10．已知虚数 满足 ．记，则（    ） A．为纯虚数 B． C．若 ，则一定为纯虚数 D． 11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（     ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．白色“水滴”图形的面积是 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______. 13. 如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. 求过点的圆的切线方程. 16．（1）复数，，若为纯虚数，求. （2）．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，求实数？ 17．直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 18．①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且 . (1)求圆C的标准方程； (2)过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点 ①求弦M N中点Q的轨迹方程； ②求证为定值. 19．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. (1)如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ； (2)如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为.若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，.图形是以为圆心，为半径的⊙.若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 门4T 高二年级10月阶段考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可降可 (正面潮上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][c][D 填空题 12. 13 14. 1 1 ■ 囚囚■ 解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) 囚■囚 18.(17分) 囚■囚 口 19.(17分) D 图1 图 ■