精品解析：河北张家口经济技术开发区宁远中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026～2027学年第一学期10月限时纠错 九年级数学试卷 一、选择题（共12题，每题3分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与y轴的交点为 3. 若，且，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 2 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正方形都相似 5. 对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点，分别在，上，且，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是（ ） A. Ⅰ和Ⅲ B. Ⅲ和Ⅳ C. Ⅰ和Ⅳ D. Ⅱ和Ⅳ 8. 如图，在中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. 9 D. 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点F．已知，，，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 6 11. 如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每题3分） 13. 若是二次函数，则a的值是__________． 14. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 15. 如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 三、解答题（共8题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）当时，y随x的增大而__________；（选填“增大”或“减小”） （2）若把二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到新抛物线G，则新抛物线G的解析式为_________________．（写顶点式） ①抛物线G的对称轴为______________；顶点坐标为______________； ②抛物线G与x轴的两个交点坐标分别为______________和______________；当函数值时，x的取值范围为______________；当时，函数值的取值范围为______________． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 19. 如图，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；再以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P． （1）由上述作图可知，图中相等的线段是______________________________________________ （2）求的长； （3）求证：P是线段的黄金分割点． 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点C． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积． 21. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． （1）_____________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 22. 已知； （1）求代数式的值； （2）当时，求a，b，c的值． 23. 如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是________________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________． 24. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S． ①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期10月限时纠错 九年级数学试卷 一、选择题（共12题，每题3分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； B选项，自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； C选项，展开得，是二次函数，符合题意； D选项，未明确，不一定是二次函数，不符合题意． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与y轴的交点为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．的正负决定图象的开口方向，将一般式化成顶点式，可得到图象的对称轴和顶点坐标，令可得图象与y轴的交点． 【详解】解：∵，∴二次函数的图象开口向上，故A错误； ∵， ∴对称轴是直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； 令，则 ∴与y轴的交点为，故D错误 故选：C 3. 若，且，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正方形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】A．根据等边三角形的性质、相似三角形的判定方法进行判断； B．结合矩形的性质、利用反例进行判断； C．根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定方法进行判断； D．根据正方形的性质、相似多变形的定义进行判断． 【详解】解：A．所有的等边三角形都相似，故本选项选项为真命题； B．所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，故本选项选项为假命题； C．所有的等腰直角三角形都相似，故本选项选项为真命题； D．所有的正方形都相似，故本选项选项为真命题． 故选：B 【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定等，灵活运用判定方法是解题的关键． 5. 对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题关键是判断各选项中的系数对任意实数是否恒不为0． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 6. 二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数 的图象确定，的符号，再结合二次函数 的开口方向进行验证． 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 7. 如图，在矩形中，点，分别在，上，且，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是（ ） A. Ⅰ和Ⅲ B. Ⅲ和Ⅳ C. Ⅰ和Ⅳ D. Ⅱ和Ⅳ 【答案】A 【解析】 【分析】矩形的四个角是直角，结合即可由同角的余角相等得到，再由已知直角证明三角形Ⅰ和Ⅲ相似即可． 【详解】, ， 又，, ，， ， 故选A． 8. 如图，在中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中由勾股定理求出，通过同角的余角相等推出，结合公共角证明，得到，根据设、则，代入求出，最后在里用勾股定理算出． 【详解】解：，， 在中，， ，， ， 又， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 10. 如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点F．已知，，，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线得，结合已知，推出，从而，代入数值计算即可得到． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ，，， ， ． 11. 如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题（共4题，每题3分） 13. 若是二次函数，则a的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，分别列出次数和系数的条件，求解后舍去不符合要求的值即可． 【详解】解：根据二次函数定义可得， 解得， ， ， ． 14. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ． 15. 如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 16. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 三、解答题（共8题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）当时，y随x的增大而__________；（选填“增大”或“减小”） （2）若把二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到新抛物线G，则新抛物线G的解析式为_________________．（写顶点式） ①抛物线G的对称轴为______________；顶点坐标为______________； ②抛物线G与x轴的两个交点坐标分别为______________和______________；当函数值时，x的取值范围为______________；当时，函数值的取值范围为______________． 【答案】（1）增大 （2） ①直线； ②，；或； 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质作答即可； （2）根据二次函数的平移规律得到新抛物线G的解析式，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线开口向上，对称轴为轴， 所以当时，y随x的增大而增大； 【小问2详解】 解：若把二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到新抛物线G，则新抛物线G的解析式为． ①可得抛物线G的对称轴为直线，顶点坐标为； ②当时，解得， ∴抛物线G与x轴的两个交点坐标分别为和； ∵开口向上， ∴当函数值时，x的取值范围为或， ∵顶点坐标为，开口向上， ∴当时，函数值的最小值为， 当时，， 当时，， 即函数值的取值范围为． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1）如图，点即为所求， 点的坐标为； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据两点中点坐标公式可确定点的坐标，进而描出点即可； （2）根据点和点的坐标可知，把、的横纵坐标都乘以即可得到，的坐标，描出，，，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；再以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P． （1）由上述作图可知，图中相等的线段是______________________________________________ （2）求的长； （3）求证：P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）， （2） （3）证明：， ， ， ， ，即， 点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）根据作图步骤，即可解答； （2）根据垂直定义可得，由已知得，在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长； （3）计算，，从而得到，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：根据以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；得， 根据以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P，得； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 由作图得：，， ； 【小问3详解】 略 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点C． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）二次函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）3 【解析】 【分析】（1）把点代入，可求出二次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求出一次函数的解析式； （2）根据的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点，即， ∴的面积． 21. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． （1）_____________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 根据反射定律可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，，，，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 22. 已知； （1）求代数式的值； （2）当时，求a，b，c的值． 【答案】（1） （2） ，， 【解析】 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； 【小问2详解】 解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． 23. 如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是________________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得、，进而证明，然后利用全等三角形的性质即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，利用相似三角形的性质列比例式可求得，则，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式可得，进而即可求解； 【小问1详解】 解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点N作于点M，    ∵，， ∴， ∴，即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S． ①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案； ②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式为：； 【小问2详解】 解：①由（1）知二次函数的关系式为：， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， ，， 的面积为， ，， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $