精品解析：山东济宁市实验初中2026-2027学年七年级上学期第一次学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期核心素养学情达标测试初二数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，符合题意； C．该图形是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不符合题意． 2. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：在中，作边上的高，作法正确的是： 故选：C 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 4. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， A、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； B、，满足边边角，无法判断，故本选项符合题意； C、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； D、添加，可得，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； 故选：B. 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 6. 等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分为顶角、底角两种情况，分别运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出另外两个角即可． 【详解】解：当为顶角时，设底角为x， 则，解得：， ∴另外两个角为． 当为底角时，另一个底角也为， 则顶角为， ∴ 另外两个角为． 综上，另外两个内角的度数分别为或． 故选：D． 7. 若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ， 故选：． 8. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 9. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过作图可知平分，垂直平分，可判断，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断． 【详解】解：、由作图可知平分， ∴，该选项正确，不符合题意； 、由作图可知垂直平分， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、由上得，即，， ∴，该选项错误，符合题意． 10. 如图，已知在中，，，点D为的中点．点P在线段上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若和全等，且和是对应角，则a的值为（　 　） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，再利用线段的中点定义可得，最后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∵和全等，且和是对应角， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：a的值为3或， 故选：C． 二、填空题（5小题，每题3分，共计15分） 11. 如图，已知，要证明：．若以“”为依据，则需要添加的一个条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】以“”为依据证明，则对应相等的三个条件必须是两边夹角对应相等，根据已知条件的位置关系即可得到需要添加的条件． 【详解】解：已知，，若以“”为依据证明，则需要添加的一个条件是． 12. 如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中线定义及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【详解】解：是的中线，， ， ， ，， 、是的中线， 、是、的中点， ，， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 【答案】5 【解析】 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为______． 【答案】506 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形部分重叠问题．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积，是解决本题的关键． 正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，，证明，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据2025个正方形照这样重叠有2024个阴影部分求解即可． 【详解】解：如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，， 在正方形中，，，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得每个阴影部分的面积都是， ∵2025个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2024个， ∴2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为． 故答案为：506． 15. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 三、解答题（共7小题，满分55分） 16. 如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【答案】21° 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可求出，结合角平分线的定义可得出，利用三角形外角性质可求出，再利用直角三角形角性质可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义有关计算，对顶角性质，直角三角形两锐角性质，是解题的关键． 17. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由是的平分线可知，由得，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出，由平行的性质可知，再利用角平分线和平行线的性质，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 且， 是的平分线， ， ． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 【答案】（1） 解：， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 即 20. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若长为，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 21. 已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．如图，求证：； 【答案】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． 【解析】 【分析】根据同角的余角相等可证，可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】略 22. 【问题情境】 兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．根据上面思路写出完整的求的取值范围的过程． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】【问题情境】 ； 【初步运用】证明：延长至点，使，连接，如图②． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】【问题情境】 根据题干问题情境中的解决方法完成解析过程即可； 【初步运用】延长至点，使，连接，证明得到，，结合已知条件和对顶角相等得到，然后利用等角对等边和等量代换可得结论． 【详解】解：【问题情境】 延长至点，使，连接, ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【初步运用】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期核心素养学情达标测试初二数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 4. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. B. C. D. 或 7. 若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 9. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在中，，，点D为的中点．点P在线段上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若和全等，且和是对应角，则a的值为（　 　） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 二、填空题（5小题，每题3分，共计15分） 11. 如图，已知，要证明：．若以“”为依据，则需要添加的一个条件是__________． 12. 如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为___________． 13. 如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 14. 如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为______． 15. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 三、解答题（共7小题，满分55分） 16. 如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 17. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 20. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若长为，求的周长； （2）若，求的度数． 21. 已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．如图，求证：； 22. 【问题情境】 兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．根据上面思路写出完整的求的取值范围的过程． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $