精品解析：北京交通大学附属中学2026-2027学年九年级上学期10月 数学学情自测

2026—2027学年度第一学期10月学习诊断—初三数学 一．选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3， B. 3，6， C. 3，，1 D. 3，6，1 2. 把抛物线向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A. B. C. D. 3. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 5. 已知抛物线经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 7. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（ ）． A. B. C. 6 D. 8. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若点和关于原点对称，则__________． 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________． 12. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______． 13. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 14. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为，依题意，可列方程为________． 15. 已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 16. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点． 已知点， ． （1）在点 中，线段的倍等距点是_____； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是_____． 三．解答题（本题共68分，第17题6分，第18题3分，第19、21、22、23题每小题5分，第20、24、26题每小题6分，25、27、28题每小题7分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点逆时针方向旋转得到． （1）在网格中画出； （2）点的坐标为________； （3）线段在旋转过程中扫过的面积为________（结果保留）． 19. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为，求的值． 21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … 0 2 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在上图中画出此二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． （4）当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是______． 22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）求a的值； （2）若当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，直接写出c的取值范围； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，若对任意的，，都有，求m的取值范围． 27. 在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，点E在直线上，求证：； （2）如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 28. 点P到的距离定义如下：点Q为的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到的距离，记为．特别的，当点P在的边上时，． 在平面直角坐标系xOy中，． （1）如图1，若，，则______，______； （2）在正方形OABC中，点． ①如图2，若点P在直线上，且，求点P的坐标； ②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，且满足的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期10月学习诊断—初三数学 一．选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3， B. 3，6， C. 3，，1 D. 3，6，1 【答案】A 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 2. 把抛物线向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据二次函数图象平移的法则可知，把抛物线向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是. 故选A. 3. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ∴图象必经过点，正确，不符合题意； B、， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当时，， ，正确，不符合题意， 故选：C． 5. 已知抛物线经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】代入、两个点横坐标，求出和，比较即可． 【详解】当 时，， 当 时，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，把一个图形绕着一个定点选择一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角．结合图形即可解决． 【详解】该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：A． 7. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键． 连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可． 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 8. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程． 根据对称轴可得，由点A和点B的函数值符号可得，进而判断和正确；方程两根之积；根据当时，总有，可得，再由点，在对称轴的同侧，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象经过点，且， ∴，故②正确； ∵， ∴图象经过点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，故①正确； 设方程的两根为， ∵， ∴二次函数的图象与的一个交点在和之间， 不妨设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵点，在抛物线上， ∴， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴, 要使不等式恒成立，只需当取最小值时该不等式成立， ∵点，在对称轴的同侧， ∴，即的最小值为2， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故选：B 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若点和关于原点对称，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项． 【详解】解：设二次函数为，由开口向上得，由过点得， 取，，即函数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值． 【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0， （a-2）（a+2）=0， 可得a-2=0或a+2=0， 解得：a=2或a=-2， 当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 12. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用矩形和旋转的性质，推出，，所以． 【详解】解：由题意可知： ，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，关键是利用旋转性质得到，再利用矩形的性质得． 13. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 14. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为，依题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义：如果点把线段分割成和（）两段，其中是和的比例中项（即），那么这种分割为黄金分割．据此定义直接列式即可． 【详解】解：长为的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为， 则较短的一段为：， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解黄金分割的定义是解答此题的关键． 15. 已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：∵， ∴函数（k是常数，）的图象过定点， ∵， ∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，， 当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或． 故答案为：或． 16. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点． 已知点， ． （1）在点 中，线段的倍等距点是_____； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是_____． 【答案】 ①. 点和点； ②. ． 【解析】 【分析】（）先设为线段上一点，再根据图可知的取值范围，由题意得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点； （）由（）知，线段的所有倍等距点形成图形，再根据图形求得面积， 此题考查了新定义，解题的关键是读懂“等距点”的定义，根据概念解决问题． 【详解】（）设为线段上一点， 则由图可知， 的取值范围是， ∵ ，，， ∴，，， 设线段的倍等距点为， 则， ∴， ∴点，为线段的倍等距点， 故答案为：点和点； （）由（）可知， ∴线段的所有倍等距点形成图形，如图， 由图可知，该图形是环形， ∴等距点形成图形的面积为， 故答案为：． 三．解答题（本题共68分，第17题6分，第18题3分，第19、21、22、23题每小题5分，第20、24、26题每小题6分，25、27、28题每小题7分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项，方程两边同时开方求解即可； （2）用配方法或者因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解法一：解：， ， ， ，． 解法二：解：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点逆时针方向旋转得到． （1）在网格中画出； （2）点的坐标为________； （3）线段在旋转过程中扫过的面积为________（结果保留）． 【答案】（1） 如图1所示，为所画； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，找出对应点即可画出； （2）根据图形直接写出答案即可； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如图2所示，过作轴于，则， 绕点逆时针方向旋转， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， 线段在旋转过程中扫过的图形的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转变换的作图与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解答此题的关键． 19. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得到，， ∴； 【小问2详解】 解：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：由一元二次方程得： ，，， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （）利用韦达定理，，再结合完全平方公式转化即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程得： ，， ∵该方程两个实数根的差为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴的值为或． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … 0 2 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在上图中画出此二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． （4）当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 图形如图所示． ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，结合点（-1，2）利用待定系数法即可求出二次函数表达式； （2）描点、连线，画出函数图象； （3）找出函数图象在x轴上方的部分，此题得解； （4）在y=x+n中，令x=-1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点（-1，0），（1，0）， ∴设二次函数的表达式为， ∵二次函数经过点（-1，2）， ∴-4a=2， ∴a=， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，函数图象在x轴上方， ∴当y＞0时，自变量x的取值范围为-3＜x＜1； 【小问4详解】 解：∵顶点坐标为（-1，2）， 在y=x+n中，令x=-1代入可得y=-1+n， ∵抛物线的顶点在直线y=-x+n的下方时， ∴-1+n＞2，解得n＞3， 故答案为：n＞3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合交点坐标找出不等式的解集；（4）观察函数图象结合顶点坐标找出不等式的解集． 22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 【答案】（1）y=+4x+16；（2）2米 【解析】 【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵BE边长为x米， ∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x 苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x) 则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=+4x+16 （2）依题意，令y=16 即+4x+16=16 解得：x1=0(舍）x2=2 答：此时BE的长为2米． 【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把交点的横坐标代入一次函数解析式中求出交点的纵坐标，根据交点坐标使用待定系数法即可求出反比例函数解析式． （2）根据题意确定当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值，根据反比例函数的增减性求出当x＜﹣3时，反比例函数y=的取值范围，根据一次函数的增减性求出当x＜﹣3时一次函数的取值范围，再据此列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：把x=1代入一次函数解析式中得． ∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是． 把代入反比例函数解析式中得． ∴m=6． ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值， ∴当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值． ∴把x=-3代入反比例函数解析式中得，把x=-3代入一次函数中得． ∴当x＜﹣3时，反比例函数的取值范围是大于-2，且小于0，一次函数的取值范围是大于． ∴． ∴． 【点睛】本题考查根据自变量求一次函数的函数值，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，一次函数的增减性，熟练掌握这些知识点是解题关键． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论； （2）利用直角三角形的特征及勾股定理求得，利用菱形的性质及可得，进而可得，根据即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）11.25， （2） （3）她当天的比赛不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米 对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解： ∴点坐标为 ∴ ∴ 当时， ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）求a的值； （2）若当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，直接写出c的取值范围； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，若对任意的，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数的平移等知识点，熟练掌握二次函数的平移规律、对称性和增减性是解题的关键． （1）根据抛物线对称轴公式列方程求a即可； （2）先将抛物线化为顶点式，结合端点函数值和顶点位置确定c的范围即可； （3）通过平移得到新抛物线，利用不等式恒成立条件求m的范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴抛物线的顶点为． 当时， ①当顶点在x轴上时，，即； ②当端点函数值异号时，当时，；当时，， 需且，即 ； 当时，交点为，在取值范围内． 综上，或． 【小问3详解】 解：向右平移 m 个单位得， 点在上， ， ∴， 点在上， ， 由，得 ， 设， 则，即或， ∴或， ∴或 对任意的，即或， 又∵， ∴或． 综上，或． 27. 在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，点E在直线上，求证：； （2）如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，即． （2） 解：，证明如下： ∵在中，，， ∴， 如图2：将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2：连接，过A作于G， 在中， ，， 在中， ， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）先说明，由旋转的定义可得，易得，进而得到，即；再说明，，利用含30度直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形外角的性质可得，如图2：将绕点A顺时针旋转得到，则，，进而得到、，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 点P到的距离定义如下：点Q为的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到的距离，记为．特别的，当点P在的边上时，． 在平面直角坐标系xOy中，． （1）如图1，若，，则______，______； （2）在正方形OABC中，点． ①如图2，若点P在直线上，且，求点P的坐标； ②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，且满足的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）1，1 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意的定义即可直接得出．过点M作于点D，由含30°角的直角三角形的性质即可得出，即得出； （2）①点P到的距离定义，可知点P的运动路径．分类讨论：如图，当点P在射线EH上时，射线EH与直线没有交点，不符合题意；当点P在上时，即此时点P为直线与的交点，如图点，连接．设，由两点的距离公式即可列出关于x的方程，解出x，再舍去不合题意的值，即可得到的坐标；当点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为，即点P与点C重合，从而得出点的坐标；②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线为，如图，当平移后的抛物线位于和之间时满足的点P有且只有两个，易求出直线CF的解析式为．联立并整理可得，由平移后的抛物线位于和之间，即此时抛物线与直线没有交点，可判断方程无解，由其根的判别式即可得出k的取值范围．再由平移后的抛物线位于上方，即得出，解出k即可． 【小问1详解】 解：根据题意可直接得出． 如图，过点M作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1，1； 【小问2详解】 ①解：分类讨论：如图，取E（0，），作EHx轴，过点C作CGOB，以点O为圆心，为半径画弧，较CG于点F， 当点P在射线EH上时， ∵射线EH与直线没有交点， ∴此情况不符合题意； 当点P在上时，即此时点P为直线与的交点，如图点，连接， ∴， 设， ∴ ∴， 解得：，（舍）， ∴； 当点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为，即点P与点C重合，如图点， ∴． 综上可知或； ②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线为 如图，当平移后的抛物线位于和之间时满足的点P有且只有两个， ∵F(-2，2)，C(0，4)，E(0，) 设直线CF的解析式为， 则，解得：， ∴设直线CF的解析式为． 联立， 整理，得：， ∵平移后的抛物线位于和之间，即此时抛物线与直线没有交点， ∴方程无解， ∴， 解得：． ∵平移后的抛物线位于上方， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，含30°角的直角三角形的性质，对新定义的理解，两点的距离公式，勾股定理，二次函数图象的平移，二次函数图象与一次函数图象的交点等知识．正确作出图形，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $